Justificare Logică

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Modificat ultima dată: 2023-08-25 04:39

Acesta este un fișier din arhivele Enciclopediei de Filozofie din Stanford. Informații despre autor și citare | Prieteni PDF Previzualizare | Căutare InPho | Bibliografie PhilPapers

Justificare Logică

Publicat prima miercuri, 22 iunie 2011; revizuire de fond miercuri, 20 iulie 2011

Poți spune: „Știu că Abraham Lincoln era un bărbat înalt.”La rândul tău, poți fi întrebat cum știi. Aproape cu siguranță nu ai răspunde semantic, în stil Hintikka, că Abraham Lincoln era înalt în toate situațiile compatibile cu cunoștințele tale. În schimb, mai probabil spuneți: „Am citit despre înălțimea lui Abraham Lincoln în mai multe cărți și am văzut fotografii cu el alături de alți oameni.”Unul certifică cunoștințele oferind un motiv, o justificare. Semantica Hintikka surprinde cunoașterea drept credință adevărată. Logica justificării furnizează cea de-a treia componentă lipsă a caracterizării de către Platon a cunoștințelor drept credință adevărată justificată.

• 1. De ce Logica Justificare?

  • 1.1 Tradiție epistemică
  • 1.2 Tradiția logicii matematice

• 2. Componentele de bază ale logicii de justificare

  • 2.1 Logica limbajului justificării
  • 2.2 Justificare de bază Logica J ₀
  • 2.3 Conștientizare logică și specificații constante
  • 2.4 Factivitate
  • 2.5 Introspecție pozitivă
  • 2.6 Introspecție negativă

• 3. Semantica

  • 3.1 Modele de justificare mondială cu un singur agent posibil pentru J
  • 3.2 Completitudine slabă și puternică
  • 3.3 Familia cu un singur agent
  • 3.4 Modele de justificare mondială unică
• 4. Teoreme de realizare

• 5. Generalizări

  • 5.1 Amestecarea cunoștințelor explicite și implicite
  • 5.2 Modele de justificare mondială cu multi-agenți posibili
• 6. Exemplul lui Russell: Factivity induced
• 7. Autoreferențialitatea justificărilor
• 8. Cantificatorii din logica Justificării
• 9. Note istorice
• Bibliografie
• Instrumente academice
• Intrări conexe
• Alte resurse de internet

1. De ce Logica Justificare?

Logicile de justificare sunt logici epistemice care permit „cunoașterea” modalităților de cunoaștere și credință în termeni de justificare: în loc de □ X, se scrie t: X și se citește „X este justificat de rațiunea t”. Se poate considera operatorii modali tradiționali ca modalități implicite și termeni de justificare ca elaborari explicite ale acestora, care completează logica modală cu utilaje epistemice cu granulație fină. Familia de termeni de justificare are structură și operații. Alegerea operațiunilor dă naștere la diferite logici de justificare. Pentru toate logicile epistemice comune, modalitățile lor pot fi complet desfășurate într-o formă de justificare explicită. În acest sens, Justificarea Logică dezvăluie și folosește conținutul explicit, dar ascuns, al logicii epistemice modale tradiționale.

Logica justificării a luat naștere ca parte a unui proiect de succes pentru a oferi o semantică constructivă pentru termenii de justificare logică intuițională, care au rezumat toate caracteristicile matematice, cu excepția celor mai elementare. Dovezile sunt justificări în cea mai pură formă a lor. Ulterior, logicile de justificare au fost introduse în epistemologia formală. Acest articol prezintă gama generală de logici de justificare așa cum este înțeles în prezent. Acesta discută relațiile lor cu logica modală convențională. În afară de utilajele tehnice, articolul examinează în ce mod utilizarea termenilor de justificare explicită aruncă o lumină asupra mai multor probleme filozofice tradiționale. Subiectul în ansamblu este încă în curs de dezvoltare activă. Ceea ce este prezentat aici este o imagine a acesteia în momentul scrierii.

Rădăcinile logicii justificării pot fi identificate în multe surse diferite, dintre care două sunt discutate în detaliu: epistemologia și logica matematică.

1.1 Tradiție epistemică

Proprietățile cunoașterii și credinței au fost subiect pentru logica formală cel puțin de la von Wright și Hintikka (Hintikka 1962, von Wright 1951). Cunoașterea și credința sunt ambele tratate ca modalități într-un mod care este acum foarte familiar - Logica Epistemică. Dar, din cele trei criterii ale lui Platon pentru cunoaștere, credință justificată, adevărată, (Gettier 1963, Hendricks 2005), logica epistemică funcționează cu adevărat doar cu două dintre ele. Lumile posibile și modelul de indisolubilitate credința - cineva crede ceea ce este așa în toate circumstanțele gândite posibile. Factivitatea aduce o componentă de veridicitate în joc - dacă ceva nu este așa în lumea reală nu poate fi cunoscut, doar cred. Dar nu există nicio reprezentare pentru condiția de justificare. Cu toate acestea,abordarea modală a avut un succes remarcabil în a permite dezvoltarea unei teorii și aplicații matematice bogate (Fagin, Halpern, Moses și Vardi 1995, van Ditmarsch, van der Hoek și Kooi 2007). Totuși, nu este întreaga imagine.

Abordarea modală a logicii cunoașterii este, într-un anumit sens, construită în jurul cuantificatorului universal: X este cunoscut într-o situație dacă X este adevărat în toate situațiile care nu se disting de acea. Justificările, pe de altă parte, aduc un cuantificator existențial în imagine: X este cunoscut într-o situație dacă există o justificare pentru X în acea situație. Această dihotomie universală / existențială este una familiară logicilor; în logica formală există o dovadă pentru formula X dacă și numai dacă X este adevărat în toate modelele logicii. Se consideră modele ca fiind inerent neconstructive, iar dovezile ca lucruri constructive. Unul nu va greși mult în gândirea justificărilor în general, la fel ca și dovezile matematice. Într-adevăr, prima logică de justificare a fost concepută în mod explicit pentru a capta dovezi matematice în aritmetică,ceva despre care vom discuta în continuare în secțiunea 1.2.

În Logica Justificării, pe lângă categoria de formule, există o a doua categorie de justificări. Justificările sunt termeni formali, construiți din constante și variabile folosind diverse simboluri de funcționare. Constanțele reprezintă justificări pentru adevărurile acceptate în mod obișnuit - de obicei axiomele. Variabilele indică justificări nespecificate. Logicile de justificare diferite diferă pentru ce sunt permise operațiunile (și, de asemenea, în alte moduri). Dacă t este un termen de justificare și X este o formulă, t: X este o formulă și este destinată să fie citită:

t este o justificare pentru X.

O operație, comună tuturor logicilor de justificare, este aplicația, scrisă ca înmulțire. Ideea este că, dacă s este o justificare pentru A → B și t este o justificare pentru A, atunci [s ⋅ t] este o justificare pentru B ^[1]. Adică, în general, se presupune validitatea următoarelor:

(1)	s:(A → B) → (t: A → [s ⋅ t]: B).

Aceasta este versiunea explicită a distribuției obișnuite a operatorilor de cunoștințe și a operatorilor modali, în general, cu implicații:

(2)	□ (A → B) → (□ A → □ B).

De fapt, formula (2) se află în spatele multor probleme ale omniscienței logice. Acesta afirmă că un agent știe că tot ceea ce este implicat de cunoștințele agentului-cunoaștere este închis în consecință. Deși know-in-principiul, knowability, este închis în consecință, nu se poate spune același lucru pentru orice versiune plauzibilă a cunoștințelor reale. Distincția dintre (1) și (2) poate fi exploatată într-o discuție despre exemplul paradigmatic al Barnului Roșu al lui Goldman și Kripke; iată o versiune simplificată a poveștii preluate din (Rightske 2005).

Să presupunem că merg printr-un cartier în care, de necunoscut pentru mine, hambarele din cartier sunt împrăștiate și văd că obiectul din fața mea este un hambar. Deoarece am percepții de hambar înaintea mea, cred că obiectul din fața mea este un hambar. Intuițiile noastre sugerează că nu știu hambar. Dar să presupunem că cartierul nu are hambare roșii false și mai observ că obiectul din fața mea este roșu, așa că știu că un hambar roșu este acolo. Această juxtapunere, fiind un hambar roșu, pe care îl știu, implică existența unui hambar, pe care eu nu, „este o jenă”.

