Limite

Cuprins:

Limite
Limite

Video: Limite

Video: Limite
Video: Красивая котельная 2024, Martie
Anonim

Acesta este un fișier din arhivele Enciclopediei de Filozofie din Stanford.

Limite

Publicat prima lună, 9 februarie 2004; revizuire de fond Sat 29 martie 2008

Ne gândim la o graniță ori de câte ori ne gândim la o entitate demarcată din împrejurimile sale. Există o graniță (o suprafață) demarcând interiorul unei sfere de exteriorul acesteia; există o graniță (o frontieră) care separă Maryland și Pennsylvania. Uneori, locația exactă a unei granițe este neclară sau altfel controversată (ca atunci când încercați să urmăriți marjele Muntelui Everest, sau chiar granița propriului corp). Uneori, limita se află în orice discontinuitate fizică sau diferențiere calitativă (ca în cazul graniței din Wyoming, sau granița dintre jumătățile superioare și inferioare ale unei sfere omogene). Dar indiferent dacă este ascuțit sau încețoșat, natural sau artificial, pentru fiecare obiect pare să existe o graniță care o marchează din restul lumii. De asemenea, evenimentele au granițe - cel puțin limite temporale. Viața noastră este delimitată de nașterile noastre și de moartea noastră; jocul de fotbal a început la 15:00 puternic și s-a încheiat cu fluierul final al arbitrului la 16:45. Și uneori se sugerează că entitățile abstracte, precum conceptele sau seturile, au granițe proprii. Cu toate acestea, dacă toată această discuție de graniță este coerentă și dacă reflectă structura lumii sau activitatea de organizare a intelectului nostru, sunt probleme de adâncă controversă filosofică.sunt chestiuni de adâncă controversă filosofică.sunt chestiuni de adâncă controversă filosofică.

  • 1. Probleme

    • 1.1 Granițe deținute vs.
    • 1.2 Limitele naturale vs. artificiale
    • 1.3 Frontiere clare vs. vagi
    • 1.4 Nemărginită față de granițe
  • 2. Teorii

    • 2.1 Teorii realiste
    • 2.2 Teorii eliminatoriste
  • Apendice: Un buchet de citate
  • Bibliografie
  • Alte resurse de internet
  • Intrări conexe

1. Probleme

Euclid a definit o graniță ca „ceea ce este o extremitate a oricărui lucru” (Elementele Bk I, Df 13) și Aristotel a făcut acest lucru mai precis prin definirea extremității unui lucru x ca „primul lucru în afara căruia nu există nicio parte [din x] trebuie găsit și primul lucru în interiorul căruia trebuie să se găsească fiecare parte [din x]. " (Metafizica 1022 a) Această definiție este suficient de intuitivă și poate fi considerată ca punct de plecare natural pentru orice investigare a conceptului de graniță. Într-adevăr, deși definiția lui Aristotel a fost menită să se aplice doar obiectelor materiale, ea se aplică intuitiv și la evenimente (în măsura în care au structură mereologică) și prin extindere și la entități abstracte precum concepte și seturi (comparați noțiunea standard topologic de graniță). a unui set x ca ansamblu al acelor puncte ale căror cartiere se intersectează atât x cât și complementul x.) Cu privire la acesta, însă, această caracterizare intuitivă este sursa mai multor puzzle-uri care justifică îngrijorarea filozofică, în special în ceea ce privește limitele particularităților spațio-temporale precum obiecte și evenimente.

1.1 Granițe deținute vs

Primul fel de puzzle se referă la intuiția că o graniță separă două entități (sau două părți ale aceleiași entități), despre care se spune că sunt continue între ele. Imaginează-ne călătorind din Maryland în Pennsylvania. Ce se întâmplă când traversăm linia Mason-Dixon? Trecem printr-un ultim punct p din Maryland și un prim punct q în Pennsylvania? În mod clar nu, având în vedere densitatea continuului; pentru că atunci ar trebui să admitem un număr infinit de puncte suplimentare între p și q care ar fi în niciun stat. Dar, la fel de clar, putem recunoaște cu greu existența doar a uneia dintre p și q, așa cum este dictată de tratamentul matematic standard al continuumului; în acest sens, ar fi să se aloce granița dintre cele două state doar unuia dintre state,și orice alegere ar însemna un privilegiu particular al unui stat față de celălalt. Și nici nu putem identifica p cu q, deoarece vorbim de două state adiacente, astfel încât teritoriile lor nu pot avea nicio parte în comun. Deci, unde este linia Mason-Dixon și cum se raportează la cele două entități adiacente pe care le separă?

Puzzle-ul nu este specific acestui exemplu. Luați în considerare propria ghicitoare a lui Aristotel despre mișcare: În momentul în care un obiect încetează să se miște, se află în mișcare sau este în repaus? (Fizica VI, 234a ff.) Sau luați în considerare dilema ridicată de Leonardo în Caietele sale: Ce anume împarte atmosfera de apă? Este aer sau este apă? (1938: 75-76). Sau, din nou, ia în considerare puzzle-ul lui Peirce: Ce culoare este linia de demarcație între o pată neagră și fundalul ei alb? (1893: 98) Poate că s-ar putea invoca considerente despre cifră / temei pentru a oferi un răspuns în acest ultim caz, bazat pe principiul conform căruia frontiera este întotdeauna deținută de figură - fundalul este topologic deschis (Jackendoff 1987, apendicele B). Dar ce este cifra și ce este terenul când vine vorba de două jumătăți adiacente ale punctului negru? Ce este cifra și ce este motivul când vine vorba de Maryland și Pennsylvania? Ce se întâmplă când ne scufundăm în apă? În astfel de cazuri, intuiția nu are un cont simplu de oferit. Cu toate acestea, cu greu se poate nega faptul că aceste întrebări definesc alegeri importante care trebuie luate de orice teorie a granițelor - sau de orice teorie bazată pe granițe a lumii entităților spațio-temporal extinse.

