Principia Mathematica

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Modificat ultima dată: 2023-08-25 04:39

Acesta este un fișier din arhivele Enciclopediei de Filozofie din Stanford.

Principia Mathematica

Publicat pentru prima dată marți 21 mai 1996; revizuire de fond mar 30 martie 2010

Principia Mathematica, lucrarea de reper în logica formală scrisă de Alfred North Whitehead și Bertrand Russell, a fost publicată pentru prima dată în trei volume în 1910, 1912 și 1913. Scrisă ca apărare a logismului (părerea că matematica este într-un sens semnificativ redusă logicii) cartea a contribuit la dezvoltarea și popularizarea logicii matematice moderne. De asemenea, a servit ca un impuls major pentru cercetarea bazelor matematicii de-a lungul secolului XX. Alături de Organonul scris de Aristotel și Grundgesetze der Arithmetik, scris de Gottlob Frege, rămâne una dintre cele mai influente cărți despre logică scrise vreodată.

• 1. Istoria Principia Mathematica
• 2. Semnificația Principia Mathematica
• 3. Conținutul Principia Mathematica
• Bibliografie
• Alte resurse de internet
• Intrări conexe

Cititorii interesați pot dori să vadă

• Pagina de titlu a primei ediții a Principia Mathematica, volumul 1 (1910)
• Coperta primei ediții a Principia Mathematica la * 56 (1962).

1. Istoria Principia Mathematica

Logicismul este punctul de vedere că (unele sau toate) matematica poate fi redusă la logica (formală). Este adesea explicată ca o teză în două părți. În primul rând, constă în afirmația că toate adevărurile matematice pot fi traduse în adevăruri logice sau, cu alte cuvinte, că vocabularul matematicii constituie un subset corespunzător al vocabularului logicii. În al doilea rând, constă în afirmația că toate probele matematice pot fi reformate ca dovezi logice sau, cu alte cuvinte, că teoremele matematicii constituie un subset corespunzător al teoremelor logicii. În cuvintele lui Bertrand Russell, obiectivul logicianului este „a arăta că toată matematica pură rezultă din premise pur logice și folosește doar concepte definibile în termeni logici” (1959, 74).

În ceea ce este esențial, logismul a fost susținut pentru prima dată la sfârșitul secolului al XVII-lea de către Gottfried Leibniz. Ulterior, ideea a fost apărată mai detaliat de Gottlob Frege. În timpul mișcării critice inițiate în anii 1820, matematicieni precum Bernard Bolzano, Niels Abel, Louis Cauchy și Karl Weierstrass au reușit să elimine o mare parte din vaguitate și multe dintre contradicțiile prezente în teoriile matematice din zilele lor. Până la sfârșitul anilor 1800, William Hamilton a introdus, de asemenea, cupluri de ordine ca primul pas în furnizarea unei baze logice pentru numerele complexe. În același spirit, Karl Weierstrass, Richard Dedekind și Georg Cantor au dezvoltat, de asemenea, toate metodele de fondare a iraționalelor în termeni raționali. Folosind munca lui HG Grassmann și Richard Dedekind,Atunci, Guiseppe Peano continuase să elaboreze o teorie a raționamentelor bazate pe axiomele sale acum celebre pentru numerele naturale. Astfel, până în ziua lui Frege, s-a recunoscut în general că o mare parte din matematică ar putea fi derivată dintr-un set relativ mic de noțiuni primitive.

Chiar și așa, abia în 1879, când Frege a dezvoltat aparatul logic necesar, s-ar putea spune că proiectul logismului a devenit plauzibil din punct de vedere tehnic. După alți cinci ani de muncă, Frege a ajuns la definițiile necesare logicii aritmeticii și, în anii 1890, a lucrat la multe dintre derivările esențiale. Cu toate acestea, odată cu descoperirea unor paradoxuri, cum ar fi paradoxul lui Russell de la sfârșitul secolului, s-a părut că ar trebui postulate resurse suplimentare pentru a reuși logica.