În prima formalizare a Exemplului de Barn Roșu, derivarea logică va fi efectuată într-o logică modală de bază în care □ este interpretată ca modalitate „credință”. Apoi, unele dintre aparițiile lui □ vor fi interpretate extern ca „cunoștințe” în conformitate cu descrierea problemei. Fie B propoziția „obiectul din fața mea este un hambar”, iar R să fie propoziția „obiectul din fața mea este roșu”.

1. □ B, „Cred că obiectul din fața mea este un hambar”;
2. □ (B ∧ R), „Cred că obiectul din fața mea este un hambar roșu”.

La nivel de nivel, 2 este de fapt cunoaștere, în timp ce prin descrierea problemei, 1 nu este cunoaștere.

□ (B ∧ R → B), afirmație de cunoaștere a axiomului logic

În cadrul acestei formalizări, se pare că închiderea epistemică în forma sa modală (2) este încălcată: linia 2, □ (B ∧ R) și linia 3, □ (B ∧ R → B) sunt cazuri de cunoaștere, în timp ce □ B (linia 1) nu este cunoaștere. Limbajul modal aici nu pare să ajute la rezolvarea acestei probleme.

Urmează să luăm în considerare exemplul Red Barn din Justificare Logica unde t: F este interpretat ca „Cred că F din motivul t”. Să fie o justificare individuală specifică pentru credința că B, și v, pentru credința că B ∧ R. În plus, să fie o justificare a adevărului logic B ∧ R → B. Atunci lista ipotezelor este:

1. u: B, 'u este un motiv de a crede că obiectul din fața mea este un hambar'
2. v:(B ∧ R), 'v este un motiv de a crede că obiectul din fața mea este un hambar roșu'
3. a:(B ∧ R → B).

Pe metalevel, descrierea problemei afirmă că 2 și 3 sunt cazuri de cunoaștere și nu doar credință, în timp ce 1 este credință care nu este cunoaștere. Iată cum merge raționamentul formal:

1. a:(B ∧ R → B) → (v:(B ∧ R) → [a ⋅ v]: B), de principiu (1);
2. v:(B ∧ R) → [a ⋅ v]: B, de la 3 și 4, prin logică propozițională;
3. [a ⋅ v]: B, de la 2 și 5, prin logică propozițională.

Observați că concluzia 6 este [a ⋅ v]: B și nu u: B; închiderea epistemică ține. Motivând în logica justificării, s-a ajuns la concluzia că [a ⋅ v]: B este un caz de cunoaștere, adică „Știu B din rațiunea a ⋅ v”. Faptul că u: B nu este un caz de cunoaștere nu strică principiul închiderii, deoarece acesta din urmă pretinde cunoștințe special pentru [a ⋅ v]: B. Prin urmare, după ce am observat o fațadă roșie, știu într-adevăr B, dar această cunoaștere nu are nicio legătură cu 1, care rămâne un caz de credință și nu de cunoaștere. Formalizarea logicii de justificare reprezintă situația corect.

Justificările de urmărire reprezintă structura exemplului Barn Roșu într-un mod care nu este capturat de instrumentele tradiționale epistemice modale. Justificare Formalizarea logicii modelează ceea ce pare să se întâmple într-un astfel de caz; închiderea cunoștințelor în legătură logică este menținută, chiar dacă „hambarul” nu este cunoscut perceptiv. ^[2]

1.2 Tradiția logicii matematice

Potrivit lui Brouwer, adevărul în matematica constructivă (intuiționalistă) înseamnă existența unei dovezi, cf. (Troelstra și van Dalen 1988). În 1931–34, Heyting și Kolmogorov au oferit o descriere informală a semanticii bazate pe dovezi pentru logica intuiționalistă (Kolmogorov 1932, Heyting 1934), care este denumită acum semantica Brouwer-Heyting-Kolmogorov (BHK). Conform condițiilor BHK, o formulă este „adevărată” dacă are o dovadă. Mai mult, o dovadă a unei declarații compuse este conectată la dovezi ale componentelor sale în felul următor:

• o dovadă a A ∧ B constă dintr-o dovadă a propoziției A și o dovadă a propoziției B;
• o dovadă de A ∨ B este dată prin prezentarea fie a unei probe a lui A, fie a unei probe a lui B;
• o dovadă de A → B este o construcție care transformă dovezile lui A în dovezi ale lui B;
• falsitatea ⊥ este o propoziție care nu are dovezi, ¬ A este o prescurtare pentru A → ⊥.

Kolmogorov a sugerat explicit că obiectele asemănătoare dovezilor din interpretarea sa („soluții problemă”) provin din matematica clasică (Kolmogorov 1932). Într-adevăr, din punct de vedere fundamental nu are prea mult sens să înțelegem „dovezile” de mai sus ca dovezi într-un sistem intuiționalist pe care se presupune că aceste condiții.

Valoarea fundamentală a semanticii BHK este aceea că, în mod informal, dar fără echivoc, sugerează tratarea justificărilor, aici dovezi matematice, ca obiecte cu operații.

În (Gödel 1933), Gödel a făcut primul pas spre dezvoltarea unei semantice riguroase bazate pe dovezi pentru intuiționism. Gödel a considerat logica modală clasică S4 drept un calcul care descrie proprietățile de probabilitate:

• Axiome și reguli ale logicii propoziționale clasice;
• □ (F → G) → (□ F → □ G);
• □ F → F;
• □ F → □□ F;
• Regula necesității: dacă ⊢ F, atunci ⊢ □ F.

Bazându-se pe înțelegerea lui Brouwer despre adevărul logic ca probabilitate, Gödel a definit o traducere a tr (F) a formulei propozitive F în limbajul intuiționalist în limba logicii modale clasice: tr (F) se obține prin prefixarea fiecărei subformule F cu probabilitatea modalitate □. În mod informal, atunci când procedura obișnuită de determinare a adevărului clasic al unei formule este aplicată la tr (F), aceasta va testa probabilitatea (nu adevărul) a fiecăreia dintre subformulele lui F, în acord cu ideile lui Brouwer. Din rezultatele lui Gödel și ale lucrărilor McKinsey-Tarski pe semantică topologică pentru logica modală, rezultă că traducerea tr (F) oferă o încorporare adecvată a calculului intuițional de propoziție, IPC, în S4, adică o încorporare a logicii intuiționale în logica clasică extins de operatorul de probabilitate.

(3)	Dacă IPC dovedește F, atunci S4 dovedește tr (F).

Totuși, obiectivul inițial al lui Gödel de a defini logica intuițională în termeni de probabilitate clasică nu a fost atins, deoarece conexiunea S4 cu noțiunea obișnuită matematică a probabilității nu a fost stabilită. Mai mult, Gödel a menționat că ideea simplă de interpretare a modalității □ F, întrucât F este probabilă într-un anumit sistem formal T, contrazicea a doua teoremă a incompletitudinii lui Gödel. Într-adevăr, □ (□ F → F) poate fi derivat în S4 prin regula necesității din axiomul □ F → F. Pe de altă parte, interpretarea modalității □ ca predicat al probabilității formale în teoria T și F ca fiind contradicție, transformă această formulă într-o afirmație falsă potrivit căreia coerența lui T este internă probabilă în T.

Situația de după (Gödel 1933) poate fi descrisă de următoarea figură în care „X ↪ Y” trebuie citită așa cum „X este interpretată în Y”

IPC ↪ S4 ↪? ↪ PROBLELE CLASICE

În cadrul unei prelegeri publice la Viena din 1938, Gödel a observat că folosind formatul dovezilor explicite:

(4)	t este o dovadă a lui F

poate ajuta la interpretarea calculului său de probabilitate S4 (Gödel 1938). Din păcate, opera lui Gödel (Gödel 1938) a rămas nepublicată până în 1995, timp în care logica Gödeliană a dovezilor explicite fusese deja redescoperită și axiomatizată ca Logica dovezilor LP și furnizată de teoreme de completare care o conectau atât la dovezi S4, cât și clasice (Artemov 1995).