1.2 Limitele naturale vs. artificiale

Un al doilea fel de puzzle se referă la faptul că definiția mereologică a lui Aristotel (și intuiția de bun-simț pe care o captează) pare să se aplice doar unui tărâm al entităților continue. Modulo dificultatea menționată mai sus, gândul că Maryland și Pennsylvania sunt delimitate de linia Mason-Dixon este suficient de corect. Dar obiectele materiale obișnuite - s-ar putea observa - nu vorbesc strict continuu (sau dens) și a vorbi de granița unui obiect este ca și cum ai vorbi de „vârful plat” al patului de cuie al unui fakir (Simons 1991: 91). La o inspecție mai atentă, limitele spațiale ale obiectelor fizice sunt entități imaginare care înconjoară roiuri de particule subatomice,iar forma și locația lor exactă implică același grad de arbitrare ca cele ale unui grafic matematic netezit din date risipite și inexacte (sau cele ale figurilor unui tablou impresionist). În mod similar, la o inspecție mai atentă, faptul că un corp este în mișcare echivalează cu faptul că suma vectorială a mișcărilor zilioane de particule neliniștite, în medie în timp, este non-zero, deci nu are sens să vorbim despre momentul în care un corp nu mai mișcă (Galton 1994: 4). Așadar, se ridică întrebarea, sunt granițele entități imaginare - proiecții ale minții - sau sunt adevărate persoane demult ale realității?prin urmare, nu are sens să vorbim despre momentul în care un corp încetează să se miște (Galton 1994: 4). Așadar, se ridică întrebarea, sunt granițele entități imaginare - proiecții ale minții - sau sunt adevărate persoane demult ale realității?prin urmare, nu are sens să vorbim despre momentul în care un corp încetează să se miște (Galton 1994: 4). Așadar, se ridică întrebarea, sunt granițele entități imaginare - proiecții ale minții - sau sunt adevărate persoane demult ale realității?

Chiar și cu referire la linia Mason-Dixon - și, mai general, la acele granițe care demarcează părțile adiacente ale unei colecții continue, ca atunci când un agent cognitiv individual conceptualizează o pată neagră ca fiind formată din două jumătăți - se poate ridica problema starea lor ontologică. Astfel de granițe reflectă în diferite grade activitatea de organizare a intelectului nostru sau a practicilor noastre sociale. Și s-ar putea susține că credința în obiectivitatea lor epitomizează o formă de realism metafizic care plânge pentru justificare. În această privință, putem introduce o distincție conceptuală între limitele naturale sau de bună credință, care sunt întemeiate într-o anumită discontinuitate fizică sau heterogenitate calitativă între o entitate și împrejurimile sale și limitele artificiale sau fiat, care nu sunt atât de fundamentate în autonomie,lume independentă de minte (Smith 1995). Limitele geopolitice, cum ar fi linia Mason-Dixon, sunt de acest fel și poate fi chiar că suprafețele obiectelor materiale obișnuite, cum ar fi mese sau mingi de tenis implică, la o inspecție mai atentă, articulații fiat de un fel. Deci, întrebarea este, există limite de bună credință? Și, dacă nu, este natura fiabilă a graniței noastre vorbind un motiv pentru a justifica o atitudine anti-realistă față de granițe? (Comparați și modul în care apare problema pe planul entităților abstracte: Există concepte care sculptează lumea „la rosturi”, după rețeta lui Platon din Phaedrus 265e?)la o inspecție mai atentă, articulații fiat de un fel. Deci, întrebarea este, există limite de bună credință? Și, dacă nu, este natura fiabilă a graniței noastre vorbind un motiv pentru a justifica o atitudine anti-realistă față de granițe? (Comparați și modul în care apare problema pe planul entităților abstracte: Există concepte care sculptează lumea „la rosturi”, așa cum este rețeta lui Platon din Phaedrus 265e?)la o inspecție mai atentă, articulații fiat de un fel. Deci, întrebarea este, există limite de bună credință? Și, dacă nu, este natura fiabilă a graniței noastre vorbind un motiv pentru a justifica o atitudine anti-realistă față de granițe? (Comparați și modul în care apare problema pe planul entităților abstracte: Există concepte care sculptează lumea „la rosturi”, după rețeta lui Platon din Phaedrus 265e?)

De asemenea, odată ce opoziția fiat / bona fide a fost recunoscută, este clar că poate fi desenată și în raport cu obiecte și evenimente întregi (Smith e Varzi 2000, Smith 2001). În măsura în care (o parte) a graniței unui întreg este de tip fiat, întregul însuși poate fi privit ca o construcție conceptuală, de unde problema stării ontologice a limitelor devine dintr-o piesă cu problema mai generală a statutului convențional. de obiecte și evenimente obișnuite (Heller 1990). Asta nu înseamnă că terminăm cu vînzări imaginare sau de altă natură ireale: așa cum a scris Frege, obiectivitatea Mării de Nord „nu este afectată de faptul că este o chestiune din alegerea noastră arbitrară care face parte din toată apa. suprafața pământului pe care o marcăm și alegem să o numim „Marea Nordului” (1884, §26) Cu toate acestea,urmează că entitățile în cauză nu s-ar bucura decât de o individualitate ca urmare a fiatului nostru, precum cookie-urile sculptate din aluatul mare: obiectivitatea lor este independentă, dar individualitatea lor - ființa lor, ceea ce este, poate chiar având identitatea și condițiile de persistență pe care le au - depinde de acțiunea brutarului.

1.3 Frontiere clare vs. vagi

Un al treilea puzzle se referă la vagitate. Definiția lui Aristotel (precum și topologia standard) sugerează că există întotdeauna o delimitare accentuată între interiorul și exteriorul unui lucru. Cu toate acestea, se poate observa că obiectele și evenimentele obișnuite, precum și extensiile multor concepte obișnuite, pot avea limite care sunt, într-un anumit sens, confuze sau nedeterminate. Nori, deșerturi, munți, să nu mai vorbim de figurile unui tablou impresionist, toate par să eludeze noțiunea idealizată de un obiect ascuțit delimitat. La fel, granițele temporale ale multor evenimente (cu atât mai puțin limitele spațiale ale acestora) par a fi nedeterminate. Când a început exact revoluția industrială? Când s-a încheiat? (Unde a avut loc?) Și, cu siguranță, conceptele corespunzătoare unor astfel de predicate precum „chel” sau „înalt” nu posedă granițe ascuțite; așa cum a spus Frege,cu astfel de concepte pare să corespundă „o zonă care nu este o linie de delimitare ascuțită în jurul valorii de jur împrejur, ci în locuri care doar dispar vag în fundal” (1903: §56)