Până în 1903, atât Whitehead, cât și Russell au ajuns la aceeași concluzie. Până în acest moment, ambii bărbați se aflau în etapele inițiale ale pregătirii a doua volume la cărțile lor anterioare pe teme înrudite: Whitehead's 1898 A Treatise on Universal Algebra și Russell's 1903 Principles of Mathematics. Deoarece cercetările lor s-au suprapus considerabil, au început să colaboreze la ceea ce va deveni în cele din urmă Principia Mathematica. De acord, Russell a lucrat în primul rând la părțile filozofice ale proiectului (inclusiv introducerea bogată din punct de vedere filozofic a cărții, teoria descrierilor și teoria fără clase), în timp ce cei doi bărbați au colaborat la derivările tehnice. După cum ne spune Russell,

În ceea ce privește problemele matematice, Whitehead a inventat cea mai mare parte a notării, cu excepția cazului în care a fost preluată de la Peano; Am făcut cea mai mare parte a lucrărilor în legătură cu serialele și Whitehead le-am făcut pe majoritatea restului. Dar acest lucru se aplică numai primelor proiecte. Fiecare parte a fost făcută de trei ori. Când unul dintre noi a produs un prim proiect, l-ar trimite celuilalt, care de obicei îl va modifica considerabil. După care, cel care făcuse primul proiect ar fi pus-o în formă finală. În toate cele trei volume există aproape o linie care nu este un produs comun. (1959, 74)

Inițial, s-a crezut că proiectul poate dura un an până la finalizare. Din păcate, după aproape un deceniu de muncă dificilă din partea ambilor bărbați, Cambridge University Press a concluzionat că publicarea Principia ar avea ca rezultat o pierdere estimată de aproximativ 600 de kilograme. Deși presa a fost de acord să își asume jumătate din această sumă și Royal Society a acceptat să doneze alte 200 de lire sterline, asta a lăsat totuși un deficit de 100 de kilograme. Doar prin fiecare contribuție de 50 de kilograme, autorii au putut să-și vadă lucrările până la publicare. Astăzi nu există o bibliotecă academică majoră nicăieri în lume care să nu dețină o copie a acestei publicații de reper.

2. Semnificația Principia Mathematica

Atingerea principalului obiectiv al Principia s-a dovedit a fi controversată. În primul rând, problemele au fost tipurile de presupuneri de care Whitehead și Russell aveau nevoie pentru a-și finaliza proiectul. Deși Principia a reușit să ofere derivate detaliate ale multor teoreme majore din teoria seturilor, aritmetica finită și transfinită și teoria elementară a măsurilor, în special două axiome au fost, în mod cert, non-logice: axiomul infinitului și axiomul reducibilității. Axioma infinitului, în efect, a afirmat că există un număr infinit de obiecte. Astfel, aceasta a făcut tipul de presupunere care în general este considerat a fi empiric și nu logic. Axioma reducibilității a fost introdusă ca mijloc de a depăși efectele nu complet satisfăcătoare ale teoriei tipurilor,teoria potrivit căreia Russell și Whitehead au folosit restrângerea noțiunii unei expresii bine formate, evitând astfel paradoxuri precum paradoxul lui Russell. Deși fezabile din punct de vedere tehnic, mulți critici au ajuns la concluzia că axioma reducibilității era pur și simplu prea ad hoc pentru a fi justificată filosofic. Drept urmare, întrebarea dacă matematica ar putea fi redusă la logică sau dacă ar putea fi redusă doar la teoria seturilor, a rămas deschisă.

În ciuda acestor critici, Principia Mathematica s-a dovedit a fi extrem de influentă în cel puțin alte trei moduri. În primul rând, a popularizat logica matematică modernă într-o măsură nedemnată de autorii săi. Folosind o notație superioară în multe feluri cu cea a lui Frege, Whitehead și Russell au reușit să transmită puterea expresivă remarcabilă a logicii predicatelor moderne într-un mod pe care scriitorii precedenți nu au putut să-l atingă. În al doilea rând, arătând atât de clar puterea deductivă a noii logici, Whitehead și Russell au reușit să arate cât de puternică poate fi ideea modernă a unui sistem formal, deschizând astfel o nouă lucrare în ceea ce va fi numit în curând metalogic. În al treilea rând, Principia Mathematica a reafirmat conexiuni clare și interesante între logicism și două dintre principalele ramuri ale filozofiei tradiționale, și anume metafizica și epistemologia,începând astfel o muncă nouă și interesantă în ambele domenii.