LP Logic of Proofs a devenit primul din familia Logic Justification. Termenii de dovadă în LP nu sunt altceva decât termeni BHK înțeleși ca dovezi clasice. Cu LP, logica intuiționalistă propozițională a primit semantica riguroasă BHK dorită:

IPC ↪ S4 ↪ LP ↪ PROBLE CLASICE

Pentru discuții suplimentare despre tradiția logicii matematice, consultați secțiunea 1 a documentului suplimentar Unele chestiuni tehnice suplimentare.

2. Componentele de bază ale logicii de justificare

În această secțiune sunt prezentate sintaxa și axiomatica celor mai comune sisteme de logică de justificare.

2.1 Logica limbajului justificării

Pentru a construi un cont formal al logicii justificării, trebuie să facem o presupunere structurală de bază: justificările sunt obiecte abstracte care au structură și operații asupra lor. Un bun exemplu de justificări este furnizat de dovezi formale, care au fost de mult timp obiecte de studiu în logică matematică și informatică (vezi secțiunea 1.2).

Justificare Logica este un cadru logic formal care încorporează afirmații epistemice t: F, faptul că „t este o justificare pentru F”. Justificare Logica nu analizează în mod direct ce înseamnă pentru a justifica F dincolo de formatul t: F, ci încearcă să caracterizeze această relație axiomatic. Aceasta este similară cu modul în care logica booleană își tratează conectivitățile, să zicem, disjuncția: nu analizează formula p ∨ q, ci presupune anumite axiome logice și tabele de adevăr despre această formulă.

Sunt luate mai multe decizii de proiectare. Justificare Logica începe cu cea mai simplă bază: logica booleană clasică și din motive întemeiate. Justificările oferă o provocare suficient de serioasă chiar și la cel mai simplu nivel. Exemplele paradigmatice de Russell, Goldman-Kripke, Gettier și alții pot fi tratate cu Logica justificării booleene. Nucleul logicii epistemice este format din sisteme modale cu o bază booleană clasică (K, T, K4, S4, K45, KD45, S5 etc.), iar fiecare dintre ele a primit un însoțitor de logică justificativ corespunzător bazat pe logica booleană.. În cele din urmă, nu este întotdeauna asumat factivitatea justificărilor. Acest lucru face posibilă captarea esenței discuțiilor în epistemologie care implică probleme de credință și nu de cunoaștere.

Operațiunea de bază privind justificările sunt cererea și suma. Operația aplicației ia justificările s și t și produce o justificare s ⋅ t astfel încât dacă s:(F → G) și t: F, atunci [s ⋅ t]: G. Simbolic,

s:(F → G) → (t: F → [s ⋅ t]: G)

Aceasta este o proprietate de bază a justificărilor asumate în logica combinatorie și λ -calculi (Troelstra și Schwichtenberg 1996), semantica Brouwer-Heyting-Kolmogorov (Troelstra și van Dalen 1988), realizarea Kleene (Kleene 1945), Logica probelor LP, etc..

Orice două justificări pot fi combinate în siguranță în ceva cu un domeniu de aplicare mai larg. Aceasta se face folosind suma operațională '+'. Dacă s: F, atunci orice probă t ar fi, dovada combinată s + t rămâne o justificare pentru F. Mai corect, operația '+' ia justificările s și t și produce s + t, ceea ce este o justificare pentru tot ceea ce este justificat de s sau de t.

s: F → [s + t]: F și t: F → [s + t]: F

Ca motivație, s-ar putea considera s și t ca două volume ale unei enciclopedii și s + t ca mulțimea celor două volume. Imaginează-ți că unul dintre volume, să zicem s, conține o justificare suficientă pentru o propoziție F, adică s: F este cazul. Apoi setul mai mare s + t conține și o justificare suficientă pentru F, [s + t]: F. În Logica probelor LP, secțiunea 1.2, „s + t” poate fi interpretată ca o concatenare a probelor s și t.

2.2 Justificare de bază Logica J ₀

Termenii de justificare sunt construiți din variabilele de justificare x, y, z,… și constantele de justificare a, b, c,… (cu indicii i = 1, 2, 3,… care sunt omise ori de câte ori este sigur) prin intermediul operațiunilor” ⋅ 'și' + '. Logicile mai elaborate luate în considerare mai jos permit, de asemenea, operațiuni suplimentare la justificări. Constanțele denotă justificări atomice pe care sistemul nu le analizează; variabilele indică justificări nespecificate. Logica de bază a justificărilor, J ₀ este axiomatizată de următoarele.

Logica clasică

Axiomele propoziționale clasice și regula Modus Ponens

Axiom de aplicare

s:(F → G) → (t: F → [s ⋅ t]: G),

Axiomele sumare

s: F → [s + t]: F, s: F → [t + s]: F.

J ₀ este logica justificărilor generale (nu neapărat factive) pentru un agent absolut sceptic pentru care nici o formulă nu este justificată probabil, adică J ₀ nu derivă t: F pentru orice t și F. Un astfel de agent este totuși capabil să tragă concluzii de justificare relativă a formei

Dacă x: A, y: B,…, z: C mențineți, atunci t: F.

Cu această capacitate J ₀ este capabil să imite în mod adecvat alte sisteme de justificare în limba sa.

2.3 Conștientizare logică și specificații constante

Principiul de conștientizare logică prevede că axiomele logice sunt justificate din oficiu: un agent acceptă axiomele logice ca fiind justificate (inclusiv cele referitoare la justificări). După cum s-a precizat, conștientizarea logică poate fi prea puternică în unele situații epistemice. Cu toate acestea, Justificare Logica oferă mecanismul flexibil al specificațiilor constante pentru a reprezenta diferite nuanțe de conștientizare logică.

Desigur, se face distincție între o presupunere și o presupunere justificată. În Justificare Constanțele logice sunt utilizate pentru a reprezenta justificările ipotezelor în situațiile în care nu sunt analizate în continuare. Să presupunem că se dorește să se postuleze că un axiom A este justificat pentru cunoscător. Se postulează pur și simplu e ₁: A pentru unele constante de dovezi e ₁ (cu indicele 1). Dacă, în plus, se dorește postularea că acest nou principiu e ₁: A este, de asemenea, justificat, se poate postula e ₂:(e ₁: A) pentru o constantă e ₂(cu indicele 2). Si asa mai departe. Urmărirea indicilor nu este necesară, dar este ușor și ajută în procedurile de decizie (Kuznets 2008). Setul tuturor presupunerilor de acest fel pentru o logică dată se numește specificație constantă. Iată definiția formală:

O specificație constantă CS pentru o logică de justificare dată L este un set de formule ale formei

e _n: e _{n −1}: …: e ₁: A (n ≥ 1),

unde A este o axiomă de L, și e ₁, e ₂,…, e _n sunt constante similare cu indicii 1, 2,…, n. Se presupune că CS conține toate specificațiile intermediare, adică ori de câte ori e _n: e _{n −1}:…: e ₁: A este în CS, apoi e _{n −1}:…: e ₁: A este și în CS.

Există o serie de condiții speciale care au fost plasate pe specificații constante în literatura de specialitate. Următoarele sunt cele mai frecvente.

Gol

CS = ∅. Aceasta corespunde unui agent absolut sceptic. Se ridică la lucrul cu logica J ₀.

Finit

CS este un set fin de formule. Acesta este un caz complet reprezentativ, deoarece orice derivare specifică din Justificarea Logică va implica doar un set finit de constante.

Axiomatic adecvat

Fiecare axiom, inclusiv cele nou dobândite prin specificația constantă în sine, au justificări. În setarea formală, pentru fiecare axiom A există o constantă e ₁ astfel încât e ₁: A este în CS, iar dacă e _n: e _{n −1}: …: e ₁: A ∈ CS, atunci e _{n +1}: e _n: e _{n −1}:…: e ₁: A ∈ CS, pentru fiecare n ≥ 1. Sunt necesare specificații constante adecvate axiomatic pentru asigurarea proprietății de internalizare, discutată la sfârșitul acestei secțiuni.

Total

Pentru fiecare axiom A și orice constante e ₁, e ₂, … e _n,

e _n: e _{n −1}:…: e ₁: A ∈ CS.

Numele TCS este rezervat specificației constante totale (pentru o logică dată). Desigur, specificația constantă totală este adecvată axiomatic.