Cum trebuie interpretată o astfel de necluzie? O opțiune este să insistăm pe un cont pur epistemic: neplăcerea ar sta exclusiv în ignoranța noastră cu privire la locația exactă a limitelor relevante (Sorensen 1988, Williamson 1994). În mod alternativ, se poate distinge aici între un cont de re și un cont de dicto. Din punct de vedere reproșabil, tulburarea este cu adevărat ontologică; granița Muntelui Everest (să zicem) ar fi vagă, în măsura în care nu există un fapt obiectiv și determinat al chestiunii despre care se află parcelele de pe ce parte (Tye 1990; Copeland 1995). De asemenea, pe acest cont, un predicat cum ar fi „chel” ar fi vag, deoarece înseamnă un set vag, un set cu granițe cu adevărat confuze. În schimb, contul de dicto corespunde unei noțiuni pur lingvistice (sau conceptuale) de vagitate. Nu există nicio limită vagă care demarcă Muntele Everest pe această viziune; mai degrabă, există multe parcele distincte de teren, fiecare cu o frontieră precisă, dar practicile noastre lingvistice nu au impus alegerea vreunei dintre ele ca referent oficial al numelui „Everest” (Lewis 1986; McGee 1997). În mod similar, în această privință, setul de oameni chei nu are o graniță bruscă; mai degrabă, prevederile noastre lingvistice nu specifică pe deplin ce set de persoane corespunde extinderii „chelului”. Pentru limitele tipului fiat, un cont de dicto se sugerează în mod firesc: în măsura în care procesul care duce la definirea unei limite nu poate fi precis, întrebarea dacă ceva se află în interiorul sau în afara graniței poate fi semantică nedeterminată. Însă acest cont nu stă bine cu limitele genului de bună credință (dacă există);Dacă vreo astfel de graniță ar fi vagă, aceasta ar fi atât de independentă de articulațiile noastre cognitive sau sociale, de aceea parerea necesară ar fi necesară, ceea ce înseamnă că ar exista o adevărată determinare lumească.

1.4 Nemărginită față de granițe

O a patra sursă de îngrijorare se referă la intuiția, implicit în definiția lui Aristotel, că limitele sunt entități de dimensiuni inferioare, adică au cel puțin o dimensiune mai mică decât entitățile de care au legat. Suprafața unei sfere (continue), de exemplu, este bidimensională (nu are „substanță” sau „vrac divizibil”), linia Mason-Dixon este unidimensională (are „lungime”, dar nu „lățime”), iar un punct de delimitare, cum ar fi vertexul unei piramide, este de dimensiune zero (se extinde în nici o direcție). Această intuiție este germană la o mare parte din ceea ce spunem în mod obișnuit despre granițe. Dar este problematică în măsura în care contrastează cu mai multe intuiții independente care sunt ale unei piese atât de bun simț, cât și de teoretizare filosofică. De exemplu,există o tradiție permanentă în epistemologie (de la Moore 1925 la Gibson 1979) conform căreia granițele joacă un rol crucial în percepție: vedem obiecte fizice (opace) în mod indirect, văzând suprafețele lor. Dar nu este clar cum se pot vedea entități cărora le lipsește volumul fizic. De asemenea, vorbim adesea despre suprafețe ca despre lucruri care pot fi îngroșate sau umede sau care pot fi zgâriate, șlefuite, șlefuite etc., și nu este clar dacă astfel de predicate pot fi aplicate entităților imateriale. În astfel de cazuri, s-ar părea mai degrabă că suprafețele (și limitele mai general; vezi Jackendoff 1991) trebuie interpretate ca „straturi subțiri” care sunt schematizate ca având mai puține dimensiuni decât totalitatea pentru care se aplică. Dar nu este clar cum se pot vedea entități cărora le lipsește volumul fizic. De asemenea, vorbim adesea despre suprafețe ca despre lucruri care pot fi îngroșate sau umede sau care pot fi zgâriate, șlefuite, șlefuite etc., și nu este clar dacă astfel de predicate pot fi aplicate entităților imateriale. În astfel de cazuri, s-ar părea mai degrabă că suprafețele (și limitele mai general; vezi Jackendoff 1991) trebuie interpretate ca „straturi subțiri” care sunt schematizate ca având mai puține dimensiuni decât totalitatea pentru care se aplică. Dar nu este clar cum se pot vedea entități cărora le lipsește volumul fizic. De asemenea, vorbim adesea despre suprafețe ca despre lucruri care pot fi îngroșate sau umede sau care pot fi zgâriate, șlefuite, șlefuite etc., și nu este clar dacă astfel de predicate pot fi aplicate entităților imateriale. În astfel de cazuri, s-ar părea mai degrabă că suprafețele (și limitele mai general; vezi Jackendoff 1991) trebuie interpretate ca „straturi subțiri” care sunt schematizate ca având mai puține dimensiuni decât totalitatea pentru care se aplică.a se vedea Jackendoff 1991) trebuie să fie interpretate ca „straturi subțiri” care sunt schematizate ca având mai puține dimensiuni decât totalitatea pentru care se aplică.a se vedea Jackendoff 1991) trebuie să fie interpretate ca „straturi subțiri” care sunt schematizate ca având mai puține dimensiuni decât totalitatea pentru care se aplică.

Probabil, această tensiune conceptuală între granițele înțelese ca entități de dimensiuni inferioare și granițele înțelese ca straturi subțiri reflectă o ambiguitate ireductibilă în vorbirea obișnuită (Stroll 1979, 1988). Și, fără îndoială, este doar prima concepție care dă naștere puzzle-urilor prezentate în secțiunile de mai sus; Granițele voluminoase pot fi tratate ca părți obișnuite ale corpurilor pe care le-au legat. Cu toate acestea, nu există nicio întrebare că o teorie generală a limitelor ar trebui să aibă ceva de spus și despre cea de-a doua concepție - și mai general despre interacțiunea dintre idealizarea matematică asociată cu concepția anterioară și semnificația fizică, cognitivă și filosofică a acesteia din urmă.. (Galton 2007)

2. Teorii

Deci limitele sunt, pe de o parte, centrale pentru imaginea de bun-simț a lumii și totuși, pe de altă parte, profund problematice. În consecință, putem distinge două tipuri principale de teorii, în funcție de faptul că cineva este dispus să preia problemele la valoarea nominală (teorii realiste) sau să le ocolească cu totul, tratând granițele ca simple facons de parler (teorii eliminativiste).

2.1 Teorii realiste

Majoritatea teoriilor realiste despre granițe, interpretate ca entități de dimensiuni inferioare, au părerea că astfel de entități sunt paraziți ontologici. Limitele nu pot exista în mod izolat de entitățile de care s-au legat, deși poate exista un dezacord cu privire la faptul că această dependență ontologică este generică (o graniță nu poate exista decât ca o limită a ceva) sau specifică (limita a ceva nu poate exista decât ca o limită a acel lucru) (Brentano 1976; Chisholm 1984). Această viziune face dreptate intuiției că limitele, dacă sunt reale, sunt oarecum „mai puțin reale” decât entitățile voluminoase. Cu toate acestea, teoriile realiste pot diferi semnificativ în ceea ce privește modul în care aceste entități dependente, de dimensiuni inferioare, se raportează la entitățile extinse de care au legat (Varzi, 1997). Astfel, cu referire la primul puzzle al Secțiunii 1,să fie A și B două entități extinse separate printr-o graniță comună (cum ar fi Maryland și Pennsylvania). Atunci putem distinge patru teorii principale:

