Teoria Revizuirii Adevărului

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Modificat ultima dată: 2023-08-25 04:39

Acesta este un fișier din arhivele Enciclopediei de Filozofie din Stanford.

Teoria revizuirii adevărului

Publicat pentru prima dată vineri 15 decembrie 1995; revizuire de fond vineri 28 iulie 2006

Ia în considerare următoarea propoziție:

(1) nu este adevărat.

(1)

De multă vreme se știe că propoziția, (1), produce un paradox, așa-numitul paradox al mincinosului: pare imposibil constant să se mențină că (1) este adevărat și imposibil de menținut în mod constant că (1) nu este adevărat. (Pentru detalii, a se vedea secțiunea 1, mai jos.) Având în vedere un asemenea paradox, s-ar putea să fim sceptici față de noțiunea de adevăr sau cel puțin de perspectivele de a da o relatare științifică a adevărului. Marea realizare a lui Alfred Tarski a fost să arate cum să oferim - contra acestui scepticism - o definiție formală a adevărului pentru o clasă largă de limbi formalizate. Tarski nu a arătat însă cum să dea o definiție a adevărului pentru limbi (cum ar fi engleza) care conțin propriile predicate ale adevărului. El a crezut că acest lucru nu se poate face, tocmai din cauza paradoxului mincinosului. El a socotit că orice limbă cu propriul său predicat de adevăr ar fi inconsecventă, atâta timp cât respecta regulile logicii clasice standard și avea capacitatea de a se referi la propozițiile proprii.

Având în vedere legătura strânsă dintre semnificație și adevăr, se consideră că orice semantică pentru un limbaj L, adică orice teorie a sensului pentru L, va fi strâns legată de o teorie a adevărului pentru L: într-adevăr, se consideră în mod obișnuit că ceva ca o teorie a Tarskiei adevărului pentru L va fi o parte centrală a unei semantice pentru L. Astfel, imposibilitatea de a da o teorie a Tarskiei despre adevăr pentru limbile cu propriile predicate ale adevărului amenință proiectul de a da o semantică pentru limbi cu propriile predicate ale adevărului.

A trebuit să așteptăm până la lucrarea lui Kripke 1975 și a lui Martin & Woodruff 1975 pentru o propunere formală sistematică a unei semantice pentru limbi cu propriile predicate ale adevărului. Gândirea de bază este simplă: considerați că propozițiile jignitoare, cum ar fi (1), nu sunt nici adevărate, nici false. În special, Kripke arată cum să punem în aplicare acest gând pentru o mare varietate de limbi, folosind de fapt o semantică cu trei valori, adevărată, falsă și nici una. ^[1] Este sigur să spunem că abordările kripkeane au înlocuit pesimismul Tarskian ca noua ortodoxie cu privire la limbi cu propriile predicate ale adevărului.

Unul dintre principalii rivali ai tematicii cu trei valori este Revision Theory of Truth, sau RTT, conceput independent de Hans Herzberger și Anil Gupta, și prezentat pentru prima dată în publicarea în Herzberger 1982a și 1982b, Gupta 1982 și Belnap 1982 - primele monografii pe această temă sunt Yaqūb 1993 și locus classicus, Gupta și Belnap 1993. RTT este conceput să modeleze tipul de raționament pe care îl conduce sentința mincinoasă, într-un context cu două valori. Ideea centrală este ideea unui proces de revizuire: un proces prin care revizuim ipoteze despre valoarea adevărului uneia sau mai multor propoziții. Scopul prezentului articol este să contureze teoria revizuirii adevărului. Procedăm după cum urmează:

• 1. Introducere semiformă

• 2. Încadrarea problemei

  • 2.1 Limbi ale adevărului
  • 2.2 Modele la sol
  • 2.3 Paradoxul mincinosului (din nou)

• 3. Noțiuni de bază ale RTT

  • 3.1 Reguli de revizuire
  • 3.2 Secvențe de revizuire

• 4. Interpretarea formalismului

  • 4.1 Semnificația T
  • 4.2 „Forma” în T-biconditionale
  • 4.3 Raționamentul paradoxal
  • 4.4 Teza de semnificare
  • 4.5 Supraviețuirea semanticii
  • 4.6 Interpretarea formalismului lui Yaqūb

• 5. Probleme suplimentare

  • 5.1 Semantica cu trei valori
  • 5.2 Modificări ale RTT
  • 5.3 Teoria revizuirii conceptelor definite circular
  • 5.5 Aplicații
  • 5.5 O întrebare deschisă
• Bibliografie
• Alte resurse de internet
• Intrări conexe

1. Introducere semiformă

Să aruncăm o privire mai atentă asupra propoziției (1), dată mai sus:

(1) nu este adevărat.

(1)

Va fi util să facem explicită raționamentul paradoxal. În primul rând, să presupunem că

(1) nu este adevărat.

(2)

Pare un principiu intuitiv în ceea ce privește adevărul că, pentru orice propoziție p, avem așa-numita T-bicondițională

„p” este adevărat dacă p.

(3)

(Aici folosim „iff” ca prescurtare pentru „if and only if”.) În special, ar trebui să avem

„(1) nu este adevărat” este adevărat dacă (1) nu este adevărat.

(4)

Astfel, de la (2) și (4), obținem

„(1) nu este adevărat” este adevărat.

(5)

Atunci putem aplica identitatea,

(1) = '(1) nu este adevărat.'

(6)

să concluzionăm că (1) este adevărat. Toate acestea arată că dacă (1) nu este adevărat, atunci (1) este adevărat. În mod similar, putem argumenta, de asemenea, că dacă (1) este adevărat, atunci (1) nu este adevărat. Deci (1) pare a fi atât adevărat, cât și nu adevărat: de unde și paradoxul. După cum s-a menționat mai sus, abordarea cu trei valori a paradoxului consideră că sentința mincinoasă (1) nu este nici adevărată, nici falsă. Exact cum, sau chiar dacă, această mișcare blochează raționamentul de mai sus este o problemă de dezbatere. RTT nu este conceput pentru a bloca raționamentul de tipul de mai sus, ci pentru a-l modela sau cel mai mult. ^[2] După cum am spus mai sus, ideea centrală este ideea unui proces de revizuire: un proces prin care revizuim ipoteze despre valoarea de adevăr a uneia sau a mai multor propoziții.

Luați în considerare raționamentul cu privire la sentința mincinoasă (1) de mai sus. Să presupunem că ipotezăm că (1) nu este adevărat. Apoi, cu o aplicație a T-bicondițională relevantă, am putea revizui ipoteza după cum urmează:

Ipoteză:	(1) nu este adevărat.
T-biconditional:	„(1) nu este adevărat” este adevărat dacă (1) nu este adevărat.
Prin urmare:	„(1) nu este adevărat” este adevărat.
Identitate cunoscută:	(1) = '(1) nu este adevărat'.
Concluzie:	(1) este adevărat.
Noua ipoteză revizuită:	(1) este adevărat.

Am putea continua procesul de revizuire, revizuind din nou ipoteza, după cum urmează:

Noua ipoteză:	(1) este adevărat.
T-biconditional:	„(1) nu este adevărat” este adevărat dacă (1) nu este adevărat.
Prin urmare:	„(1) nu este adevărat” nu este adevărat.
Identitate cunoscută:	(1) = '(1) nu este adevărat'.
Concluzie:	(1) nu este adevărat.
Noua nouă ipoteză revizuită:	(1) nu este adevărat.

Pe măsură ce procesul de revizuire continuă, ne întoarcem înainte și în urmă între luarea sentinței mincinoase pentru a fi adevărată și nu adevărată.