Putem specifica acum:

Logica justificărilor cu specificația constantă dată:

Fie CS o specificație constantă. J _CS este logica J ₀ + CS; axiomele sunt cele ale lui J ₀ împreună cu membrii CS, iar singura regulă de inferență este Modus Ponens. Rețineți că J ₀ este J _∅.

Logica justificărilor

J este logica J ₀ + Regula de internalizare a axiomului. Noua regulă prevede:

Pentru fiecare axiomă A și orice constantele e ₁, e ₂, …, e _n infestare e _n: e _{n -1:} …: e ₁: A.

Aceasta din urmă întruchipează ideea de conștientizare logică nerestricționată pentru J. O regulă similară a apărut în Logic of Proofs LP și a fost anticipată și în Goldman's (Goldman 1967). Conștientizarea logică, așa cum este exprimată de specificațiile constante adecvate axiomatic, este o încarnare explicită a regulii de necesitate în logica modală: ⊢ F ⇒ ⊢ □ F, dar limitată la axiome. Rețineți că J coincide cu J _TCS.

Caracteristica cheie a justificării Sistemele logice este capacitatea lor de a-și internaliza propriile derivări ca afirmații justificative probabile în limbile lor. Această proprietate a fost anticipată în (Gödel 1938).

Teorema 1: Pentru fiecare specificație constantă adecvată axiomatic CS, J _CS se bucură de internalizare:

Dacă ⊢ F, atunci ⊢ p: F pentru un termen de justificare p.

Dovada. Inducerea pe lungimea derivării. Să presupunem că ⊢ F. Dacă F este un membru al lui J ₀ sau un membru al CS, există o constantă e _n (unde n ar putea fi 1) astfel încât e _n: F este în CS, deoarece CS este adecvat axiomatic. Atunci e _n: F este derivabil. Dacă F este obținut de Modus Ponens din X → F și X, atunci, prin Ipoteza de inducție, ⊢ s:(X → F) și ⊢ t: X pentru unii s, t. Utilizând Axiomul aplicației, ⊢ [s ⋅ t]: F.

A se vedea secțiunea 2 din documentul suplimentar Câteva aspecte tehnice pentru exemple de derivări sintactice concrete în logica justificării.

2.4 Factivitate

Factivitatea afirmă că justificările sunt suficiente pentru ca un agent să încheie adevărul. Acest lucru este concretizat în cele ce urmează.

Axiomul de factori t: F → F.

Axioma factivității are o motivație similară cu Axiomul Adevărului logicii epistemice, F → F, care este acceptat pe scară largă ca proprietate de bază a cunoașterii.

Spre deosebire de principiile aplicației și ale sumei, factivitatea justificărilor nu este necesară în sistemele logice de bază Justificare, ceea ce le face capabile să reprezinte atât justificări parțiale cât și factive. Axioma factivității a apărut în secțiunea 1.2 Logic of Proams LP, ca o caracteristică principală a dovezilor matematice. Într-adevăr, în această setare Factivitatea este clar validă: dacă există o dovadă matematică t a lui F, atunci F trebuie să fie adevărat.

Axiomul de factivitate este adoptat pentru justificări care duc la cunoaștere. Totuși, numai factivitatea nu garantează cunoașterea, așa cum au demonstrat exemplele Gettier (Gettier 1963).

Logica justificărilor factive

• JT ₀ = J ₀ + Factivitate;
• JT = J + Factivitate.

Sistemele JT _CS corespunzătoare specificațiilor constante CS sunt definite ca în secțiunea 2.3.

2.5 Introspecție pozitivă

Unul dintre principiile comune ale cunoașterii este identificarea cunoașterii și cunoașterea pe care o cunoaște. Într-o setare modală, aceasta corespunde cu □ F → □□ F. Acest principiu are o contrapartidă explicită adecvată: faptul că un agent acceptă t ca dovezi suficiente pentru F servește ca dovadă suficientă pentru t: F. Adesea, aceste „meta-dovezi” au o formă fizică: un raport de arbitru certifică faptul că o dovadă într-o lucrare este corectă; o ieșire de verificare computer dată cu o probă formală t de F ca intrare; o dovadă formală că t este o dovadă de F etc. O operație de introspecție pozitivă '!' pot fi adăugate în limbă în acest scop; atunci se presupune că dat, t, agentul produce o justificare! t de t: F astfel încât t: F →! t:(t: F). Introspecția pozitivă în această formă operațională a apărut pentru prima dată în Logic of Proofs LP.

Axiom de introspecție pozitivă: t: F →! t:(t: F).

Definim apoi:

• J4: = J + Introspecție pozitivă;
• LP: = JT + Introspecție pozitivă. ^[3]

Logica J4 ₀, J4 _CS, LP ₀ și LP _CS sunt definite în mod natural (vezi Secțiunea 2.3). Analogul direct al teoremei 1 este valabil și pentru J4 _CS și LP _CS.

În prezența Axiomului de introspecție pozitivă, se poate limita sfera regulii de internalizare a axiomului la axiomele de internalizare care nu sunt de forma e: A. Așa s-a făcut în LP: Interiorizarea axiomului poate fi apoi emulată cu ajutorul !! e:(! e:(e: A)) în loc de e ₃:(e ₂:(e ₁: A)), etc. Noțiunea de specificație constantă poate fi, de asemenea, simplificată în consecință. Astfel de modificări sunt minore și nu afectează principalele teoreme și aplicații ale Logicii Justificării.

2.6 Introspecție negativă

(Pacuit 2006, Rubtsova 2006) a considerat operațiunea de introspecție negativă "?" care verifică că o afirmație de justificare dată este falsă. O posibilă motivație pentru a lua în considerare o astfel de operație este aceea că operațiunea de introspecție pozitivă '!' poate fi considerat ca fiind capabil să ofere judecăți de verificare concludente cu privire la validitatea afirmațiilor de justificare t: F, deci atunci când t nu este o justificare pentru F, o astfel de „!” ar trebui să concluzionăm că ¬t: F. Acesta este în mod normal cazul verificatorilor de probe computerizate, verificatorii de probe din teoriile formale, etc. Această motivație este totuși nuanțată: exemplele verificatorilor de probe și verificatoarele de dovezi funcționează atât cu T cât și ca input-uri, în timp ce formatul Pacuit-Rubtsova? t sugerează că singura intrare pentru „?” este o justificare t și rezultatul? Se presupune că justifică propoziții ¬t:F uniform pentru toate F-urile pentru care t: F nu ține. O astfel de operație "?" nu există pentru dovezi matematice formale de când? ar trebui să fie apoi o singură dovadă a infinitului de multe propoziții ¬t: F, ceea ce este imposibil.

Introspecție negativă Axiom ¬t: F →? t: (¬ t: F)

Definim sistemele:

• J45 = J4 + Introspecție negativă;
• JD45 = J45 + ¬ t: ⊥;
• JT45 = J45 + factivitate

și extinde în mod natural aceste definiții la J45 _CS, JD45 _CS, și JT45 _CS. Analogul direct al Teorema 1 este valabil pentru J45 _CS, JD45 _CS, și JT45 _CS.

3. Semantica

Semantica acum standard pentru logica justificării își are originea în (Fitting 2005) - modelele utilizate sunt în general numite modele Fitting în literatura de specialitate, dar vor fi numite posibile modele de justificare mondială aici. Modelele posibile de justificare mondială sunt un amalgam al semanticii mondiale posibile cunoscute pentru logica cunoașterii și credinței, datorită lui Hintikka și Kripke, cu utilaje specifice termenilor de justificare, introduse de Mkrtychev în (Mkrtychev 1997), (vezi Secțiunea 3.4).

3.1 Modele de justificare mondială cu un singur agent posibil pentru J

Mai precis, trebuie definită o semantică pentru J _CS, unde CS este orice specificație constantă. Formal, un posibil model de logică de justificare mondială pentru J _CS este o structură M = ⟨G, R, E, V⟩. Din aceasta, ⟨G, R⟩ este un cadru K standard, unde G este un set de lumi posibile și R este o relație binară asupra acesteia. V este o mapare de la variabile propoziționale la subseturi de G, specificând adevărul atomic în lumile posibile.