  1. Limita nu poate aparține nici A și nici lui B. Aceasta a fost, în cele din urmă, părerea lui Leonardo, deși nu găsește prea mult sprijin în rândul filosofilor recenți (posibil cu excepția lui Hestevold 1986 și, în limite, Sorensen 1986). Aceasta implică faptul că contactul se poate obține între A și B, chiar dacă ambele A și B sunt topologice deschise, atât timp cât nu există nimic între ele, cu excepția graniței externe comune, (adică, până când închiderea lui A se suprapune închiderii lui B). Așadar, în această privință, nu există niciun ultim punct p din Maryland și nici un prim punct q al Pennsylvaniei: statele Uniunii nu folosesc, strict vorbind, întregul teritoriu.
  2. Limita trebuie să aparțină fie lui A, fie lui B, deși poate fi nedeterminată din care face parte A și B. Această teorie se bazează pe punctul de vedere al lui Bolzano (1851), care la rândul său este reflectat de contul standard al topologiei punct-set. Aceasta implică faptul că contactul poate fi obținut între A și B numai dacă A sau B sunt închise topologic, în timp ce celălalt este topologic deschis în zona de contact relevantă; dar apelul la indeterminare permite ca unul să lase problema neinstruită. Această indeterminare, la rândul său, poate fi interpretată ca semantică sau epistemică, în funcție de faptul dacă limita relevantă este de tip fiat, ca în cazul liniei Mason-Dixon, sau de tipul bona fide (pentru un tratament formal al acestei teorii, a se vedea Casati și Varzi 1999, Cap. 5 și Varzi 2007, §2.4.1).
  3. Limita poate aparține atât lui A, cât și lui B, dar suprapunerea relevantă este sui generis exact în măsura în care implică părți de dimensiuni inferioare. Limitele nu ocupă spațiul și, prin urmare, nu este plauzibil să spunem că (de exemplu) linia Mason-Dixon aparține atât Maryland, cât și Pennsylvania. În unele cazuri, însă, această teorie poate necesita o mușcătură dialetică a glonțului (Priest 1987). Cu referire la puzzle-ul lui Peirce, de exemplu, dacă linia de demarcație dintre o pată neagră și fundalul ei alb aparține ambelor, atunci ea trebuie să fie albă și neagră. O cale de ieșire ar fi să nege că limitele, de dimensiuni inferioare, se pot bucura de același fel de proprietăți care caracterizează corpurile extinse, cum ar fi proprietățile de culoare (Galton 2003: 167f). Nu este clar însă dacă această strategie poate fi generalizată. De exemplu,o dialetheie ar părea să reapară cu referire la puzzle-ul lui Aristotel: în momentul în care un obiect (omogen) trece prin trecerea de la staționare la mișcare trebuie să fie atât staționar, cât și în mișcare.
  4. Într-adevăr pot exista două granițe, una aparținând lui A și alta aparținând lui B și aceste două granițe ar fi co-localizate - adică ar coincide spațial fără a se suprapune pur și simplu. Această viziune poate fi identificată în Brentano (1976) și a fost elaborată în detaliu de către Chisholm (1984, 1992/1993). Acesta permite respingerea distincției între entitățile închise și deschise (pe care Brentano le considera „monstruoase”), tratând toate corpurile extinse ca fiind închise. În cazul corpurilor materiale, coincidența spațială a limitelor lor ar însemna o încălcare a principiului lui Locke de un obiect la un loc (Eseuri, II-xxvii-1), dar, din nou, încălcarea ar fi sui generis tocmai în măsura în care entitățile în cauză nu ocupă niciun spațiu (pentru un tratament formal al acestei teorii, a se vedea și Smith, 1997).

Aceste teorii se exclud reciproc, dar nu trebuie să fie exhaustive și pot fi articulate sau integrate în continuare pentru a aborda problemele ridicate de celelalte puzzle-uri ale secțiunii 1. De exemplu, cu referire la al doilea puzzle (Secțiunea 1.2), Smith și Varzi (2000) au o teorie cu două bariere care este de tip (2) în ceea ce privește limitele de bună credință și de tip (4) în ceea ce privește limitele fiat. (Deci nu există o coincidență a limitelor reale, ci doar a articulațiilor fiat.) În mod similar, ipoteza de indeterminare susținută de teoriile de tip (2) poate fi privită ca fiind o piesă cu un fel de indeterminare care este implicat în fenomenul vagului (Secțiunea 1.3). Pentru limitele fiat, de exemplu, un cont de dicto poate fi aplicat în ambele cazuri: declarațiile despre astfel de granițe sunt adevărate dacă sunt super-adevărate, adică,adevărat sub orice mod admisibil de precizare a articolelor fiat relevante (Varzi 2001 și referințele din acestea).

2.2 Teorii eliminatoriste

Teoriile eliminativiste pleacă de la ideea că vorbirea de granițe implică un fel de abstractizare - idee care poate fi găsită deja în dezbaterea medievală și modernă privind antiindivisibilismul (Zimmerman 1996, Holden 2004). Ce fel de abstractizare este implicată? Și cum putem da socoteală despre discuțiile noastre obișnuite (și matematice) despre granițe, dacă acestea vor fi explicate departe ca abstracții fictive? Cu referire specială la limitele particularităților spațio-temporale, putem distinge două abordări principale.