Exemplul 1.1

Merită să vedem cum funcționează acest tip de raționament de revizuire într-un caz cu mai multe propoziții. Să aplicăm ideea de revizuire la următoarele trei propoziții:

(8) este adevărat sau (9) este adevărat.	(7)
(7) este adevărat.	(8)
(7) nu este adevărat.	(9)

În mod informal, am putea raționa după cum urmează. Ori (7) este adevărat sau (7) nu este adevărat. Astfel, fie (8) este adevărat, fie (9) este adevărat. Astfel, (7) este adevărat. Astfel (8) este adevărat și (9) nu este adevărat și (7) este încă adevărat. Ieratând procesul încă o dată, obținem din nou (8) este adevărat, (9) nu este adevărat și (7) este adevărat. Mai formal, luați în considerare orice ipoteză inițială, h ₀, despre valorile adevărului din (7), (8) și (9). Fie h ₀ spune că (7) este adevărat, fie h ₀ spune că (7) nu este adevărat. În ambele cazuri, putem folosi T-bicondiționalul pentru a genera ipoteza noastră revizuită h ₁: dacă h ₀ spune că (7) este adevărat, atunci ₁ spune că „(7) este adevărat” este adevărat, adică că (8) este adevarat; iar dacă h ₀spune că (7) este adevărat, atunci h ₁ spune că „(7) nu este adevărat” este adevărat, adică că (9) este adevărat. Deci h ₁ spune că fie (8) este adevărat, fie (9) este adevărat. Deci h ₂ spune că „(8) este adevărat sau (9) este adevărat” este adevărat. Cu alte cuvinte, h ₂ spune că (7) este adevărat. Deci, indiferent de ipoteza h ₀ începem, două iterații ale procesului de revizuire duc la o ipoteză că (7) este adevărată. În mod similar, trei sau mai multe iterații ale procesului de revizuire duc la ipoteza că (7) este adevărat, (8) este adevărat și (9) este fals - indiferent de ipoteza noastră inițială. În secțiunea 3, vom reconsidera acest exemplu într-un context mai formal.

Un lucru de remarcat este că, în Exemplul 1.1, procesul de revizuire produce valori de adevăr stabile pentru toate cele trei propoziții. Noțiunea de propoziție stabilă în toate secvențele de revizuire va fi o noțiune centrală pentru RTT. Tratamentul revizuit-teoretic contrastează, în acest caz, cu abordarea cu trei valori: pentru majoritatea modalităților de implementare a ideii cu trei valori, toate cele trei propoziții, (7), (8) și (9), se dovedesc a fi nici una adevărat și nici fals. ^[3] În acest caz, RTT surprinde mai bine raționamentul informal corect decât abordarea cu trei valori: RTT atribuie propozițiilor (7), (8) și (9) valorile adevărului care le-au fost atribuite prin raționamentul informal dat la începutul exemplului.

2. Încadrarea problemei

2.1 Limbi ale adevărului

Scopul RTT este de a da o explicație despre raționamentul nostru de multe ori instabil și adesea paradoxal despre adevăr - un cont de două valori care atribuie propozițiilor valori de adevăr clasice stabile atunci când raționamentul intuitiv ar atribui valori stabile de adevăr clasic. Vom prezenta o semantică formală pentru un limbaj formal: dorim ca acel limbă să aibă atât un predicat al adevărului, cât și resursele pentru a se referi la propozițiile proprii.

Să luăm în considerare un limbaj de prim ordin L, cu conectiv &, ∨ și ¬, cuantificatori ∀ și ∃, semnul egal =, variabile și un stoc de nume, simboluri funcționale și simboluri de relație. Vom spune că L este un limbaj de adevăr, dacă are un predicat distins T și ghilimele 'și', care vor fi folosite pentru a forma nume de citate: dacă A este o propoziție a lui L, atunci „A” este un nume. Fie trimis _L = {A: A este o propoziție din L}.

2.2 Modele la sol

În afară de predicatul adevărului, vom presupune că limba noastră este interpretată complet clasic. Deci, vom reprezenta fragmentul T- free al unui limbaj de adevăr L printr-un model de bază, adică o interpretare clasică a fragmentului T- free al lui L. Prin T fragmentul -free de L, ne referim la limba de ordinul L ^- care are aceleași nume, simboluri de funcții și simboluri de relații ca L, cu excepția predicatul unară T. Întrucât L ^- are aceleași nume ca L, inclusiv aceleași nume de citat, L ^- va avea un nume de citat „A” pentru fiecare propoziție A din L. Astfel ∀ x T x nu este o propoziție a lui L ^-, ci „∀ x” T x 'este un nume al lui L ^- iar ∀ x (x =' ∀ x T x ') este o propoziție a lui L ^-. Având în vedere un model de la sol, vom lua în considerare perspectivele de a oferi o interpretare a satisface T. Cel mai evident deziderat este că modelul de bază, extins pentru a include o interpretare a lui T, satisface T-biconditionalele lui Tarski, adică biconditionalele formei

T  'A' iff A

pentru fiecare A ∈ Sent _L. Pentru a preciza lucrurile, un model de bază pentru L să fie un model clasic M = <D, I> pentru fragmentul fără T al lui L, care să satisfacă următoarele:

1. D este un domeniu al discursului non-tentant;

2. I este o funcție de atribuire

   1. pentru fiecare nume al lui L, un membru al lui D;
   2. pentru fiecare funcție n -ary simbol de L o funcție de la D ⁿ la D; și
   3. la fiecare simbol de relație n -ary, altul decât T, a lui L, o funcție de la D ⁿ la una dintre cele două valori de adevăr din mulțimea { t, f }; ^[4]
3. Trimis _L ∈ D; și
4. I ('A') = A pentru fiecare A ∈ Sent _L.

Clauzele (1) și (2) specifică pur și simplu ce înseamnă pentru M să fie un model clasic al fragmentului fără T al lui L. Clauzele (3) și (4) se asigură că L, atunci când este interpretată, poate vorbi despre proprii propoziții. Având în vedere un model de bază M pentru L și un nume, simbolul funcției sau simbolul relației X, putem considera că I (X) este interpretarea sau, pentru a împrumuta un termen de la Gupta și Belnap, semnificația lui X. Gupta și Belnap caracterizează semnificația unei expresii sau a unui concept într-o lume w ca „ceva abstract care poartă toate informațiile despre toate relațiile de extensie ale expresiei [sau ale conceptului] din w.” Dacă dorim să interpretăm Tx ca „x este adevărat”, atunci, având în vedere un model de bază M, am dori să găsim o semnificație adecvată, sau o gamă adecvată de semnificații, pentru T.

2.3 Paradoxul mincinosului (din nou)

Am putea încerca să atribuie T o semnificație clasică, prin extinderea M la un model M clasic „= <D“, I '> pentru toate L, inclusiv T. Reamintim că vrem ca M 'să satisfacă T-biconditionalele: cel mai evident gând aici este să înțelegem „iff” -ul ca fiind standardul condițional biconditional. Din păcate, nu orice model de sol M = <D, I> nu poate fi extins la un astfel de M '. Luați în considerare un limbaj de adevăr L cu un nume λ și un model de bază M = <D, I> astfel încât I (λ) = ¬ T λ. Și să presupunem că M 'este o expansiune clasică a lui M la toate L. Întrucât M 'este o expansiune a lui M, eu și cu mine suntem de acord cu toate numele lui L. Asa de

I '(λ) = I (λ) = ¬ T λ = I (' ¬ T λ ') = I' ('¬ T λ').

Deci, propozițiile T λ și T  '¬ T λ' au aceeași valoare de adevăr în M '. Deci, T-biconditional

T  '¬ T λ' ≡ ¬ T λ

este fals în M '. Aceasta este o formalizare a paradoxului mincinosului, cu propoziția ¬ T X ca teza mincinosul ofensatoare a lui.

Într-o semantică pentru limbi capabile să exprime propriile concepte de adevăr, T nu va avea, în general, o semnificație clasică; iar „iff” -ul din T-biconditionale nu va fi citit ca biconditional clasic. Luăm aceste sugestii în secțiunea 4 de mai jos.

3. Noțiuni de bază ale RTT

3.1 Reguli de revizuire

În secțiunea 1, am schițat în mod informal gândirea centrală a RTT, și anume că putem folosi T-biconditionalele pentru a genera o regulă de revizuire - o regulă pentru revizuirea unei ipoteze despre extinderea predicatului adevărului. Aici vom oficializa această noțiune și vom lucra printr-un exemplu din secțiunea 1.

În general, L să fie un limbaj de adevăr și M să fie un model de bază pentru L. O ipoteză este o funcție h: D → { t, f }. O ipoteză va fi de fapt o interpretare clasica emis ipoteza pentru T. Să lucrăm cu un exemplu care surprinde atât paradoxul mincinosului, cât și Exemplul 1.1 din Secțiunea 1. Vom enunța exemplul formal, dar rațiunea într-un mod semiformal, pentru a trece de la o extensie ipoteză a T la alta.