Noul articol este E, o funcție de probă, care își are originea în (Mkrtychev, 1997). Aceasta mapează termenii și formulele de justificare a seturilor de lumi. Ideea intuitivă este că, dacă lumea posibilă Γ este în E (t, X), atunci t este o dovadă relevantă sau admisibilă pentru X la lume Γ. Nu ar trebui să ne gândim la dovezi relevante ca la concluzii. Mai degrabă, gândiți-o mai degrabă la probe care pot fi admise într-o instanță de judecată: această mărturie, acest document este un lucru pe care un juriu ar trebui să-l examineze, ceva care este relevant, dar ceva al cărui statut determinant de adevăr este încă de luat în considerare. Funcțiile de evidență trebuie să îndeplinească anumite condiții, dar acestea sunt discutate puțin mai târziu.

Având în vedere un model de justificare mondială J _CS posibil M = ⟨G, R, E, V⟩, adevărul cu formula X în lumea posibilă Γ este notat de M, Γ ⊩ X și trebuie să îndeplinească următoarele condiții standard:

Pentru fiecare Γ ∈ G:

1. M, Γ ⊩ P iff Γ ∈ V (P) pentru P o literă propozițională;
2. nu este cazul ca M, Γ ⊩ ⊥;
3. M, Γ ⊩ X → Y dacă nu este cazul M, Γ ⊩ X sau M, Γ ⊩ Y.

Aceștia spun doar că adevărul atomic este specificat în mod arbitrar, iar conectivitățile propoziționale se comportă funcțional de adevăr la fiecare lume. Elementul cheie este următorul.

M, Γ ⊩ (t: X) dacă și numai dacă Γ ∈ E (t, X) și, pentru fiecare Δ ∈ G cu Γ R Δ, avem acea M, Δ ⊩ X

Această condiție se împarte în două părți. Clauza care impune ca M, Δ ⊩ X pentru fiecare Δ ∈ G astfel încât Γ R Δ să fie familiara condiție Hintikka / Kripke pentru X să fie crezută sau să fie credibilă la Γ. Clauza care impune ca Γ ∈ E (t, X) adaugă că t ar trebui să fie o dovadă relevantă pentru X la Γ. Apoi, în mod informal, t: X este adevărat într-o lume posibilă, dacă X este credibil în acea lume în sensul obișnuit al logicii epistemice și t este o dovadă relevantă pentru X în acea lume.

Este important să ne dăm seama că, în această semantică, s-ar putea să nu creadă ceva dintr-un motiv anume într-o lume, fie pentru că pur și simplu nu este credibil, fie pentru că este, dar motivul nu este adecvat.

Unele condiții trebuie să fie încă aplicate funcțiilor de probă, iar specificația constantă trebuie să fie adusă și în imagine. Să presupunem că unul este dat s și t ca justificări. Se pot combina acestea în două moduri diferite: utilizarea simultană a informațiilor din ambele; sau folosiți informațiile de la unul dintre ele, dar alegeți mai întâi care. Fiecare naște o operație de bază pe termeni de justificare, ⋅ și +, introdusă axiomatic în secțiunea 2.2.

Să presupunem că s-au dovedit relevante pentru o implicație, iar t sunt dovezi relevante pentru antecedent. Apoi s și t împreună furnizează dovezi relevante pentru consecințe. Se presupune următoarea condiție privind funcțiile de probă:

E (s, X → Y) ∩E (t, X) ⊆ E (s ⋅ t, Y)

Cu această condiție adăugată, valabilitatea

s:(X → Y) → (t: X → [s ⋅ t]: Y)

este securizat.

Dacă s și t sunt elemente de probă, s-ar putea spune că ceva este justificat de unul sau mai mulți, fără a vă deranja să specificați care și aceasta va fi în continuare o dovadă. Următoarea cerință este impusă funcțiilor de probă.

E (s, X) ∪ E (t, X) ⊆ E (s + t, X)

Nu este surprinzător, ambele

s: X → [s + t]: X

și

t: X → [s + t]: X

acum ține.

În cele din urmă, trebuie să se țină cont de specificația constantă CS. Reamintim că constantele sunt destinate să reprezinte motivele ipotezelor de bază care sunt acceptate direct. Un model M = ⟨G, R, E, V⟩ îndeplinește specificația constantă CS furnizată: dacă c: X ∈ CS atunci E (c, X) = G.

Model de justificare mondială posibilă Un posibil model de justificare mondială pentru J _CS este o structură M = ⟨G, R, E, V⟩ care satisface toate condițiile enumerate mai sus și care îndeplinește specificația constantă CS.

În ciuda asemănărilor lor, posibilele modele de justificare mondială permit o analiză cu granulație fină care nu este posibilă cu modelele Kripke. Vezi secțiunea 3 din documentul suplimentar Câteva aspecte tehnice pentru mai multe detalii.

3.2 Completitudine slabă și puternică

Formula X este valabilă într-un anumit model pentru J _CS dacă este adevărată în toate lumile posibile ale modelului. Axiomatica pentru J _{CS a} fost dată în secțiunile 2.2 și 2.3. O teoremă de completare ia acum forma așteptată.

Teorema 2: O formulă X este probabilă în J _CS dacă și numai dacă X este valabilă în toate modelele J _CS.

Teorema completitudinii așa cum tocmai a fost menționată este uneori denumită completă slabă. Poate că este puțin surprinzător faptul că este semnificativ mai ușor de dovedit decât de exhaustivitate pentru logica modală K. Comentariile despre acest punct urmează. Pe de altă parte, este foarte general, lucrând pentru toate specificațiile constante.

În (Fitting 2005) a fost introdusă și o versiune mai puternică a semanticii. Un model M = ⟨G, R, E, V⟩ se numește complet explicativ dacă îndeplinește următoarea condiție. Pentru fiecare Γ ∈ G, dacă M, Δ ⊩ X pentru toate Δ ∈ G astfel încât Γ R Δ, atunci M, Γ ⊩ t: X pentru un termen de justificare t. Rețineți că condiția, M, Δ ⊩ X pentru toți Δ ∈ G, astfel încât Γ R Δ, este condiția obișnuită ca X să fie credibil la Γ în sensul Hintikka / Kripke. Deci, explicativ complet spune că, dacă o formulă este credibilă într-o lume posibilă, există o justificare pentru aceasta.

Nu toate modelele slabe îndeplinesc condiția explicativă. Modelele care fac acest lucru se numesc modele puternice. Dacă specificația constantă CS este suficient de bogată pentru a păstra o teoremă de internalizare, atunci unul are o completitudine în ceea ce privește modelele puternice care îndeplinesc CS. Într-adevăr, într-un sens adecvat, caracterul complet al modelelor puternice este echivalent cu posibilitatea de a dovedi internalizarea.

Dovada completitudinii în ceea ce privește modelele puternice poartă o asemănare strânsă cu dovada completitudinii folosind modele canonice pentru logica modală K. La rândul său, modelele puternice pot fi utilizate pentru a da o dovadă semantică a teoremei realizării (vezi secțiunea 4).

3.3 Familia cu un singur agent

Până în prezent s-a discutat despre o posibilă semantică mondială pentru o logică de justificare, pentru J, omologul lui K. Acum lucrurile sunt lărgite pentru a cuprinde analogii de justificare a altor logici modale familiare.

Pur și simplu adăugând reflexivitatea relației de accesibilitate R la condițiile pentru un model din secțiunea 3.1, se câștigă valabilitatea t: X → X pentru fiecare t și X și se obține o semantică pentru JT, logica de justificare analogă a logicii modale. T, cea mai slabă logică a cunoașterii. Într-adevăr, dacă M, Γ ⊩ t: X atunci, în special, X este adevărat la fiecare stare accesibilă de la Γ. Deoarece relația de accesibilitate trebuie să fie reflexivă, M, Γ ⊩ X. Teoreme slabe și puternice de completare sunt probabile folosind același utilaj care s-a aplicat în cazul lui J și este disponibilă și o dovadă semantică a unui teorem de realizare care leagă JT și T. Același lucru este valabil și pentru logicile discutate mai jos.

Pentru un analog de justificare K4, un operator suplimentar unar "!" se adaugă la termenul limbaj, vezi Secțiunea 2.5. Reamintiți-vă de acest operator mapări de justificări la justificări, unde ideea este că dacă t este o justificare pentru X, atunci! t ar trebui să fie o justificare pentru t: X. Semantic acest lucru adaugă condiții la un model M = ⟨G, R, E, V⟩, după cum urmează.