  1. Substantivaliștii despre spațiu-timp pot vedea abstracția ca provenind din relația dintre un anume și receptacul spațio-temporal, bazându-se pe topologia spațiului-timp pentru a da socoteală discuției noastre de frontieră când vine vorba de alte entități. S-a apreciat, de exemplu, că corpurile sunt conținutul material al regiunilor deschise (regulate) de spațiu, contactul de frontieră dintre corpuri fiind explicat în termeni de suprapunere între închizăturile receptaclelor lor. Această teorie poate fi urmărită în Descartes (Principiile 2.xv) și a fost articulată explicit de Cartwright (1975). Cu siguranță, dă un cont hibrid, un cont care se elimină numai cu limitele corpurilor materiale (și, prin extensie, evenimente); receptaclele lor sunt supuse unei topologii standard în care limitele sunt tratate conform teoriei (2) de mai sus. Dar acest cont este suficient pentru a ocoli puzzle-urile menționate mai sus, în măsura în care nu există nicio problemă presantă în asumarea unei topologii standard pentru spațiu-timp. Problema principală a teoriei este, mai degrabă, să justifice afirmația că doar unele regiuni (regiuni deschise obișnuite, de exemplu) sunt receptoare. (A se vedea Hudson 2002 pentru o provocare în această privință.) Pe de altă parte, există teorii mai radicale, non-hibride, care nu se limitează și în ceea ce privește structura spațiului-timp (cea mai influentă instanță este așa-numita Calculul RCC al lui Randell, Cui și Cohn 1992). În prezent, însă, interpretarea unor astfel de teorii rămâne o întrebare filosofică deschisă.pentru a justifica afirmația potrivit căreia doar unele regiuni (regiuni deschise obișnuite, de exemplu) sunt receptoare. (A se vedea Hudson 2002 pentru o provocare în această privință.) Pe de altă parte, există teorii mai radicale, non-hibride, care nu se limitează și în ceea ce privește structura spațiului-timp (cea mai influentă instanță este așa-numita Calculul RCC al lui Randell, Cui și Cohn 1992). În prezent, însă, interpretarea unor astfel de teorii rămâne o întrebare filosofică deschisă.pentru a justifica afirmația potrivit căreia doar unele regiuni (regiuni deschise obișnuite, de exemplu) sunt receptoare. (A se vedea Hudson 2002 pentru o provocare în această privință.) Pe de altă parte, există teorii mai radicale, non-hibride, care nu se limitează și în ceea ce privește structura spațiului-timp (cea mai influentă instanță este așa-numita Calculul RCC al lui Randell, Cui și Cohn 1992). În prezent, însă, interpretarea unor astfel de teorii rămâne o întrebare filosofică deschisă.cu toate acestea, interpretarea unor astfel de teorii rămâne o întrebare filosofică deschisă.cu toate acestea, interpretarea unor astfel de teorii rămâne o întrebare filosofică deschisă.
  2. Dacă nu este substanțialist în ceea ce privește spațiul și / sau timpul, se poate descrie abstracția ca invocând ideea unor straturi tot mai subțiri ale entității delimitate (Stroll 1979: 279). Cea mai bună formulare a acestei idei este teoria „White abstraction” a lui Whitehead (1916, 1919), care, la rândul ei, poate fi urmărită cel puțin în Lobachevskii (1835/1938). (Formule alternative pot fi găsite în Tarski 1929, Menger 1940 și Clarke 1985, printre altele.) În acest sens, elementele de graniță nu sunt incluse în entitățile primare, care cuprind doar organisme extinse, dar sunt însă preluate ca entități de ordin superior., viz. ca clase de echivalență a seriilor convergente de corpuri cuibate. De exemplu, seria tuturor sferelor concentrice incluse într-o sferă dată converg spre punctul din centru,seria tuturor cilindrilor concentrici drepți de lungime egală inclusă într-un cilindru dat converg spre linia axială și așa mai departe. Apelați la o serie convergentă de acest fel o clasă abstractă dacă nu are fund, adică dacă niciun obiect nu face parte din fiecare membru al clasei. Și numiți două clase abstracte co-convergente echivalente, fie că fiecare membru al primei clase are un membru al celei de-a doua ca parte și invers. (De exemplu, o clasă abstractă de sfere este echivalentă cu clasa tuturor cuburilor înscrise în sfere, care converg spre același punct în centru.) Fiecare element de limitare poate fi privit ca o clasă de echivalență a abstractului convergent. clase și se poate reconstrui vorbirea obișnuită despre granițele de dimensiuni inferioare ca vorbind despre astfel de entități de ordin superior. Această abordare are analogi și pe tărâmul temporal,unde instantele sunt uneori interpretate ca seturi de intervale de timp, care la rândul lor sunt uneori interpretate ca seturi de evenimente suprapuse. (Locus classicus este Russell 1914; vezi de asemenea Walker 1947, Kamp 1979 și van Benthem 1983.)

O obiecție standard față de teoriile de tip (2) este că abstractitatea limitelor pare să curgă de abstractitatea construcțiilor teoretice. Se poate vedea și picta suprafața unei mese și chiar se poate vedea și picta o serie infinită de straturi din tablă din ce în ce mai subțiri. Dar nu se poate picta setul acestor părți (cu excepția cazului, acesta este pur și simplu un alt mod de a spune că părțile sunt pictate). Într-adevăr, De Laguna (1922), unul dintre primii sponsori ai metodei lui Whitehead, a remarcat că identificarea punctelor și a altor granițe cu clase de solide este deschisă la o greșită interpretare greșită: „Deși percepem solide, nu percepem seturi abstracte de solide. […] În acceptarea setului abstract, depășim la fel de veritabil dincolo de experiență ca și în acceptarea solidului de lungime zero”(922: 460).

O a treia opțiune, alternativă la teoriile de tip (1) și tip- (2), ar fi o relatare „operaționalistă” de tipul susținut de Adams (1884, 1996), unde procesul abstract prin care sunt derivate elementele de graniță. Observabile concrete sunt explicate în termeni de „teste operaționale”. Cu siguranță, totuși, un astfel de cont este cel mai bine considerat ca o poveste paralelă, una care oferă o explicație a cunoștințelor empirice referitoare la granițe, rămânând în cele din urmă neutre în ceea ce privește statutul lor ontologic.

Apendice: Un buchet de citate

„Un punct este cel care nu are nicio parte. O linie nu are lungime. Extremitățile unei linii sunt puncte. […] O suprafață este aceea care are numai lungime și lățime. Extremitățile unei suprafețe sunt linii. […] O graniță este aceea care este extremitatea a orice. " [Euclid, Elemente, Bk I, Dfs 1-3, 5-6, 13]

„Numim o limită a extremității fiecărui lucru, adică primul lucru în afara căruia nu se găsește nicio parte [a lucrului] și primul lucru în interiorul căruia trebuie să se găsească fiecare parte [a lucrului]. “[Aristotel, Metafizica 1022 a]

„Există două specii de incorporeale. Unii dintre ei, cum ar fi Dumnezeu și sufletul, pot îndura în incorporeitatea lor în afara sensibililor. Dar alții, cum ar fi o linie fără corp subiect, nu pot fi în totalitate în afara sensibililor în care se află. " [Abelard, Logica „nostrorum petitioni sociorum” (1994: 26)]

„[T] corpul sferic nu atinge corpul plat în primul rând cu o parte care este astfel încât fiecare dintre părțile sale ating corpul plat. Prin urmare, nu o atinge în primul rând cu o parte care este anterioară tuturor celorlalte părți care ating. Mai degrabă, orice parte de atingere dată este încă astfel încât jumătate din ea nu se atinge imediat, iar jumătate din acea jumătate nu atinge imediat și așa mai departe ad infinitum. " [William of Ockham, Întrebări Quodlibetale, I, q. 9, a. 2 (1991:…)]

Punctele sunt „lucruri complet indivizibile”, liniile sunt „lucruri divizibile doar într-o singură dimensiune”, iar suprafețele sunt „lucruri divizibile în două dimensiuni”. [Grigore de Rimini, Comentariul sentințelor, In secundum Sententiarum (ing. Trans. Din Duhem 1913/1959: 25-26)]