Exemplul 3.1

Să presupunem că L conține patru nume non-citat, α, β, γ și λ și nici predicatele altele decât T. De asemenea, să presupunem că M = <D, I> este următoarea:

D	=	Trimis L
Eu (α)	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	T α
Eu (γ)	=	¬ T α
Eu (λ)	=	¬ T λ

Va fi convenabil să se lase

A	fi fraza	T β ∨ T γ
B	fi fraza	T α
C	fi fraza	¬ T α
X	fi fraza	¬ T λ

Prin urmare:

D	=	Trimis L
Eu (α)	=	A
I (β)	=	B
Eu (γ)	=	C
Eu (λ)	=	X

Să presupunem că ipoteza h ₀ ipoteză că A este falsă, B este adevărat, C este falsă și X este adevărat. Prin urmare

h 0 (A)	=	f
h 0 (B)	=	T
h 0 (C)	=	f
h 0 (X)	=	f

Acum ne vom implica într-un raționament semiformal, pe baza ipotezei h ₀. Printre cele patru teze, A, B, C și X, h ₀ pune numai B în extinderea T. Astfel, motivând de la h ₀, concluzionăm că

¬ T α	deoarece referentul lui α nu se află în extensia lui T
T β	întrucât referentul β se află în extensia T
¬ T γ	deoarece referentul lui γ nu se află în extensia lui T
¬ T λ	din moment ce referentul λ nu este în extinderea T.

T-bicondițională pentru cele patru propoziții A, B, C și X sunt următoarele:

(T A)	A este adevărat dacă T β ∨ T γ
(T B)	B este adevărat dacă T α
(T C)	C este adevărat dacă ¬ T α
(T X)	X este adevărat dacă ¬ T λ

Astfel, motivând de la h ₀, concluzionăm că

A este adevărat

B nu este adevărat

C este adevărat

X este adevărat

Aceasta produce noua noastră ipoteză h ₁:

h 1 (A)	=	T
h 1 (B)	=	f
h 1 (C)	=	T
h 1 (X)	=	T

Să ne revizuim din nou ipoteza. Așadar, acum ne vom angaja într-un raționament semiformal, pe baza ipotezei h ₁. Ipoteză h ₁ puts A, C și X, dar nu și B, în extinderea T. Astfel, motivând din h ₁, concluzionăm că

T α	deoarece referentul lui a este în extensia lui T
¬ T β	întrucât referentul β se află în extensia T
T γ	deoarece referentul lui γ nu se află în extensia lui T
T λ	deoarece referentul lui λ nu se află în extensia lui T

Amintiți-vă T-bicondițional pentru cele patru propoziții A, B, C și X, date mai sus. Raționând de la h ₁ și aceste T-biconditionale, concluzionăm că

A este adevărat

B este adevărat

C nu este adevărat

X nu este adevărat

Aceasta produce noua noastră ipoteză h ₂:

h 2 (A)	=	T
h 2 (B)	=	T
h 2 (C)	=	f
h 2 (X)	=	f

□

Să formalizăm raționamentul semiformal realizat în Exemplul 3.1. În primul rând am emis ipoteza că anumite sentințe au fost sau nu au fost, în extinderea T. Luați în considerare teoria modelelor clasice obișnuite. Să presupunem că limba noastră are un predicat G și un nume a și că avem un model M = <D, I> care plasează referentul unui interior în extensia lui G:

I (G) (I (α)) = t

Apoi concluzionăm, clasic, că propoziția Ga este adevărată în M. Va fi util să avem o notare pentru valoarea de adevăr clasică a unei propoziții S într-un model clasic M. Vom scrie Val _M (S). În acest caz, Val _M (Ga) = t. În Exemplul 3.1, nu am început cu un model clasic al întregii limbi L, ci doar un model clasic al fragmentului fără T al lui L. Dar apoi am adăugat o ipoteză, pentru a obține un model clasic al tuturor L. Să folosim notația M + h pentru modelul clasic al tuturor L pe care le obțineți atunci când extindeți M atribuind T o extensie prin ipoteza h. Odată ce ai atribuit o extensie predicatului T, puteți calcula valorile de adevăr ale diferitelor propoziții ale lui L. Adică, pentru fiecare propoziție S din L, putem calcula

Valoarea _{M + h} (S)

În Exemplul 3.1, am început cu ipoteza h ₀ după cum urmează:

h 0 (A)	=	f
h 0 (B)	=	T
h 0 (C)	=	f
h 0 (X)	=	f

Apoi am calculat astfel:

Val M + h 0 (T α)	=	f
Val M + h 0 (T β)	=	T
Val M + h 0 (T γ)	=	f
Val M + h 0 (T λ)	=	f

Apoi am concluzionat după cum urmează:

Val M + h 0 (A)	=	Val M + h 0 (T β ∨ T γ) = t
Val M + h 0 (B)	=	Val M + h 0 (¬ T α) = f
Val M + h 0 (C)	=	Val M + h 0 (T α) = t
Valoarea M + h 0 (X)	=	Val M + h 0 (¬ T λ) = t

Aceste concluzii au generat noua noastră ipoteză, h ₁:

h 1 (A)	=	T
h 1 (B)	=	f
h 1 (C)	=	T
h 1 (X)	=	T

Rețineți că, în general,

h ₁ (S) = Val _{M + h 0 (S).}

Acum suntem pregătiți să definim regula de revizuire dată de un model de bază M = <D, I>. În general, având în vedere o ipoteză h, să fie M + h = <D, I '> modelul lui L care este de acord cu M pe fragmentul T liber al lui L și care este astfel încât I' (T) = h. Deci M + h este doar un model clasic pentru toți L. Pentru orice model M + h din toate L și orice propoziție A dacă L, să fie Val _{M + h} (A) valoarea de adevăr clasică obișnuită a lui A în M + h.

Definiție 3.2

Să presupunem că L este un limbaj de adevăr și că M = <D, I> este un model de bază pentru L. Regula de revizuire, τ _M, reprezintă funcția de mapare a ipotezelor către ipoteze, după cum urmează:

τ M (h) (d)

=

{

t, dacă d ∈ D este o propoziție a lui L și Val M + h (d) = t f, în caz contrar

Clauza „altfel” ne spune că dacă d nu este o propoziție a lui L, atunci, după o aplicare a revizuirii, rămânem cu ipoteza că d nu este adevărată. ^[5] Rețineți că, în Exemplul 3.1, h ₁ = τ _M (h ₀) și h ₂ = τ _M (h ₁). Adesea vom renunța la „M” subscris atunci când contextul va clarifica care model de bază este în discuție.

3.2 Secvențe de revizuire

Să luăm exemplul 3.1 și să vedem ce se întâmplă când vom itera aplicarea regulii de revizuire.

Exemplul 3.3 (Exemplul 3.2 continuare)

Reamintim că L conține patru nume non-citat, α, β, γ și λ și nici predicatele altele decât T. De asemenea, amintiți-vă că M = <D, I> este următorul:

D	=	Trimis L
Eu (α)	=	A	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	B	=	T α
Eu (γ)	=	C	=	¬ T α
Eu (λ)	=	X	=	¬ T λ

Următorul tabel indică ce se întâmplă cu aplicațiile repetate ale regulii de revizuire τ _M la ipoteza h ₀ din Exemplul 3.1. În acest tabel, vom scrie τ în loc de τ _M:

S	h 0 (S)	τ (h 0) (S)	τ 2 (h 0) (S)	τ 3 (h 0) (S)	τ 4 (h 0) (S)	…
A	f	T	T	T	T	…
B	T	f	T	T	T	…
C	f	T	f	f	f	…
X	f	T	f	T	f	…

Deci h ₀ generează o secvență de revizuire (a se vedea Definiția 3.7, mai jos). Și A și B sunt în mod constant adevărate în acea secvență de revizuire (a se vedea Definiția 3.6, mai jos), în timp ce C este constant falsă. Propoziția mincinoasă X nu este, în mod surprinzător, nici adevărat și nici fals fals: propoziția mincinoasă este instabilă. Un calcul similar ar arăta că A este stabilă, indiferent de ipoteza inițială: astfel A este adevărat categoric (vezi Definiția 3.8).

Înainte de a da o definiție precisă a unei secvențe de revizuire, dăm un exemplu în care am dori să ducem procesul de revizuire dincolo de etapele finite, h, τ ¹ (h), τ ² (h), τ ³ (h), etc. pe.