Astfel, nu numai că Principia a introdus o gamă largă de noțiuni bogate din punct de vedere filozofic (cum ar fi funcția propozițională, construcția logică și teoria tipurilor), dar a pus și scena descoperirii rezultatelor metateoretice clasice (precum cele ale lui Kurt Gödel, Biserica Alonzo, Alan Turing și alții) și au inițiat o tradiție a lucrărilor tehnice comune în domenii la fel de diverse ca filozofie, matematică, lingvistică, economie și informatică.

Astăzi rămâne controversă cu privire la contribuția substanțială finală a Principia, unii autori susținând că, cu modificările adecvate, logismul rămâne un proiect posibil. Alții consideră că bazele filozofice și tehnice ale proiectului Whitehead / Russell rămân pur și simplu prea slabe sau confuze pentru a fi de mare folos logicianului. Cititorii interesați sunt încurajați să consulte Quine (1966a), Quine (1966b), Landini (1998), Linsky (1999), Hale și Wright (2001) și Hintikka (2009).

3. Conținutul Principia Mathematica

Principia Mathematica a apărut inițial în trei volume. Împreună, aceste trei volume sunt împărțite în șase părți. Volumul 1 începe cu o introducere îndelungată care conține secțiuni intitulate „Explicații preliminare ale ideilor și notațiilor”, „Teoria tipurilor logice” și „Simboluri incomplete”. De asemenea, conține partea I, intitulată „Logica matematică”, care conține secțiuni despre „Teoria deducerii”, „Teoria variabilelor aparente”, „clase și relații”, „Logica relațiilor” și „Produse și sume de clase”; și partea a II-a, intitulată „Prolegomena pentru aritmetica cardinală”, care conține secțiuni despre „clase de unități și cupluri”, „subclase, subrelații și tipuri relative”, „relații unu-multe, multe-unu și unu-unu,”„ Selecții”și„ Relații inductive”.

Volumul 2 începe cu o „Declarație preferențială a convențiilor simbolice.” Se continuă apoi cu partea a III-a, intitulată „Aritmetica cardinală”, care conține în sine secțiuni despre „Definiție și proprietăți logice ale numerelor cardinale”, „Adăugare, înmulțire și exponențiere” și „Finit și infinit”; Partea a IV-a, intitulată „Relația-Aritmetică”, care conține secțiuni despre „Similitudinea ordinală și numerele relațiilor”, „Adăugarea relațiilor și produsul a două relații”, „Principiul primelor diferențe și multiplicarea și expunerea relațiilor,”Și„ Aritmetica numerelor relației”; și prima jumătate a părții V, intitulată „Serie”, care conține secțiuni despre „Teoria generală a seriei”, „Despre secțiuni, segmente, întinderi și derivate” și „Despre convergență și limitele funcțiilor”.

Volumul 3 continuă Partea a V-a cu secțiunile „Serii bine ordonate”, „Serii finite și infinite și ordinale” și „Serii compacte, serii raționale și serii continue”. De asemenea, conține partea a VI-a, intitulată „Cantitate”, care conține în sine secțiuni despre „Generalizarea numărului”, „Familii-vector”, „Măsurare” și „Familii ciclice”.

Un al patrulea volum despre geometrie a fost planificat, dar niciodată finalizat (1959, 99).

Cititorii contemporani (adică cei care au învățat logica în ultimele decenii ale secolului XX sau mai târziu) vor găsi notația cărții oarecum antichizată. Chiar și așa, cartea rămâne unul dintre marile documente științifice ale secolului XX.