„Ce este […] care împarte atmosfera de apă? Este necesar să existe o graniță comună care nu este nici aer, nici apă, dar care nu este fără substanță, deoarece un corp interpus între două corpuri împiedică contactul lor, iar acest lucru nu se întâmplă în apă cu aer. […] Prin urmare, o suprafață este granița comună a două corpuri care nu sunt continue și nu face parte din unul sau din celălalt, pentru că dacă suprafața a făcut parte din ea, aceasta ar avea un volum divizibil, în timp ce nu este divizibil și nimicul îi împarte pe acești corpuri unul de celălalt.” [Leonardo da Vinci, Caiete (1938: 75-76)]

„Contactul real are loc într-o entitate care există cu adevărat și formal în lucruri; căci contactul în sine este real și există în mod corespunzător și formal în realitate; prin urmare, apare într-o entitate reală care există formal în lucrul respectiv; și totuși apare într-un lucru indivizibil; Prin urmare, o astfel de entitate indivizibilă există formal în lucrul în sine. " [Francisco Suarez, Disputationes Metaphysicae §19 (ing. Trans. Din Zimmerman 1996: 160)]

„[B] y superficii nu înseamnă aici nicio porțiune a corpului înconjurător, ci doar extremitatea care se află între corpul înconjurat și cel înconjurat, care nu este decât un mod; sau […] ne referim la suprafața comună care este o suprafață care nu este o parte a unui corp decât la celălalt și care este considerată întotdeauna aceeași, atât timp cât păstrează aceeași mărime și aceeași figură. " [René Descartes, Principiile filosofiei, partea 2, Principiul XV (1911: 261)]

„[S] Filosofii școlii […] presupun că natura a amestecat câteva puncte matematice cu părțile infinit divizibile pentru a servi drept conexiuni între ele și pentru a alcătui extremitățile corpurilor. Ei au crezut că ar putea răspunde, de asemenea, obiecției cu privire la contactul penetrativ al două suprafețe, dar acest subterfugiu este atât de absurd încât nu merită să fie respins. " [Pierre Bayle, Dicționar istoric și critic (1697: 370)]

„Definesc limita unui corp ca agregatul tuturor atomilor eterici (äusserst) care încă îi aparțin. […] În plus, o analiză mai atentă arată că multe corpuri sunt în anumite locuri, în totalitate, fără a limita atomii; niciunul dintre atomii lor nu poate fi descris ca fiind extremul dintre cei care încă îi aparțin și nu l-ar însoți dacă ar începe să se miște. [Două corpuri sunt în contact] când atomii extreme ai unuia, […] împreună cu anumiți atomi ai celuilalt, formează o extensie continuă. " [Bernard Bolzano Paradoxurile infinitului § 66 (1851: 167-68)]

„Una dintre cele două linii în care linia ar fi împărțită după divizare ar avea […] un punct final, dar cealaltă fără un punct de început. Această inferență a fost atrasă destul de corect de Bolzano, care a fost condus prin aceasta la doctrina sa monstruoasă că ar exista corpuri cu și fără suprafețe, o clasă care conține doar atâtea ca celălalt, deoarece contactul ar fi posibil doar între un corp cu un suprafata si alta fara. El ar fi trebuit, mai degrabă, să-și fi atras atenția prin astfel de consecințe asupra faptului că întreaga concepție a liniei și a altor continuu ca seturi de puncte contravine conceptului de contact și, prin urmare, elimină exact ceea ce constituie esența continuum.“[Franz Brentano, Nativistic, Empiricist and Theoo Anoetistic Theories of our Presentation of Space (1976: 146)]

„Dacă o suprafață roșie și o suprafață albastră sunt în contact între ele, atunci coincide o linie roșie și una albastră.” [Franz Brentano, On What is Continuous (1976: 41)]

„Unul numește ecuatorul o linie imaginară, dar ar fi greșit să o numim o linie care a fost doar gândită. Nu a fost creat de gândire ca rezultat al unui proces psihologic, ci este doar înțeles sau înțeles de gândire. Dacă prinderea ei a fost o problemă a apariției sale, atunci nu am putea spune nimic pozitiv despre ecuator în niciun moment înainte de această presupusă venire. [Gottlob Frege, Bazele aritmeticii § 26 (1884: 35)]

„O definiție a unui concept (a unui posibil predicat) trebuie să […] stabilească, fără echivoc, în ceea ce privește orice obiect, dacă se încadrează sau nu în concept (dacă predicatul este cu adevărat afirmabil sau nu). […] Putem exprima acest lucru metaforic după cum urmează: conceptul trebuie să aibă o graniță accentuată. Cu un concept fără graniță ascuțită, ar corespunde o zonă care nu avea o linie de delimitare ascuțită în jurul valorii de jur împrejur, dar în locuri doar vag decolorate în fundal. " [Gottlob Frege, Legile fundamentale ale aritmeticii, vol. II, §56 (1903: 159)]

„[Trebuie să facem distincția între categoria Frontierelor Naturale și] categoria Frontierelor artificiale, prin care se înțeleg acele linii de graniță care, nefiind dependente de trăsăturile naturale ale suprafeței pământului pentru selecția lor, au fost create artificial sau arbitrar de om..“[Lordul Curzon din Kedleston, Frontiere (1907: 12)].

„Dacă putem da o definiție a punctelor care le va face să îndeplinească o anumită pereche de condiții, nu va conta dacă punctele în sine ar trebui să se dovedească a fi entități de altfel decât cele pe care le presupuneam. Cele două condiții sunt (i) că punctele trebuie să aibă reciproc tipul de relații pe care geometria le cere; și (ii) că punctele trebuie să aibă zone și volume finite, astfel încât să se poată da un sens rezonabil afirmației că astfel de zone și volume pot fi analizate exhaustiv în seturi de puncte. " [CD larg, gândire științifică (1959: 39)]

„„ Suprafața”, este adevărat, este un substantiv în gramatică; dar nu este numele unui anumit existent, ci al unui atribut. " [Preț HH, percepție (1932: 106)]

„Consider că sunt destul de sigur că nu percep direct mâna mea; și că, atunci când mi se spune (așa cum mi se poate spune corect), „o percep”, că „percep” înseamnă că percep (într-un sens diferit și mai fundamental) ceva care este (într-un sens adecvat) reprezentant al aceasta, și anume, o anumită parte a suprafeței sale.” [GE Moore, A Defense of Common Sense (1925: 217)]

„Este greșit să presupunem că totul are o suprafață. Unde și care este exact suprafața unei pisici?” [John L. Austin, Sense și Sensibilia (1962: 100)]

„Suprafața este cea mai mare parte a acțiunii. Suprafața este locul unde lumina este reflectată sau absorbită, nu interiorul substanței. Suprafața este ceea ce atinge animalul, nu interiorul. Suprafața este locul unde au loc în general reacții chimice. Suprafața este locul unde se produce vaporizarea sau difuzarea substanțelor în mediu. Și suprafața este unde vibrațiile substanței sunt transmise în mediu. " [JJ Gibson, Abordarea ecologică a percepției vizuale (1979: 23)]