Exemplul 3.4

Să presupunem că L conține nume nonquote alfa ₀, α ₁, α ₂, α ₃, …, și predicate unare G și T. Acum vom specifica un model de sol M = <D, I> unde numele α ₀ se referă la o anumită tautologie și unde

numele α ₁ se referă la propoziția T α ₀

numele α ₂ se referă la propoziția T α ₁

numele a ₃ se referă la propoziția T a ₂

Mai formal, fie A ₀ propoziția T α ₀ ∨ ¬ T α ₀, iar pentru fiecare n ≥ 0, fie A _{n +1} propoziția T α _n. Astfel A ₁ este propoziția T α ₀, iar A ₂ este propoziția T α ₁, iar A ₃ este propoziția T α ₂ și așa mai departe. Modelul nostru de bază M = <D, I> este următorul:

D	=	Trimis L
I (α n)	=	A n
I (G) (A) = t	IFF	A = A n pentru unii n

Astfel, extensia lui G este următoarea mulțime de propoziții: {A ₀, A ₁, A ₂, A ₃, …} = {(T α ₀ ∨ ¬ T α ₀), T α ₀, T a ₁, T a ₂, T a ₃,…}. În sfârșit, B să fie propoziția ∀ x (Gx ⊃ T x). Fie orice ipoteză pentru care avem, pentru fiecare număr natural n,

h (A _n) = h (B) = f.

Următorul tabel indică ce se întâmplă cu aplicațiile repetate ale regulii de revizuire τ _M la ipoteza h. În acest tabel, vom scrie τ în loc de τ _M:

S	h (S)	t (h) (S)	τ 2 (h) (S)	τ 3 (h) (S)	τ 4 (h) (S)	…
A 0	f	T	T	T	T	…
A 1	f	f	T	T	T	…
A 2	f	f	f	T	T	…
A 3	f	f	f	f	T	…
A 4	f	f	f	f	f	…
B	f	f	f	f	f	…

La 0 ^lea stadiu, fiecare A _n este în afara extensiei a emis ipoteza T. Dar, de la n - ^lea stadiu începând, A _n este în extinderea a emis ipoteza T. Deci, pentru fiecare n, propoziția A _n este în cele din urmă stabil ipoteză a fi adevărată. In ciuda acestui fapt, nu există nici un stadiu finit, la care toate A _n „sunt presupus a fi adevărate: ca rezultat propoziție B = ∀ x (Gx ⊃ T x) rămâne false la fiecare stadiu finit. Acest lucru sugerează extinderea procesului după cum urmează:

S	h (S)	τ (h) (S)	τ 2 (h) (S)	τ 3 (h) (S)	…	ω	ω + 1	ω + 2	…
A 0	f	T	T	T	…	T	T	T	…
A 1	f	f	T	T	…	T	T	T	…
A 2	f	f	f	T	…	T	T	T	…
A 3	f	f	f	f	…	T	T	T	…
A 4	f	f	f	f	…	T	T	T	…
B	f	f	f	f	…	f	T	T	…

Astfel, dacă vom permite procesul de revizuire a trece dincolo de etapele finite, atunci propoziție B = ∀ x Gx ⊃ T x) este stabil adevărat de ω + 1 ^st etapă înainte. □

În exemplul 3.4, verdictul intuitiv este că nu numai că ar trebui să fiecare A _n primi o valoare de adevar stabil t, dar astfel încât să propoziție B = ∀ x (Gx ⊃ T x). Singura modalitate de a asigura acest lucru este de a duce procesul de revizuire dincolo de etapele finite. Deci, vom considera secvențe de revizuire, care sunt foarte lungi: nu numai că va avea o secvență de revizuire o ^th etapă pentru fiecare număr finit n, dar η - ^lea stadiu pentru fiecare număr η ordinal. (Următorul paragraf este de a ajuta cititorul să nu fie familiarizat cu numerele ordinale.)

O modalitate de a gândi numerele ordinale este următoarea. Începeți cu numerele naturale finite:

0, 1, 2, 3, …

Adăugați un număr, ω, mai mare decât toate, dar nu succesorul imediat al oricăreia dintre ele:

0, 1, 2, 3,…, ω

Și apoi luați-l pe succesorul lui ω, succesorul său, etc.

0, 1, 2, 3, …, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3 …

Apoi adăugați un număr ω + ω, sau ω × 2, mai mare decât toate acestea (și din nou, nu succesorul imediat al niciunui) și începeți din nou, repetând acest proces repetat:

0, 1, 2, 3,…, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3,…, ω × 2, (ω × 2) +1, (ω × 2) +2, (ω × 2) +3,…, ω × 3, (ω × 3) +1, (ω × 3) +2, (ω × 3) +3,…

La sfârșitul acestui lucru, adăugăm un număr ordinal ω × ω sau ω ²:

0, 1, 2,…, ω, ω + 1, ω + 2,…, ω × 2, (ω × 2) +1,…, ω × 3,…, ω × 4,…, ω × 5, …, ω ², ω ² +1, …

Numerele ordinale au următoarea structură: fiecare număr ordinal are un succesor imediat cunoscut sub numele de succesor ordinal; și pentru orice secvență ascendentă infinit de numere ordinale, există o limită ordinală care este mai mare decât toți membrii secvenței și care nu este succesorul imediat al niciunui membru al secvenței. Astfel, următoarele sunt ordonatoare succesive: 5, 178, ω + 12, (ω × 5) +56, ω ² +8; iar următoarele sunt ordonale limită: ω, ω × 2, ω ², (ω ² + ω), etc. Având în vedere o ordinală limită η, o secvență S de obiecte este o secvență η- lungă dacă există un obiect S _δ pentru fiecare ordinal δ <η. Vom denumi clasa ordinarilor drept On. Orice secvență S de obiecte este o secvență On-long dacă există un obiect S _δ pentru fiecare ordinal δ.

Atunci când evaluează dacă o propoziție primește o valoare de adevăr stabilă, RTT ia în considerare secvențe de ipoteze de lungime On. Așadar, să presupunem că S este o secvență On-lungă de ipoteze și lăsați și η să se încadreze peste ordinale. În mod evident, pentru a reprezenta procesul de revizuire, avem nevoie de ζ + 1 ^st ipoteza de a fi generat din £ ^lea ipoteza de regula de revizuire. Deci insistăm că S _{ζ + 1} = τ _M (S _ζ). Dar ce ar trebui să facem într-un stadiu limită? Adică, cum ar trebui să setăm S _η (δ) când η este un ordinal limită? În mod clar, orice obiect care este stabil adevărat [fals] până la acea etapă ar trebui să fie adevărat [fals] în acea etapă. Considerăm astfel Exemplul 3.2. Propoziția A ₂, de exemplu, este valabil până în a ^treia etapă; astfel încât am stabilit ca A ₂ să fie adevărat în a ^treia etapă. Pentru obiectele care nu se stabilizează până la stadiul respectiv, Gupta și Belnap 1993 adoptă o politică liberală: atunci când construiesc o secvență de revizuire S, dacă valoarea obiectului d ∈ D nu s-a stabilizat până când ajungeți la etapa limită η, atunci puteți seta S _η (δ) să fie oricare dintre t sau f doriți. Înainte de a da definiția precisă a unei secvențe de revizuire, continuăm cu Exemplul 3.3 pentru a vedea o aplicare a acestei idei.

Exemplul 3.5 (Exemplul 3.3 continuare)

Reamintim că L conține patru nume non-citat, α, β, γ și λ și nici predicatele altele decât T. De asemenea, amintiți-vă că M = <D, I> este următorul:

D	=	Trimis L
Eu (α)	=	A	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	B	=	T α
Eu (γ)	=	C	=	¬ T α
Eu (λ)	=	X	=	¬ T λ

Următorul tabel indică ce se întâmplă cu aplicațiile repetate ale regulii de revizuire τ _M la ipoteza h ₀ din Exemplul 3.1. Pentru fiecare η ordinal, vom indica r | ^th ipoteza prin S _η (suprimarea index M pe τ). Astfel S ₀ = h ₀, S ₁ = τ (h ₀), S ₂ = τ ² (h ₀), S ₃ = τ ³ (h ₀), și S _ω, ω ^th ipoteză, se determină într - un fel din ipotezele care o conduc. Deci, începând cu h ₀ din Exemplul 3.3, secvența noastră de revizuire începe astfel:

S	S 0 (S)	S 1 (S)	S 2 (S)	S 3 (S)	S 4 (S)	…
A	f	T	T	T	T	…
B	T	f	T	T	T	…
C	f	T	f	f	f	…
X	f	T	f	T	f	…

Ce se întâmplă în a ^treia etapă? A și B sunt în mod constant adevărate până la etapa ^a treia, iar C este constant falsă până la a ^treia etapă. Deci la cea de-a ^treia etapă, trebuie să avem următoarele:

S	S 0 (S)	S 1 (S)	S 2 (S)	S 3 (S)	S 4 (S)	…	S ω (S)
A	f	T	T	T	T	…	T
B	T	f	T	T	T	…	T
C	f	T	f	f	f	…	f
X	f	T	f	T	f	…	?