În primul rând, desigur, R ar trebui să fie tranzitorie, dar nu neapărat reflexivă. În al doilea rând, este necesară o condiție de monotonie a funcțiilor de probă:

Dacă Γ R Δ și Γ ∈ E (t, X) atunci Δ ∈ E (t, X)

Și, în sfârșit, este nevoie de încă o condiție de funcție a dovezilor.

E (t, X) ⊆ E (! T, t: X)

Aceste condiții implică valabilitatea t: X →! t: t: X și produce o semantică pentru J4, un analog de justificare al lui K4, cu un teorem al realizării care le leagă. Adăugarea reflexivității duce la o logică care se numește LP din motive istorice.

Se poate adăuga, de asemenea, un operator de introspecție negativ, '?,' a se vedea secțiunea 2.6. Modelele pentru logici de justificare care includ acest operator adaugă trei condiții. Prima R este simetrică. În al doilea rând, se adaugă o condiție care a fost cunoscută sub numele de dovezi puternice: M, Γ ⊩ t: X pentru toți Γ ∈ E (t, X). În cele din urmă, există o condiție privind funcția de probă:

E (t, X) ⊆ E (? T, ¬ t: X)

Dacă acest utilaj se adaugă la cel pentru J4, obținem logica J45, o omologă de justificare a lui K45. Se poate dovedi soliditatea și completitudinea axiomatică. Într-un mod similar, logicile conexe JD45 și JT45 pot fi formulate.

O teoremă a realizării care ține cont de acest operator a fost prezentată în (Rubtsova 2006).

3.4 Modele de justificare mondială unică

Modelele de justificare mondială unică au fost dezvoltate considerabil înaintea modelelor de justificare mondială mai generale posibile pe care le-am discutat (Mkrtychev, 1997). Astăzi ele pot fi gândite cel mai simplu la modele posibile de justificare mondială care se întâmplă să aibă o singură lume. Dovada completitudinii pentru J și pentru celelalte logici de justificare menționate mai sus pot fi ușor modificate pentru a stabili o completitate în ceea ce privește modelele de justificare mondiale unice, deși acesta nu a fost argumentul inițial. Ceea ce ne explică caracterul complet al modelelor de justificare mondială unică este faptul că informațiile despre structura posibilă a modelelor de justificare pot fi complet codate de funcția de probă admisibilă, cel puțin pentru logica discutată până acum. Mkrtychev a folosit modele de justificare unică pentru a stabili decizia LP,iar alții le-au folosit fundamental pentru a stabili limite de complexitate pentru logica justificării, precum și pentru a arăta rezultate de conservativitate pentru logica justificării credinței (Kuznets 2000, Kuznets 2008, Milnikel 2007, Milnikel 2009). Rezultatele complexității au fost utilizate în continuare pentru a rezolva problema omniscienței logice.

4. Teoreme de realizare

Contrapartida epistemică naturală a afirmației dovezii t: F este □ F, citită pentru unii x, x: F. Această observație conduce la noțiunea de proiecție uitată care înlocuiește fiecare apariție a lui t: F cu □ F și transformă, prin urmare, o Justificare Propoziția logică S într-o propoziție logică modală corespunzătoare S ^o. Proiecția uitată se extinde în mod natural de la propoziții la logică.

Evident, diferite Justificări Propozițiile logice pot avea aceeași proiecție uitată, deci S ^o pierde anumite informații conținute în S. Cu toate acestea, se observă cu ușurință că proiecția uitată întotdeauna mapează formule valide ale justificării (de exemplu, axiomele lui J) către formule valide ale unei logici epistemice corespunzătoare (K în acest caz). De asemenea, conversația deține: orice formulă valabilă a logicii Epistemice este proiecția uitată a unor formulă valabile de Logică de Justificare. Aceasta rezultă din teorema corespondenței 3.

Teorema 3: J ^o = K.

Această corespondență este valabilă pentru alte perechi de sisteme de Justificare și Epistemice, de exemplu J4 și K4, sau LP și S4 și multe altele. Într-o astfel de formă extinsă, Teorema corespondenței arată că logicele modale majore, precum K, T, K4, S4, K45, S5 și unii alții au omologii logice exacte.

La baza teoremei corespondenței se află următoarea teoremă a realizării.

Teorema 4: Există un algoritm care, pentru fiecare formula modală F derivabilă în K, atribuie termeni de probă fiecărei apariții de modalitate în F, astfel încât formula F ^r rezultată să fie derivabilă în J. Mai mult, realizarea atribuie variabile de probă la aparițiile negative ale operatorilor modali în F, respectând astfel citirea existențială a modalității epistemice.

Algoritmi de realizare cunoscuți, care recuperează termenii de dovezi în teoreme modale, utilizează derivate fără tăiere în logica modală corespunzătoare. Alternativ, Teorema realizării poate fi stabilită semantic prin metoda Fitting sau modificările corespunzătoare ale acesteia. În principiu, aceste argumente semantice produc, de asemenea, proceduri de realizare care se bazează pe o căutare exhaustivă.

Ar fi o greșeală să tragem concluzia că orice logică modală are o omologare rezonabilă a logicii. De exemplu, logica probabilității formale, GL, (Boolos 1993) conține Principiul Löb:

(5)	□ (□ F → F) → □ F,

care nu pare să aibă o versiune explicită acceptabilă epistemic. Luați în considerare, de exemplu, cazul în care F este constantă propozițională ⊥ pentru fals. Dacă un analog al teoremei 4 ar acoperi principiul Löb, ar exista termeni de justificare s și t astfel încât x:(s: ⊥ → ⊥) → t: ⊥. Dar acest lucru este intuitiv fals pentru justificarea factivă. Într-adevăr, s: ⊥ → ⊥ este o instanță a Axiomului Factivității. Aplicați internalizarea Axiomului pentru a obține c:(s: ⊥ → ⊥) pentru unele constante c. Această alegere a lui c face precedentul lui c:(s: ⊥ → ⊥) → t: ⊥ intuitiv adevărat și concluzia falsă ^[4]. În special, Principiul Löb (5) nu este valabil pentru interpretarea dovezilor (a se vedea (Goris 2007), pentru o evidență completă a principiilor GL sunt realizabile).

Teorema corespondenței oferă o perspectivă nouă asupra logicii modale epistemice. Mai ales, oferă o nouă semantică pentru logicele modale majore. În plus față de lectura tradițională „universală” în stil kripke a lui □ F așa cum este F în toate situațiile posibile, există acum o semantică „existențială” riguroasă pentru □ F care poate fi citită, deoarece există un martor (dovadă, justificare) pentru F.

Justificarea semantica joacă un rol similar în Logica Modală cu cea jucată de realizarea Kleene în Logica intuițională. În ambele cazuri, semantica prevăzută este existențială: interpretarea lui Brouwer-Heyting-Kolmogorov a logicii intuiționale (Heyting 1934, Troelstra și van Dalen 1988, van Dalen 1986) și citirea probabilității lui Gödel a S4 (Gödel 1933, Gödel 1938). În ambele cazuri există o semantică universală posibilă a universuluicaracter care este un instrument tehnic extrem de puternic și dominant. Cu toate acestea, nu abordează caracterul existențial al semanticii preconizate. A fost necesară realizarea lui Kleene (Kleene 1945, Troelstra 1998) pentru a dezvălui semantica de calcul a logicii intuiționale și a logicii probelor pentru a furniza semantica exactă BHK a probelor pentru logica intuițională și modală.

În contextul epistemic, Logica Justificării și Teorema corespondenței adaugă o nouă componentă „justificare” la logica modală a cunoștințelor și credinței. Din nou, această nouă componentă a fost, de fapt, o noțiune veche și centrală, care a fost discutată pe scară largă de către epistemologii de masă, dar care a rămas în afara domeniului logicii epistemice clasice. Teorema corespondenței ne spune că justificările sunt compatibile cu sistemele în stil Hintikka și, prin urmare, pot fi încorporate în condiții de siguranță în fundația Epistemic Modic Logic.