„Dacă obiectul continuu este tăiat la jumătate, atunci singura graniță [care demarcează două părți adiacente] devine două granițe, un lucru devenind astfel două lucruri? […] Dar cum poate un lucru - chiar dacă este doar o graniță - să devină două lucruri? Și asta înseamnă că atunci când două lucruri devin continue, atunci două lucruri care au fost diverse devin identice între ele, două lucruri devenind astfel un lucru?” [Roderick Chisholm, Limitele ca particularități dependente (1984: 88)]

„Motivul pentru care este vag unde începe decalajul nu este faptul că există acest lucru, outback-ul, cu granițe imprecise; mai degrabă sunt multe lucruri, cu granițe diferite și nimeni nu a fost suficient de prost încât să încerce să impună alegerea unuia dintre ele ca referent oficial al cuvântului „outback”.” [David K. Lewis, Pluralitatea lumilor (1986: 212)]

„Nu există nicio linie care să împartă brusc materia care compune [Muntele] Everest de materia din afara ei. Limitele Everestului sunt confuze. Unele molecule se află în interiorul Everestului și altele în afara. Dar unii au un statut nedefinit: nu există niciun fapt obiectiv și determinat al chestiunii cu privire la faptul dacă se află în interior sau în afară. " [Michael Tye, Obiecte vagi (1990: 535)]

„Un concept vag nu are granițe, în condițiile în care nicio limită nu marchează lucrurile care se încadrează în el din lucrurile care nu și nici o limită nu marchează lucrurile care se încadrează cu siguranță din cele care nu o fac cu siguranță; si asa mai departe. Manifestările sunt dorința de a cunoaște subiecții să tragă astfel de granițe, imposibilitatea cognitivă de a identifica astfel de granițe și inutilitatea și chiar disutilitatea acestor granițe. [Mark Sainsbury, Conceptele fără margini (1990: 257)]