Dar intrarea pentru S _ω (X) poate fi fie t, fie f. Cu alte cuvinte, ipoteza inițială h ₀ generează cel puțin două secvențe de revizuire. Fiecare secvență de revizuire S care are h ₀ ca ipoteză inițială trebuie să aibă S _ω (A) = t, S _ω (B) = t și S _ω (C) = f. Există însă o secvență de revizuire S, cu h ₀ ca ipoteză inițială și cu S _ω (X) = t; și există o secvență de revizuire S ', cu h ₀ ca ipoteză inițială și cu S _ω'(X) = f. □

Acum suntem gata să definim noțiunea unei secvențe de revizuire:

Definiția 3.6

Să presupunem că L este un limbaj de adevăr și că M = <D, I> este un model de bază. Să presupunem că S este o secvență lungă de ipoteze. Atunci spunem că d ∈ D este în mod stabil t [ f] în S iff pentru unele ordinale θ avem

S _ζ (d) = t [ f], pentru fiecare inal ≥ θ ordinal.

Să presupunem că S este o secvență η-lungă de ipoteză pentru o anumită limită η. Atunci spunem că d ∈ D este stabil t [ f] în S iff pentru unele ordinale θ <η avem

S _ζ (d) = t [ f], pentru fiecare inal ordinal astfel încât ζ ≥ θ și ζ <η.

Dacă S este o secvență lungă de ipoteze și η este o limită ordinală, atunci S | _η este segmentul inițial al lui S până la, dar nu include η. Rețineți că S | _η este o secvență lungă de hipoteze.

Definiția 3.7

Să presupunem că L este un limbaj de adevăr și că M = <D, I> este un model de bază. Să presupunem că S este o secvență lungă de ipoteze. S este o secvență de revizuire pentru Mf

• S _{ζ + 1} = τ _M (S _ζ), pentru fiecare ζ ∈ On și
• pentru fiecare limită ordinală η și pentru fiecare d ∈ D, dacă d este stabil t [ f] în S | _η, apoi S _η (d) = t [ f].

Definiția 3.8

Să presupunem că L este un limbaj de adevăr și că M = <D, I> este un model de bază. Spunem că propoziția A este categoric adevărată [falsă] în M dacă A este stabil t [ f] în fiecare secvență de revizuire pentru M. Spunem că A este categoric în M dacă A este fie categoric adevărat, fie fals categoric în M.

Acum ilustrăm aceste concepte cu un exemplu. Exemplul va ilustra, de asemenea, un concept nou care va fi definit ulterior.

Exemplul 3.9

Să presupunem că L este un limbaj de adevăr ce conține numele nonquote p, α ₀, α ₁, α ₂, α ₃, …, și predicate unare G și T. Fie B propoziția

T β ∨ ∀ x ∀ y (Gx & ¬ T x & Gy & ¬ T y ⊃ x = y).

Fie A ₀ propoziția ∃ x (Gx & ¬ T x). Și pentru fiecare n ≥ 0, fie A _{n +1} propoziția T α _n. Luați în considerare următorul model de bază M = <D, I>

D	=	Trimis L
I (β)	=	B
I (α n)	=	A n
I (G) (A) = t	IFF	A = A n pentru unii n

Astfel, extensia lui G este următoarea mulțime de propoziții: {A ₀, A ₁, A ₂, A ₃, …} = { T α ₀, T α ₁, T α ₂, T α ₃, …}. Fie orice ipoteză pentru care avem, h (B) = f și pentru fiecare număr natural n,

h (A _n) = f.

Să fie S o secvență de revizuire a cărei ipoteză inițială este h, adică S ₀ = h. Următorul tabel indică unele dintre valorile lui S _γ (C), pentru propozițiile C ∈ {B, A ₀, A ₁, A ₂, A ₃, …}. În rândul de sus, indicăm doar numărul ordinal care reprezintă etapa în procesul de revizuire.

0

1

2

3

…

ω

ω + 1

ω + 2

ω + 3

…

ω × 2

(Ω x 2) +1

(Ω x 2) +2

…

B

f

f

f

f

…

f

T

T

T

…

T

T

T

…

A 0

f

T

T

T

…

T

f

T

T

…

T

f

T

…

A 1

f

f

T

T

…

T

T

f

T

…

T

T

f

…

A 2

f

f

f

T

…

T

T

T

f

…

T

T

T

…

A 3

f

f

f

f

…

T

T

T

T

…

T

T

T

…

A 4

f

f

f

f

…

T

T

T

T

…

T

T

T

…

Merită să contrastăm comportamentul propoziției B și a propoziției A ₀. Din ω + 1 ^st etapă pe, B este stabilizeaza la fel de adevărat. De fapt, B este constant adevărat în fiecare secvență de revizuire pentru M. Astfel, B este categoric adevărat în M. Propoziția A ₀, cu toate acestea, nu se stabilizează niciodată: este de obicei adevărată, dar în câteva etape finite ale unui ordinal limită, propoziția A ₀ poate fi falsă. În aceste condiții, spunem că A ₀ este aproape stabil (A se vedea Definiția 3.10, mai jos.) De fapt, A ₀ este aproape stabil în fiecare secvență de revizuire pentru M. □

Exemplul 3.9 ilustrează nu numai noțiunea de stabilitate într-o secvență de revizuire, ci și de stabilitate aproape, pe care o definim acum:

Definiția 3.10.

Să presupunem că L este un limbaj de adevăr și că M = <D, I> este un model de bază. Să presupunem că S este o secvență lungă de ipoteze. Atunci spunem că d ∈ D este aproape stabil t [ f] în S iff pentru unele ordinare θ avem

pentru fiecare ζ ≥ θ, există un număr natural n astfel încât, pentru fiecare m ≥ n, S _{ζ + m} (d) = t [ f].

Gupta și Belnap 1993 caracterizează diferența dintre stabilitate și aproape de stabilitate după cum urmează: „Stabilitatea simplificatoare necesită un element [în cazul nostru o propoziție] să se stabilească la o valoare x [în cazul nostru o valoare a adevărului] după ce unele fluctuații inițiale spun până la [an ordinal η] … În schimb, aproape de stabilitate permite și fluctuații după η, dar aceste fluctuații trebuie limitate la regiuni finite imediat după ordinele limită "(p. 169). Gupta și Belnap 1993 introduc două teorii ale adevărului, T ^* și T ^#, bazate pe stabilitate și aproape de stabilitate. Teoremele 3.12 și 3.13 de mai jos ilustrează un avantaj al sistemului T ^#, adică sistemul bazat pe o stabilitate aproape.

Definiția 3.11

Să presupunem că L este un limbaj de adevăr și că M = <D, I> este un model de bază. Spunem că o propoziție A este valabilă în M prin T ^* dacă A este adevărat în fiecare secvență de revizuire. Și spunem că o propoziție A este valabilă în M prin T ^# dacă A este aproape stabilă în fiecare secvență de revizuire.

Teorema 3.12

Să presupunem că L este un limbaj de adevăr și că M = <D, I> este un model de bază. Apoi, pentru fiecare propoziție A din L, următoarele sunt valabile în M prin T ^#:

T '¬ A' ≡ ¬ T 'A'.

Teorema 3.13

Există un limbaj de adevăr L și un model de bază M = <D, I> și o propoziție A de L astfel încât următoarele nu sunt valabile în M de T ^*:

T  '¬ A' ≡ ¬ T  'A'.