Bibliografie

• Chihara, Charles (1973). Ontologia și principiul cercului vicios, Ithaca: Cornell University Press.
• Biserica, Alonzo (1974). „Teoria tipului rusesc simplu”, Procese și adrese ale Asociației Filozofice Americane, 47: 21–33.
• Biserica, Alonzo (1978). „O comparație a rezoluției lui Russell a antinomiilor semantice cu cea a lui Tarski”, Journal of Symbolic Logic, 41: 747–760. Repr. în AD Irvine (ed.), Bertrand Russell: Evaluări critice, voi. 2, New York și Londra: Routledge, 1999, 96–112.
• Copi, Irving (1971). Teoria tipurilor logice, Londra: Routledge și Kegan Paul.
• Frege, Gottlob (1893, 1903). Grundgesetze der Arithmetik, Band I (1893), Band II (1903), Jena: Verlag Hermann Pohle. Ed. și trans. de M. Furth în parte ca The Basic Laws of Aithmetic, Berkeley: University of California Press, 1964.
• Gabbay, Dov M. și John Woods (eds) (2009). Manual de istorie a logicii: Volumul 5 - Logica De la Russell la Biserică, Amsterdam: Elsevier / Olanda de Nord.
• Hale, Bob și Crispin Wright (2001). The Reason's Proper Study, Oxford: Clarendon Press.
• Hintikka, Jaakko (2009). „Logicism”, în Irvine, AD (ed.), Filosofia matematicii, Amsterdam: Elsevier / Olanda de Nord, 271-290.
• Irvine, AD (ed.) (2009). Filosofia matematicii, Amsterdam: Elsevier / Olanda de Nord.
• Landini, Grigore (1998). Teoria substitutivă a lui Russell, New York și Oxford: Oxford University Press.
• Link, Godehard (2004). O sută de ani de paradox al lui Russell, Berlin și New York: Walter de Gruyter.
• Linsky, Bernard (1999). Logica metafizică a lui Russell, Stanford: Publicații CSLI.
• Proops, Ian (2006). „Motivele lui Russell pentru logicism”, Journal of History of Philosophy, 44: 267–292.
• Quine, WV (1960). Cuvânt și obiect, Cambridge: MIT Press.
• Quine, WV (1966a). Documente logice selectate, New York: Random House.
• Quine, WV (1966b). Modalități de paradox, New York: Random House.
• Ramsey, Frank P. (1931). The Foundations of Mathematics, London: Kegan, Paul, Trench, Trubner.
• Rodriguez-Consuegra, Francisco (1991). Filozofia matematică a lui Bertrand Russell, Boston: Birkhäuser Press.
• Russell, Bertrand (1903). Principiile matematicii, Cambridge: Cambridge University Press.
• Russell, Bertrand (1919). Introducere în filosofia matematică, Londra: George Allen și Unwin.
• Russell, Bertrand (1948). „Whitehead și Principia Mathematica”, Mind, 57: 137-138.
• Russell, Bertrand (1959). My Philosophical Development, Londra: George Allen și Unwin și New York: Simon și Schuster.
• Shapiro, Stewart (ed.) (2005). Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press.
• Urquhart, Alasdair (1988). „Calea lui Zig-Zag a lui Russell către teoria tipurilor ramificate”, Russell, 8: 82-91.
• Whitehead, Alfred North (1898). A Treatise on Universal Algebra, Cambridge: Cambridge University Press.
• Whitehead, Alfred North (1906). Despre concepte matematice ale lumii materiale, Londra: Dulau.
• Whitehead, Alfred North și Bertrand Russell (1910, 1912, 1913). Principia Mathematica, 3 vols, Cambridge: Cambridge University Press. Ediția a doua, 1925 (Vol. 1), 1927 (Vols 2, 3). Abridged as Principia Mathematica to * 56, Cambridge: Cambridge University Press, 1962.
• Wright, Crispin (1983). Concepția lui Frege a numerelor ca obiecte, Aberdeen: Aberdeen University Press.

Alte resurse de internet

• Principia Mathematica, reprodusă în Colecția de matematică istorică a Universității din Michigan.
• Principia Mathematica: Whitehead și Russell, de Stanley Burris (Matematică, U. Waterloo)