Bibliografie

  • Abelard, 1994, Logica „nostrorum petitioni sociorum”: glossula super Porphyrium, ing. trans. de PV Spade, „Din„ Glosses on Porphyry”, în PV Spade, Five Texts on the Mediaeval Problem of Universals, Indianapolis: Hackett, pp. 26-56.
  • Adams, EW, 1984, „Pe superficial”, Pacific Philosophical Trimestrial 65: 386-407.
  • Adams, EW, 1996, „Topologie, empirism și operaționalism”, The Monist 79: 1-20.
  • Aristotel, Physics, in J. Barnes (ed.) Operele complete ale lui Aristotel, Princeton (NJ): Princeton University Press, 1995, voi. 1.
  • Aristotel, Metafizica, în J. Barnes (ed.) Operele complete ale lui Aristotel, Princeton (NJ): Princeton University Press, 1995, voi. 2.
  • Austin, JL, 1962, Sense and Sensibilia (ed. De GJ Warnock), Oxford, Oxford University Press
  • Bayle, P., 1697, Dictionaire historique et critique, Rotterdam: Reinier Leers; Eng. Trans. de RH Popkin, Dicționar istoric și critic: selecții, Indianapolis: Bobbs-Merrill, 1965.
  • Bolzano, B., 1851, Paradoxien des Unendlichen, ed. F. Pihonsk, Leipzig: Reclam; Eng. trans. de DA Steele, Paradoxurile infinitului, Londra: Routledge & Kegan Paul, 1950.
  • Brentano, F., 1976, Philosophische Untersuchungen zu Raum, Zeit und Kontinuum (ed. De S. Körner și RM Chisholm), Hamburg: Meiner; Eng. trans. de B. Smith, Investigații filozofice despre spațiu, timp și continuu, Londra: Croom Helm, 1988.
  • Broad, CD, 1923, Gândirea științifică, New York: Harcourt.
  • Cartwright, R., 1975, „Obiecte împrăștiate”, în K. Lehrer (ed.), Analiza și metafizica, Dordrecht: Reidel, p. 153-171.
  • Casati, R., și Varzi, AC, 1999, Piese și locuri. Structurile reprezentării spațiale, Cambridge (MA) și Londra: MIT Press.
  • Chisholm, RM, 1984, „Limitele ca particularități dependente”, Grazer philosophische Studien 10: 87-95.
  • Chisholm, RM, 1992/1993, „Continuitatea spațială și teoria părții și întregii. Un studiu Brentano ', Brentano Studien 4: 11-23.
  • Clarke, BL, 1985, 'Individuals and Points', Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61-75.
  • Copeland, J., 1995, „On Vague Objects, Fuzzy Logic and Fractal Limites”, Southern Journal of Philosophy 33 (Supliment): 83-96.
  • Curzon, GN, 1907, Frontiere - The Romanes Lecture, Oxford: Clarendon Press.
  • De Laguna, T., 1922, „Punctul, linia și suprafața, ca seturi de solide”, Journal of Philosophy 19: 449-461.
  • Descartes, R., Principiile filosofiei, în ES Hildane și GRT Ross (eds.), Cambridge: The University Press, 1911.
  • Duhem, P., 1913/1959, Le système du monde; histoire des doctrines cosmologiques de Platon à Copernic, Paris, Hermann; parțial ing. trans. de R. Ariew, Cosmologie medievală: teorii despre infinit, loc, timp, vid și pluralitatea lumilor, Chicago: Universitatea din Chicago Press, 1985.
  • Euclid, Cele Treisprezece cărți ale elementelor lui Euclid, ing. trans. de TL Heath. Cambridge: The University Press, 1908 (1926 2).
  • Frege, G., 1884, Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau: Köbner; Eng. trans. de JL Austin, The Foundations of Arithmetic, Oxford: Basil Blackwell, 1950.
  • Frege, G., 1903, Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet, Band II, Jena, Pohle; parțial ing. trans. de PT Geach, „Legile fundamentale ale aritmeticii II”, în PT Geach și M. Black (eds.), Traduceri din Scrierile filozofice ale lui Gottlob Frege, Oxford: Blackwell, 1952, p. 159-181, 234-244.
  • Galton, AP, 1994, „Evenimente instantanee”, în HJ Ohlbach (ed.), Logica temporală: Proceedings of the ICTL Workshop, Saarbrücken: Max-Planck-Institut für Informatik, Technical Report MPI-I-94-230, pp. 4-11.
  • Galton, AP, 2003, „Cu privire la starea ontologică a limitelor geografice”, în M. Duckham și colab. (eds.), Fundațiile științei informației geografice, Londra: Taylor și Francis, pp. 151-171.
  • Galton, AP, 2007, „Cu privire la natura paradoxală a suprafețelor: ontologia la interfața fizică / geometrie”, The Monist 90, în presă.
  • Gibson, JJ, 1979, The Ecological Approach to Visual Perception, Boston: Houghton Mifflin.
  • Heller, M., 1990, Ontologia obiectelor fizice: patru dimensiuni cioburi de materie, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Hestevold, HS, 1986, „Limite, suprafețe și întregi continue”, Southern Journal of Philosophy 24: 235-245.
  • Holden T., 2004, The Architecture of Matter: Galileo to Kant, Oxford: Clarendon.
  • Hudson, H., 2002, 'The Liberal View of Receptacles', Australian Journal of Philosophy 80: 432-439.
  • Jackendoff, R., 1987, Consciousness and the Computational Mind, Cambridge (MA): MIT Press.
  • Jackendoff, R., 1991, „Părți și granițe”, Cognition 41: 9-45.
  • Kamp, H., 1979, „Evenimente, instantanee și referință temporală”, în R. Bäuerle, U. Egli și A. von Stechow (eds.), Semantică din diferite puncte de vedere, Berlin și Heidelberg: Springer-Verlag, p. 376-417.
  • Leonardo da Vinci, 1938, Caietele lui Leonardo da Vinci, selectat ing. trans. ed. de E. MacCurdy, Londra: Reynal și Hitchock.
  • Lewis, DK, 1986, On Plurality of Worlds, Oxford: Blackwell.
  • Lobachevskii, NI, 1835/1938, 'Novye naala geometrii s polnoj teoriej parallel'nyh' [Noile principii de geometrie cu teoria completă a paralelelor], Kazan, Izdatel'stvo Kazanskogo universiteta.
  • McGee, V., 1997, „Kilimanjaro”, Revista canadiană de filozofie 23 (supliment): 141-195.
  • Menger, K., 1940, „Topologie fără puncte”, Pamfletele 27, 80-107 de la Institutul de Orez
  • Moore, GE, 1925, „A Defense of Common Sense”, în JH Muirhead (ed.), Contemporary British Philosophy (Seria a doua), Londra: Allen & Unwin, pp. 193-223.
  • Ockham, William of, Quodlibetal Questions, ing. trans. de AJ Freddoso și FE Kelly, New Haven (CN): Yale University Press, 1991.
  • Peirce, CS, 1893, „Logica cantității”, în Documentele colectate ale lui Charles Sanders Peirce, Vol. IV, ed. de C. Hartshorne și P. Weiss, Cambridge (MA): Harvard University Press, 1933.
  • Preț, HH, 1932, Percepție, Londra: Methuen.
  • Priest, G., 1987, In contracriere. Un studiu despre Transconsistent, Boston și Dordrecht: Nijhoff.
  • Randell, DA, Cui, Z. și Cohn, AG, 1992, „O logică spațială bazată pe regiuni și conexiune”, în B. Nebel și colab. (eds.), Principiile reprezentării și motivării cunoștințelor. Proceedings of the Third Conference International, Los Altos (CA): Morgan Kaufmann, p. 165-176.
  • Russell, B., 1914, Our Knowledge of the External World, Londra: Allen & Unwin.
  • Sainsbury, M., 1990, „Conceptele fără limită”, Prelegere inaugurală, Departamentul de filozofie, King’s College, Londra; retipărit în R. Keefe și P. Smith (eds.), Vagueness. A Reader, Cambridge (MA): MIT Press, 1996, p. 251-264.
  • Simons, PM, „Faces, Boundaries and Thin Layers”, în AP Martinich și MJ White (eds.), Certitudine și suprafață în epistemologie și metodă filosofică. Essays in Honor of Avrum Stroll, Lewiston: Edwin Mellen Press, p. 87-99.
  • Smith, B., 1995, „Pe desenarea liniilor pe hartă”, în AU Frank și W. Kuhn (eds.), Teoria informațiilor spațiale. O bază teoretică pentru GIS. Proceedings of the Third Conference International, Berlin: Springer, p. 475-484.
  • Smith, B., 1997, 'Boundaries: an Essay in Mereotopology', în LH Hahn (ed.), The Philosophy of Roderick Chisholm, Chicago and La Salle, IL: Open Court, pp. 534-61.
  • Smith, B., 2001, „Obiecte Fiat”, Topoi 20: 131-148.
  • Smith, B. și Varzi, AC, 2000, „Fiat and Bona Fide Boundaries, Philosophy and Fenomenological Research 60: 401-420.
  • Sorensen, RA, 1986, „Tranziții”, Studii filosofice 50: 187-193.
  • Sorensen, RA, 1988, Blindspots, Oxford: Clarendon Press.
  • Stroll, A., 1979, „Două concepte ale suprafețelor”, Midwest Studies in Philosophy 4: 277-291.
  • Stroll, A., 1988, Suprafețe, Minneapolis: University of Minnesota Press.
  • Tarski A., 1929, „Les fondements de la géométrie des corps”, Ksiga Pamitkowa Pierwszkego Polskiego Zjazdu Matematycznego, suppl. la Annales de la Société Polonaise de Mathématique 7: 29-33; Eng. trans. de JH Woodger, „Bazele Geometriei Solidelor”, în A. Tarski, Logică, Semantică, Metamatematică. Hârtii din 1923 până în 1938, Oxford: Clarendon, 1956, p. 24-29.
  • Tye, M., 1990, „Obiecte vagi”, Minte 99: 535-557.
  • van Benthem, J., 1983, Logica timpului, Dordrecht: Kluwer (ediția a 2-a, 1991).
  • Varzi, AC, 1997, „Limite, continuitate și contact”, Noûs 31: 26-58.
  • Varzi, AC, 2001, 'Vagueness in Geography', Philosophy & Geography 4: 49-65.
  • Varzi, AC, 2007, „Raționament spațial și ontologie: piese, întregi și locații”, în M. Aiello și colab. (eds.), Handbook of Spatial Logics, Berlin, Springer, p. 945-1038.
  • Walker, AG, 1947, „Durées et instants”, Revue Scientifique 85: 131-34.
  • Whitehead, AN, 1916, „La théorie relationniste de l’espace”, Revue de Métaphysique et de Morale 23: 423-454; Eng. trans. de PJ Hurley, „Teoria relațională a spațiului”, Arhivele de cercetare în filosofie 5 (1979): 712-741.
  • Whitehead, AN, 1919, O anchetă privind principiile cunoașterii umane, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Williamson, T., 1994, Vagueness. Londra: Routledge.
  • Zimmerman, DW, 1996, „Părți indivizibile și obiecte extinse: unele episoade filozofice din preistoria topologiei”, The Monist 79: 148-180.

Alte resurse de internet