Secțiunea 6C Gupta și Belnap 1993, notează avantajele similare ale T ^# peste T ^*. De exemplu, T ^# face, dar T ^* nu, validează următoarele principii semantice:

T  'A & B' ≡ T  'A' & T  'B'

T  'A ∨ B' ≡ T  'A' ∨ T  'B'

Gupta și Belnap rămân noncommittal despre care dintre T ^# și T ^* (și o altă alternativă pe care le definesc, T ^c) este de preferat.

4. Interpretarea formalismului

Noțiunile formale principale ale RTT sunt noțiunea de regulă de revizuire (definiția 3.2), adică o regulă pentru revizuirea ipotezelor; și o secvență de revizuire (Definiția 3.7), o secvență de ipoteze generate în conformitate cu regula de revizuire corespunzătoare. Folosind aceste noțiuni, putem da, având în vedere un model de bază, când o propoziție este stabilă sau aproape stabilă, adevărată sau falsă într-o anumită secvență de revizuire. Astfel am putea defini două teorii ale adevărului, T ^* și T ^#, bazate pe stabilitate și aproape de stabilitate. Ideea finală este că fiecare dintre aceste teorii oferă un verdict pe baza căruia propozițiile limbii sunt categoric afirmabile, având în vedere un model de bază.

Rețineți că am putea folosi noțiuni teoretice de revizuire pentru a face distincții destul de fine între fraze: Unele propoziții sunt instabile în fiecare secvență de revizuire; alții sunt stabili în fiecare secvență de revizuire, deși sunt adevărați în unele și în mod constant false în altele; si asa mai departe. Astfel, putem folosi idei teoretice de revizuire pentru a oferi o analiză detaliată a stării diverselor propoziții și a relațiilor diferitelor propoziții una cu alta.

Reamintiți-vă sugestia făcută la sfârșitul secțiunii 2:

Într-o semantică pentru limbi capabile să exprime propriile concepte de adevăr, T nu va avea, în general, o semnificație clasică; iar „iff” -ul din T-biconditionale nu va fi citit ca biconditional clasic.

Gupta și Belnap completează aceste sugestii în felul următor.

4.1 Semnificația T

În primul rând, ei sugerează că semnificația T, având în vedere un model de sol M, este regula de revizuire τ _M în sine. După cum sa menționat în paragraful precedent, putem da o analiză granulată fină a stărilor și interrelațiilor propozițiile pe baza noțiunilor generate în mod direct și în mod natural de la regula de revizuire τ _M. Astfel, τ _M este un bun candidat pentru semnificația T, deoarece pare a fi „un lucru abstract care poartă toate informațiile despre toate [relațiile de extensie ale lui T ” din M. (A se vedea caracterizarea lui Gupta și Belnap a semnificației unei expresii, dată în secțiunea 2 de mai sus.)

4.2 „Forma” în T-biconditionale

Sugestia înrudită a lui Gupta și Belnap cu privire la „iff” în T-biconditionale este că, mai degrabă decât a fi clasic biconditional, acest „iff” este caracterul biconditional distinct folosit pentru a defini un concept anterior nedefinit. În 1993, Gupta și Belnap prezintă teoria revizuirii adevărului ca un caz special al teoriei revizuirii conceptelor definite circular. Să presupunem că L este un limbaj cu un predicat unar F și un predicat binar R. Luați în considerare un concept nou exprimat de un predicat G, introdus printr-o definiție ca aceasta:

Gx = _df ∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃ y (Ryx & Gx).

Să presupunem că începem cu un domeniu al discursului, D și o interpretare a predicatului F și a simbolului relației R. Tratamentul teoretic de revizuire a conceptelor, astfel introduse circular, de Gupta și Belnap, permite să dea verdicturi categorice, pentru anumite d ∈ D cu privire la dacă G satisface sau nu G. Alte obiecte vor fi instabile în raport cu G: vom fi capabili să afirmăm categoric nici că d nu satisface G, nici că d nu îl satisface pe G. În cazul adevărului, Gupta și Belnap iau setul de T-biconditionale ale formei

T  'A' = df A

(10)

împreună pentru a da definiția conceptului de adevăr. Este tratamentul lor '= _df ' (The 'IFF' al introducerii conceptului definițională), împreună cu T-biconditionals de forma (10), care determină regula de revizuire τ _M.

4.3 Raționamentul paradoxal

Reamintim sentința mincinoasă (1) de la începutul acestui articol:

(1) nu este adevărat

(1)

În secțiunea 1, am afirmat că RTT este conceput să modeleze, mai degrabă decât să blocheze, tipul de raționament paradoxal cu privire la (1). Dar am notat în nota de subsol 2 că RTT evită contradicțiile în aceste situații. Există două modalități de a vedea acest lucru. În primul rând, în timp ce RTT susține bicondiționalul

(1) este adevărat dacă (1) nu este adevărat,

„iff” relevant nu este materialul bicondiționat, așa cum s-a explicat mai sus. Astfel, nu rezultă că ambele (1) sunt adevărate și (1) nu sunt adevărate. În al doilea rând, rețineți că, fără nicio ipoteză, putem concluziona că ambele (1) sunt adevărate și (1) nu sunt adevărate. Dacă avem în vedere ferm că raționamentul teoretic de revizuire este mai degrabă ipotetic decât categoric, atunci nu vom deduce nicio contradicție din existența unei propoziții precum (1) de mai sus.

4.4 Teza de semnificare

Sugestiile lui Gupta și Belnap, cu privire la semnificația T și interpretarea „iff” în T-biconditionals, se potrivesc frumos cu două intuiții strâns legate articulate în Gupta și Belnap 1993. Prima intuiție, exprimată în mod liber, este „că T -biconditionalele sunt analitice și fixează sensul de „adevărat””(p. 6). Mai bine exprimat, devine „teza semnificației” (p. 31): „Biconditionalele T fixează semnificația adevărului în fiecare lume [unde o lume este reprezentată de un model de bază]”. ^[6] Având în vedere tratamentul-revizuire teoretică a „IFF“definiție, și având în vedere un model de sol M, T-biconditionals (10) fac, așa cum sa menționat, să stabilească semnificația sugerată de T, și anume, regula de revizuire τ _M.

4.5 Supraviețuirea semanticii

A doua intuiție este supraviețuirea semnificației adevărului. Acesta este un descendent al lui M. Kremer din 1988 propuse supraviețuirea semanticii. Ideea este simplă: ce propoziții se încadrează în conceptul adevăr ar trebui fixate prin (1) interpretarea vocabularului nesemantic și (2) faptele empirice. În cazuri non-circulare, această intuiție este deosebit de puternică: interpretarea standard a „zăpezii” și „albului” și faptul empiric că zăpada este albă, sunt suficiente pentru a determina dacă propoziția „zăpadă este albă” se încadrează în conceptul de adevăr. Supraviețuirea semnificației adevărului este teza conform căreia semnificația adevărului, oricare ar fi ea, este fixată de modelul de bază M. În mod clar, RTT satisface acest principiu.

Merită să vedem cum o teorie a adevărului ar putea încălca acest principiu. Luați în considerare propoziția care spune adevărul, adică propoziția care spune de la sine că este adevărată:

(11) este adevărat

(11)

După cum am menționat mai sus, semantica cu trei valori a lui Kripke permite trei valori de adevăr, adevărat (t), fals (f) și nici (n). Având în vedere un model de bază M = <D, I> pentru un limbaj de adevăr L, interpretările candidate ale lui T sunt interpretări cu trei valori, adică funcțiile h: D → {  t, f, n  }. Având în vedere o interpretare de trei valori a lui T și o schemă de evaluare a valorii de adevăr a propozițiilor compuse în termeni de părți ale acestora, putem specifica o valoare de adevăr Val _{M + h} (A) = t, f sau n, pentru fiecare propoziție A din L. Teorema centrală a semanticii cu trei valori este că, având în vedere orice model de bază M, există o interpretare de trei valori h a lui T, astfel încât, pentru fiecare propoziție A, avem Val _{M + h} (T  'A') = Val _{M + h} (A). ^[7] Vom numi o asemenea interpretare a lui T o interpretare acceptabilă. Punctul nostru aici este acesta: dacă există un povestitor de adevăr, ca în (11), nu există doar o singură interpretare acceptabilă a lui T; există trei: unul conform căruia (11) este adevărat, unul conform căruia (11) este fals și unul conform căruia (11) nu este niciunul. Astfel, nu există o singură interpretare „corectă” a Tdat un model de bază M. Astfel, semantica cu trei valori pare să încalce supraviețuirea semanticii. ^[8]

RTT nu atribuie o valoare de adevăr pentru povestitorul de adevăr, (11). Mai degrabă, oferă o analiză a tipului de raționament în care s-ar putea angaja cu privire la adevărătorul: Dacă începem cu o ipoteză h conform căreia (11) este adevărat, atunci revizuirea (11) rămâne adevărată. Și dacă începem cu o ipoteză h conform căreia (11) nu este adevărat, atunci la revizuire (11) nu rămâne adevărat. Și asta este tot ce ne lasă conceptul de adevăr. Având în vedere acest comportament al (11), RTT ne spune că (11) nu este nici adevărat categoric, nici fals fals categoric, dar acest lucru este cu totul diferit de un verdict care (11) nu este nici adevărat, nici fals.