Vezi secțiunea 4 din documentul suplimentar Câteva aspecte tehnice pentru mai multe despre teoreme de realizare.

5. Generalizări

Până în acest articol au fost luate în considerare doar logici de justificare cu un singur agent, analog cu logica de cunoștințe cu un singur agent. Justificare Logica poate fi considerată logică a cunoașterii explicite, legată de logica mai convențională a cunoștințelor implicite. O serie de sisteme dincolo de cele discutate mai sus au fost cercetate în literatura de specialitate, care implică mai mulți agenți, sau care au atât operatori implicit, cât și explicit, sau o oarecare combinație a acestora.

5.1 Amestecarea cunoștințelor explicite și implicite

Deoarece logica justificării oferă justificări explicite, în timp ce logica convențională a cunoștințelor oferă un operator implicat de cunoștințe, este firesc să se ia în considerare combinarea celor două într-un singur sistem. Cea mai comună logică comună a cunoștințelor explicite și implicite este S4LP (Artemov și Nogina 2005). Limba S4LP este ca cea a LP, dar cu un operator implicat de cunoștințe adăugate, scris fie K fie □. Axiomatica este ca cea a LP, combinată cu cea a lui S4 pentru operatorul implicit, împreună cu un axiom de conectare, t: X → □ X, orice lucru care are o justificare explicită este cunoscut.

Semantic, posibilele modele de justificare mondială pentru LP nu necesită nicio modificare, deoarece au deja toate utilajele modelelor Hintikka / Kripke. Unul modelează □ operatorul în mod obișnuit, folosind doar relația de accesibilitate și unul modelează termenii de justificare descriși în secțiunea 3.1, folosind atât accesibilitatea cât și funcția de evidență. Deoarece condiția obișnuită pentru a fi adevărat □ X într-o lume este una dintre cele două clauze ale condiției pentru t: X fiind adevărată, aceasta dă imediat valabilitatea lui t: X → □ X, iar soliditatea urmează cu ușurință. Completitatea axiomatică este, de asemenea, destul de simplă.

În S4LP sunt reprezentate atât cunoștințe implicite, cât și explicite, dar în semantica modelului de justificare mondială posibilă, o relație de accesibilitate unică servește pentru ambele. Acesta nu este singurul mod de a face acest lucru. Mai general, o relație explicită de accesibilitate la cunoștințe ar putea fi o extensie adecvată a celei pentru cunoașterea implicită. Aceasta reprezintă viziunea cunoștințelor explicite ca având standarde mai stricte pentru ceea ce contează ca fiind cunoscut decât acela al cunoașterii implicite. Utilizarea diferitelor relații de accesibilitate pentru cunoștințe explicite și implicite devine necesară atunci când aceste noțiuni epistemice se supun legilor logice diferite, de exemplu, S5 pentru cunoștințe implicite și LP pentru explicit. Cazul relațiilor de accesibilitate multiplă este cunoscut în literatura de specialitate sub denumirea de modele Artemov-Fitting, dar va fi numit aici modele mondiale multi-agent posibile. (vezi Secțiunea 5.2).

Curios, în timp ce logica S4LP pare destul de naturală, o teoremă de realizare a fost problematică pentru ea: nicio astfel de teoremă nu poate fi dovedită dacă se insistă pe ceea ce se numește realizări normale (Kuznets 2010). Realizarea modalităților implicite de cunoaștere în S4LP prin justificări explicite care ar respecta structura epistemică rămâne o provocare majoră în acest domeniu.

Interacțiunile dintre cunoștințele implicite și explicite pot fi uneori destul de delicate. Ca un exemplu, luați în considerare următorul principiu mixt al introspecției negative (din nou □ trebuie citit ca operator epistemic implicit),

(6)	¬ t: X → □ ¬ t: X.

Din perspectiva probabilității, este forma potrivită de introspecție negativă. Într-adevăr, să fie interpretat □ F ca F este probabil și t: F ca t este o dovadă a lui F într-o teorie formală dată T, de exemplu, în PA-Aritmetică Peano. Apoi (6) afirmă un principiu probabil. Într-adevăr, dacă t nu este o dovadă a lui F, deoarece această afirmație este hotărâtoare, ea poate fi stabilită în interiorul lui T, prin urmare, în T această propoziție este probabilă. Pe de altă parte, dovada p a 't nu este o dovadă a lui F' depinde atât de t cât și de F, p = p (t, F) și nu poate fi calculată doar cu t. În acest sens, □ nu poate fi înlocuit cu niciun termen de dovadă specific, în funcție de numai t și (6) nu poate fi prezentat într-un format complet justificat în stil de justificare.

Primele exemple de sisteme de cunoaștere explicite / implicite au apărut în zona logicii de probabilitate. În (Sidon 1997, Yavorskaya (Sidon) 2001), a fost introdusă o logică LPP care a combinat logica probabilității GL cu logica probelor LP, dar pentru a se asigura că sistemul rezultat ar avea proprietăți logice dezirabile pentru unele operațiuni suplimentare din afara limbilor originale de GL și LP au fost adăugate. În (Nogina 2006, Nogina 2007) a fost oferit un sistem logic complet, GLA, pentru dovezi și probabilitate, în suma limbilor originale ale GL și LP. Atât LPP, cât și GLA se bucură de o completitudine în raport cu clasa modelelor aritmetice și, de asemenea, relativ la clasa de modele posibile de justificare mondială.

Un alt exemplu de principiu de probabilitate care nu poate fi făcut complet explicit este Principiul Löb (5). Pentru fiecare dintre LPP și GLA, este ușor să găsiți un termen de dovadă l (x) astfel încât

(7)	x: (□ F → F) → l (x): F

deține. Cu toate acestea, nu există nicio realizare care face ca toate cele trei in s în (5) să fie explicite. De fapt, setul de principii de probabilitate realizabile este intersecția dintre GL și S4 (Goris 2007).

5.2 Modele de justificare mondială cu multi-agenți posibili

În modelele de justificare mondială multi-agent posibil, sunt folosite mai multe relații de accesibilitate, cu conexiuni între ele (Artemov 2006). Ideea este că există mai mulți agenți, fiecare cu un operator implicat de cunoștințe și există termeni de justificare, pe care fiecare agent le înțelege. În mod vag, toată lumea înțelege motive explicite; acestea constituie cunoștințe comune bazate pe dovezi.

Un model de justificare mondială n-posibil este o structură ⟨G, R ₁,…, R _n, R, E, V⟩ care îndeplinește următoarele condiții. G este un set de lumi posibile. Fiecare dintre R ₁, …, R _n este o relație de accesibilitate, câte unul pentru fiecare agent. Se poate presupune că acestea sunt reflexive, tranzitive sau simetrice, după dorință. Acestea sunt utilizate pentru modelarea cunoștințelor implicite ale agenților pentru familia agenților. Relația de accesibilitate R îndeplinește condițiile de LP, reflexivitatea și tranzitivitatea. Este utilizat în modelarea cunoștințelor explicite. E este o funcție de probă, care îndeplinește aceleași condiții ca cele pentru LP în secțiunea 3.3. V hărți litere propoziționale către seturi de lumi, ca de obicei. Există o condiție specială impusă: pentru fiecare i = 1,…, n, R _i ⊆ R.

Dacă M = ⟨G, R ₁,…, R _n, R, E, V⟩ este un model de justificare mondială multi-agent posibil, o relație adevăr la nivel mondial, M, Γ ⊩ X, este definită cu majoritatea clauzele obișnuite. Cele de interes particular sunt următoarele:

• M, Γ ⊩ K _i X dacă și numai dacă, pentru fiecare Δ ∈ G cu Γ R _i Δ, avem acea M, Δ ⊩ X.
• M, Γ ⊩ t: X dacă și numai dacă Γ ∈ E (t, X) și, pentru fiecare Δ ∈ G cu Γ R Δ, avem acea M, Δ ⊩ X.

Condiția R _i ⊆ R atrage valabilitatea lui t: X → K _i X, pentru fiecare agent i. Dacă există un singur agent și relația de accesibilitate pentru acel agent este reflexivă și tranzitivă, aceasta oferă o altă semantică pentru S4LP. Indiferent de numărul de agenți, fiecare agent acceptă motive explicite pentru a stabili cunoștințe.