4.6 Interpretarea formalismului lui Yaqūb

Notăm o interpretare alternativă a formalismului teoretic de revizuire. Yaqūb 1993 este de acord cu Gupta și Belnap că T-biconditionalele sunt definitorii, mai degrabă decât biconditionale materiale și că, prin urmare, conceptul de adevăr este circular. Dar Yaqūb interpretează această circularitate într-un mod distinct. El susține că,

întrucât condițiile de adevăr ale unor propoziții implică trimiterea la adevăr într-o manieră esențială, ireductibilă, aceste condiții pot obține sau eșua doar într-o lume care include deja o extensie a predicatului adevărului. Prin urmare, pentru ca procesul de revizuire să determine o extensie a predicatului adevăr, trebuie prezentată o extensie inițială a predicatului. Acest lucru rezultă mult din circularitate și bivalență. (1993, 40)

La fel ca Gupta si Belnap, Yaqub postulează nicio extensie privilegiată pentru T. Și la fel ca Gupta și Belnap, el vede secvențele de revizuire a extensiilor T, fiecare secvență generată de o extensie inițială ipotezată, ca „capabilă să adapteze (și să diagnostice) diversele tipuri de propoziții problematice și neproblematice ale limbilor analizate” (1993), 41). Dar, spre deosebire de Gupta și Belnap, el concluzionează din aceste considerente că „adevărul într-un limbaj bivalent nu este supervenient” (1993, 39). El explică într-o notă de subsol: pentru ca adevărul să fie superior, statutul de adevăr al fiecărei propoziții trebuie să fie „complet determinat de fapte nesemantice”. Yaqūb nu folosește în mod explicit noțiunea de semnificare a unui concept. Dar Yaqūb pare angajat să pretindă că semnificația T - adică, ceea ce determină statutul de adevăr al fiecărei propoziții - este dat de o anumită secvență de revizuire în sine. Și nici o secvență de revizuire nu este determinată de faptele nesemnificative, adică de modelul de bază, doar: o secvență de revizuire este determinată, în cel mai bun caz, de un model de bază și de o ipoteză inițială. ^[9]

5. Probleme suplimentare

5.1 Semantica cu trei valori

În cadrul discuției noastre despre supraviețuirea semnificației adevărului, am oferit doar expunerea cea mai mică a semanticii cu trei valori. Având în vedere un limbaj de adevăr L și un model de bază M, am definit o interpretare acceptabilă în trei valori a lui T ca interpretare h: D → {  t, f, n  } astfel încât Val _{M + h} (T 'A') = Val _{M + h} (A) pentru fiecare propoziție A din L. În general, având în vedere un model de sol M, există multe interpretări acceptabile ale T. Să presupunem că fiecare dintre acestea este într-adevăr o interpretare cu adevărat acceptabilă. Apoi, semantica cu trei valori încalcă supraviețuirea semnificației T.

Să presupunem că, pe de altă parte, că, pentru fiecare model M sol, putem izola o interpretare privilegiată acceptabilă ca interpretarea corectă a T. Gupta și Belnap prezintă o serie de considerații împotriva semanticii cu trei valori, astfel concepute. (Vezi Gupta & Belnap 1993, Capitolul 3). Un argument principal este că teorema centrală, adică, că pentru fiecare model de bază există o interpretare acceptabilă, se menține doar atunci când limbajul de bază este sărăcit expres în anumite moduri: de exemplu, abordarea cu trei valori eșuează dacă limba are o conexiune ~ cu următorul tabel de adevăr:

A	~ A
T	f
f	T
n	T

Singurul operator de negație pe care îl poate aborda abordarea cu trei valori are următorul tabel de adevăr:

A	¬ A
T	f
f	T
n	T

Dar considerați mincinosul care spune de la sine că nu este „adevărat”, în acest ultim sens de „nu”. Gupta și Belnap solicită afirmația că această propoziție „încetează să fie intuitiv paradoxală” (1993, 100). Avantajul pretins al RTT este capacitatea sa de a descrie comportamentul unor propoziții cu adevărat paradoxale: mincinosul autentic este instabil în cadrul evaluării semantice: „Indiferent ce ipoteză ar fi valoarea sa, evaluarea semantică respinge ipoteza noastră.” Semantica cu trei valori poate gestiona doar „mincinosul slab”, adică o propoziție care se abate doar slab, dar care nu este garantată a fi paradoxală: „Există apariții ale mincinosului aici, dar înșală”.

5.2 Modificări ale RTT

Notăm trei moduri de modificare a RTT. În primul rând, am putea pune constrângeri asupra ipotezelor acceptabile. De exemplu, Gupta și Belnap 1993 introduc o teorie, T ^c, a adevărului bazată pe ipoteze consistente: o ipoteză h este consecventă dacă mulțimea {A: h (A) = t } este un set complet complet de propoziții. Meritele relative ale lui T ^*, T ^# și T ^c sunt discutate în capitolul 6 Gupta & Belnap 1993.

În al doilea rând, am putea adopta o politică de limită mai restrictivă decât Gupta și Belnap. Reamintim întrebarea pusă în secțiunea 3: Cum ar trebui să stabilim S _η (d) când η este ordinal limită? Am dat un răspuns parțial: orice obiect care este adevărat [fals] până la acea etapă ar trebui să fie adevărat [fals] în acea etapă. De asemenea, am observat că pentru un obiect d ∈ D care nu se stabilizează până la stadiul η, Gupta și Belnap 1993 ne permit să setăm S _η (d) ca fie t fie f. Într-un context similar, Herzberger 1982a și 1982b alocă valoarea f obiectelor instabile. Și Gupta a sugerat inițial, în Gupta 1982, că elementele instabile primesc orice valoare primeau la ipoteza inițială S ₀.

Aceste primele două moduri de modificare a RTT ambele, în realitate, restricționează noțiunea de secvență de revizuire, punând constrângeri pe care dintre secvențele noastre de revizuire contează cu adevărat ca secvențe de revizuire acceptabile. Limitările sunt, într-un anumit sens, locale: prima constrângere este obținută prin aplicarea unor restricții la care se pot utiliza ipoteze, iar a doua constrângere este obținută prin aplicarea unor restricții la ceea ce se întâmplă la ordinele limită. O a treia opțiune ar fi să punem mai multe constrângeri globale pe care secvențele de revizuire putative contează ca acceptabile. Yaqūb 1993 sugerează, de fapt, o regulă limită prin care verdictele acceptabile privind sentințele instabile la un anumit stadiu limită η depind de verdictele pronunțate în alte etape limită. Yaqūb susține că aceste constrângeri ne permit să evităm anumite „artefacte”. De exemplu, să presupunem că un model de bază M = <D, I>are doi mincinoși independenți, având două nume α și β, unde I (α) = ¬ T α și I (β) = ¬ T β. Yaqub susține că este o simplă „artefact“al semanticii de revizuire, în mod naiv prezentate, că există secvențe de revizuire în care propoziția ¬ T α ≡ ¬ T β este stabil adevărat, deoarece cei doi mincinoși sunt independenți. Limitările sale globale sunt dezvoltate pentru a exclude astfel de secvențe. (Vezi Chapuis 1996 pentru discuții suplimentare.)

5.3 Teoria revizuirii conceptelor definite circular

După cum s-a indicat în discuția noastră, în secțiunea 4, despre „iff” în T-biconditionals, Gupta și Belnap prezintă RTT ca un caz special al teoriei revizuirii conceptelor definite circular. Pentru a reconsidera exemplul din secțiunea 4. Să presupunem că L este un limbaj cu un predicat unar F și un predicat binar R. Considerați un concept nou exprimat de un predicat G, introdus printr-o definiție, D, astfel:

Gx = _df A (x, G)

unde A (x, G) este formula

∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃ y (Ryx & Gx).

În acest context, un model de bază este un model clasic M = <D, I> al limbajului L: începem cu un domeniu al discursului, D și o interpretare a predicatului F și a simbolului relației R. Am dori să extindem M la o interpretare a limbajului L + G. Deci, în acest context, o ipoteză va fi gândită ca o extensie ipotezată pentru conceptul G recent introdus. Formal, o ipoteză este pur și simplu o funcție h: D → { t, f }. Având în vedere o ipoteză h, considerăm că M + h este modelul clasic M + h = <D, I '>, unde „interpretăm F și R în același mod ca și eu și unde I” (G) = h. Având în vedere o interpretare ipotezată h a lui G, vom genera o nouă interpretare a lui G după cum urmează: iar obiectul d ∈ D se află în noua extensie a lui G, doar în cazul în care formula definitorie A (x, G) este adevărată pentru d în modelul M + h. Formal, folosim modelul de bază M și definiția D pentru a defini o regulă de revizuire, δ _{D, M}, maparea ipotezelor către ipoteze, adică interpretări ipotetice ale lui G la interpretări ipotetice ale lui G. În particular, pentru orice formulă B cu o variabilă liberă x și d ∈ D, putem defini valoarea de adevăr Val _{M + h, d} (B) în modul standard. Apoi,

δ _{D, M} (h) (d) = Val _{M + h, d} (A)

Având în vedere o regulă de revizuire δ _{D, M}, putem generaliza noțiunea unei secvențe de revizuire, care este acum o secvență de extensii ipotetice ale lui G, mai degrabă decât T. Putem generaliza noțiunea unei propoziții B care este stabilă, aproape stabilă, etc., relativ la o secvență de revizuire. Gupta și Belnap introduc sistemele S ^* și S ^#, analog cu T ^* și T ^#, după cum urmează: ^[10]

Definiție 5.1.

• O frază B este valabilă definiția D în modelul de sol M în sistemul S ^* (notația M ⊨ _{*, D} B) iff B este stabil adevărat în raport cu fiecare secvență de revizuire pentru regula revizuire δ _{D, M}.
• O frază B este valabilă definiția D în modelul de sol M în sistemul S ^# (notația M ⊨ _{#, D} B) iff B este aproape stabil adevărat în raport cu fiecare secvență de revizuire pentru regula revizuire δ _{D, M}.
• O propoziție B este valabilă pentru definiția D în sistemul S ^* (notația ⊨ _{*, D} B) iff pentru toate modelele clasice de bază M, avem M ⊨ _{*, D} B.
• O propoziție B este valabilă pentru definiția D în sistemul S ^# (notația ⊨ _{#, D} B), pentru toate modelele clasice de bază M, avem M ⊨ _{#, D} B.

Una dintre întrebările deschise ale principiului Gupta și Belnap este dacă există un calcul complet pentru aceste sisteme: adică dacă pentru fiecare definiție D, oricare dintre următoarele două seturi de propoziții este axiomatizabilă recursiv: {B: ⊨ _{*, D} B} și {B: ⊨ _{#, D} B}. Kremer 1993 dovedește că răspunsul este nu: el arată că există o definiție D, astfel încât fiecare dintre aceste seturi de propoziții are o complexitate cel puțin Π ¹ ₂, punând astfel o limită inferioară complexității lui S ^* și S ^#. (Antonelli 1994b și 2002 arată că aceasta este și o limită superioară.)

Dovada lui Kremer exploatează o relație intimă între definițiile circulare înțelese revizuirea - definițiile teoretice și cele circulare înțelese ca definiții inductive: teoria definițiilor inductive este destul de bine înțeleasă de ceva vreme. În special, Kremer dovedește că orice concept definit inductiv poate fi revizuit - definit teoretic. Puterea expresivă și alte aspecte ale tratamentului teoretic de revizuire a definițiilor circulare reprezintă subiectul unei lucrări mult mai interesante: a se vedea Welch 2001, Löwe 2001, Löwe și Welch 2001 și Kühnberger și colab. 2005.

5.5 Aplicații

Având în vedere revizuirea generală a lui Gupta și Belnap - tratarea teoretică a definițiilor circulare - a căror tratare a adevărului este un caz special - se poate aștepta ca ideile teoretice ale reviziei să fie aplicate altor concepte. Antonelli 1994a aplică aceste idei seturilor care nu sunt întemeiate: un set X nu neîntemeiat poate fi considerat circular, deoarece, pentru unii X ₀, …, X _n avem X ∈ X ₀ ∈ … ∈ X _n ∈ X. Și Chapuis 2003 aplică idei teoretice de revizuire în luarea deciziilor raționale.

5.5 O întrebare deschisă

Închidem cu o întrebare deschisă despre T ^* și T ^#. Reamintim Definiția 3.11 de mai sus, care definește când o propoziție A a unui limbaj de adevăr L este valabilă în modelul de bază M de T ^* sau de T ^#. Vom spune că A este valabil de T ^* [alternativ, de T ^#] dacă A este valabil în modelul de bază M de T ^* [alternativ, de T ^#] pentru fiecare model de bază M. Întrebarea noastră deschisă este aceasta: Care este complexitatea setului de propoziții valabil de T ^* [ T ^#]?

Bibliografie

• Antonelli, GA, 1994, „Complexitatea revizuirii”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 35: 204–218.
• Antonelli, GA, 1994, „Seturi care nu sunt întemeiate prin reguli de revizuire”, Journal of Philosophical Logic, 23: 633–679.
• Antonelli, GA, 2002, „Complexitatea revizuirii, revizuită”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 43: 75–78.
• Belnap, N., 1982, „Regula lui Gupta a teoriei revizuirii adevărului”, Journal of Philosophical Logic, 11: 103–116.
• Chapuis, A., 1996, „Teorii alternative de revizuire a adevărului”, Journal of Philosophical Logic, 25: 399–423.
• Chapuis, A., 2003, „O aplicare a definițiilor circulare: decizie rațională”, în Löwe, Malzkorn și Räsch (eds.), Fundațiile științelor formale II: Aplicații ale logicii matematice în filozofie și lingvistică, Dordrecht: Kluwer, 47-54.
• Gupta, A., 1982, „Adevărul și paradoxul”, Journal of Philosophical Logic, 11: 1-60.
• Gupta, A. și Belnap, N., 1993, Revision Theory of Truth, Cambridge, MA: MIT Press.
• Hammer, E., 2003, „The Revision Theory of Truth”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Ediția de primăvară 2003), Edward N. Zalta (ed.), URL = .
• Herzberger, HG, 1982, „Note despre semantica naivă”, Journal of Philosophical Logic, 11: 61–102.
• Herzberger, HG, 1982, „Semantica naivă și paradoxul mincinos”, Journal of Philosophy, 79: 479-497.
• Kremer, M., 1988, „Kripke și logica adevărului”, Journal of Philosophical Logic, 17: 225–78.
• Kremer, P., 1993, „Sistemele Gupta-Belnap S ^# și S ^* nu sunt axiomatisabile”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 34: 583–596.
• Kripke, S., 1975, „Schița unei teorii a adevărului”, Journal of Philosophy, 72: 690–716.
• Kühnberger, K., Löwe, B., Möllerfeld, M., și Welch, P., 2005, „Compararea definițiilor inductive și circulare: parametri, complexitate și jocuri”, Studia Logica, 81: 79–98.
• Löwe, B., 2001 „Secvențe de revizuire și computere cu o perioadă infinită de timp”, Journal of Logic and Computation, 11: 25–40.
• Löwe, B., și Welch, P., 2001, „Absolutie set-teoretică și teoria revizuirii adevărului”, Studia Logica, 68/1: 21–41.
• Martin, R., și Woodruff, P., 1975, „Pe reprezentarea„ Adevăratului în L”în L”, Philosophia, 5: 217–221.
• Welch, P., 2001, „Cu privire la teoriile de revizuire ale Gupta-Belnap despre adevăr, punctele fixe ale lui Kripkean și următorul set stabil”, Buletin pentru logică simbolică, 7: 345–360.
• Yaqūb, A., 1993, Mincinosul vorbește adevărul: o apărare a teoriei revizuirii adevărului, Oxford: Oxford University Press.

Alte resurse de internet