O versiune de LP cu doi agenți a fost introdusă și studiată în (Yavorskaya (Sidon) 2008), deși poate fi generalizată la orice număr finit de agenți. În acest sens, fiecare agent are propriul set de operatori de justificare, variabile și constante, mai degrabă decât să aibă un singur set pentru fiecare, ca mai sus. În plus, poate fi permisă o comunicare limitată între agenți, folosind un operator nou care permite unui agent să verifice corectitudinea justificărilor celuilalt agent. Au fost create versiuni atât pentru o singură lume cât și pentru o mai bună semantică de justificare mondială posibilă pentru logica cu doi agenți. Aceasta implică o extindere simplă a noțiunii de funcție de probă și pentru posibile modele de justificare mondială, folosind două relații de accesibilitate. Teoremele de realizare s-au dovedit sintactic,deși probabil că o dovadă semantică ar funcționa și ea.

S-a făcut o explorare recentă a rolului anunțurilor publice în logica justificării cu mai mulți agenți (Renne 2008, Renne 2009).

Există mai multe despre noțiunea de cunoștințe comune bazate pe dovezi în secțiunea 5 din documentul suplimentar Unele chestiuni tehnice.

6. Exemplul lui Russell: Factivity induced

Există o tehnică de utilizare a Justificării Logice pentru a analiza diferite justificări pentru același fapt, în special atunci când unele dintre justificări sunt factive și altele nu. Pentru a demonstra tehnica, luați în considerare un exemplu binecunoscut:

Dacă un om crede că numele de familie al regretatului prim-ministru a început cu un „B”, el crede că este adevărat, deoarece regretatul prim-ministru a fost Sir Henry Campbell Bannerman ^[5]. Dar, dacă crede că domnul Balfour a fost regretatul prim-ministru ^[6], va crede în continuare că numele de familie al regretatului prim-ministru a început cu un „B”, totuși această credință, deși adevărată, nu ar fi crezută că constituie cunoaștere. (Russell 1912)

Ca și în Exemplul de la Barn Roșu, discutat în Secțiunea 1.1, aici trebuie să se ocupe de două justificări pentru o afirmație adevărată, una dintre ele fiind corectă și una nu. Fie B o propoziție (atom propozițional), w să fie o variabilă de justificare desemnată pentru motivul greșit pentru B și variabila de justificare desemnată pentru motivul corect (deci de fapt) pentru B. Apoi, exemplul lui Russell solicită următorul set de presupuneri ^[7]:

R = {w: B, r: B, r: B → B}

Oarecum contrar intuiției, se poate deduce logic factivitatea w din R:

1. r: B (presupunere)
2. r: B → B (presupunere)
3. B (de la 1 și 2 de la Modus Ponens)
4. B → (w: B → B) (axiomă propozițională)
5. w: B → B (de la 3 și 4 de la Modus Ponens)

Cu toate acestea, această derivare utilizează faptul că r este o justificare factivă pentru B pentru a încheia w: B → B, ceea ce constituie un caz de „factivitate indusă” pentru w: B. Întrebarea este: cum se poate distinge factivitatea „reală” a lui r: B de „factivitatea indusă” a lui w: B? Este nevoie de un fel de urmărire a adevărului, iar Justificarea Logică este un instrument adecvat. Abordarea naturală este de a lua în considerare setul de ipoteze fără r: B, adică,

S = {w: B, r: B → B}

și stabiliți că factivitatea lui w, adică w: B → B nu poate fi derivată de la S. Iată un posibil model de justificare mondială M = (G, R, E, V) în care S ține, dar w: B → B nu:

• G = { 1 },
• R = ∅,
• V (B) = ∅ (și deci nu - 1 ⊩ B),
• E (t, F) = { 1 } pentru toate perechile (t, F) cu excepția (r, B) și
• E (r, B) = ∅.

Este ușor de observat că sunt îndeplinite condițiile de închidere Aplicare și Suma pe E. La 1, w: B ține, adică,

1 ⊩ w: B

deoarece w este o dovadă admisibilă pentru B la 1 și nu există lumi posibile accesibile de la 1. În plus,

nu- 1 ⊩ r: B

întrucât, conform E, r nu este o dovadă admisibilă pentru B la 1. De aici:

1 ⊩ r: B → B

Pe de altă parte,

nu- 1 ⊩ w: B → B

întrucât B nu ține la 1.

7. Autoreferențialitatea justificărilor

Algoritmii de realizare produc uneori specificații constante care conțin afirmații de justificare autoreferențiale c: A (c), adică afirmații în care apare justificarea (aici c) în propoziția afirmată (aici A (c)).

Autoreferențialitatea justificărilor este un fenomen nou care nu este prezent în limbajul modal convențional. Pe lângă faptul că sunt obiecte epistemice intrigante, astfel de afirmații autoreferențiale oferă o provocare specială din punctul de vedere semantic, din cauza cercului vicios încorporat. Într-adevăr, pentru a evalua c, ne putem aștepta mai întâi să evalueze A și apoi să atribuim un obiect de justificare pentru A la c. Totuși, acest lucru nu poate fi realizat deoarece A conține c care trebuie încă de evaluat. Întrebarea dacă logica modală poate fi realizată sau nu fără a utiliza justificări autoreferențiale a fost o întrebare deschisă majoră în acest domeniu.

Rezultatul principal al lui Kuznets din (Brejnev și Kuznets 2006) afirmă că autoreferențialitatea justificărilor este inevitabilă în realizarea S4 în LP. Starea actuală a lucrurilor este dată de următoarea teoremă datorată lui Kuznets:

Teorema 5: Autoreferențialitatea poate fi evitată în realizările logicii modale K și D. Auto-referențialitatea nu poate fi evitată în realizările logicii modale T, K4, D4 și S4.

Această teoremă stabilește că un sistem de termeni de justificare pentru S4 va fi în mod necesar autoreferențial. Aceasta creează o constrângere serioasă, deși nu este vizibilă direct, asupra semanticii de probabilitate. În contextul dovezilor aritmetice din Gödelian, problema a fost rezolvată printr-o metodă generală de atribuire a semanticii aritmetice unor afirmații autoreferențiale c: A (c) afirmând că c este o dovadă a lui A (c). În logica probelor LP a fost tratată printr-o construcție fără punct banal.

Auto-referențialitatea oferă o perspectivă interesantă asupra Paradoxului lui Moore. Consultați secțiunea 6 din documentul suplimentar Câteva aspecte tehnice suplimentare pentru detalii.

8. Cantificatorii din logica Justificării

În timp ce investigarea logicii de justiție propozițională este departe de a fi finalizată, au existat și lucrări sporadice la versiunile de prim ordin. Versiunile cuantificate ale Modal Logic oferă deja complexități dincolo de logica standard de primă ordine. Cuantificarea are un câmp și mai larg de jucat atunci când este implicată Logica Justificare. În mod obișnuit, cuantificăm „obiectele”, iar modelele sunt echipate cu un domeniu peste care cuantificatorii se situează. Modal, unul poate avea un singur domeniu comun tuturor lumilor posibile sau unul poate avea domenii separate pentru fiecare lume. Rolul formulei Barcan este bine cunoscut aici. Atât opțiunile de domeniu constante, cât și variabile sunt disponibile și pentru Justificarea Logică. În plus, există o posibilitate care nu are analog pentru Logic Modal: s-ar putea cuantifica însuși justificările.

Rezultatele inițiale referitoare la posibilitatea unei logici de justificare cuantificată au fost în special nefavorabile. Semantica aritmetică a probabilității pentru Logic of Proams LP, generalizează în mod natural la o versiune de prim ordin cu cuantificatori convenționali și la o versiune cu cuantificatori peste dovezi. În ambele cazuri, la întrebările de axiomatizabilitate s-a răspuns negativ.

Teorema 6: Logica dovezilor de ordinul întâi nu este recursiv de enumerabil (Artemov și Yavorskaya (Sidon) 2001). Logica dovezilor cu cuantificatori peste dovezi nu este recursiv de enumerabil (Yavorsky 2001).

Deși o semantică aritmetică nu este posibilă, în (Fitting 2008) o posibilă semantică mondială și o teorie a axiomatică a probelor a fost dată pentru o versiune de LP cu cuantificatori care se întind pe justificări. Durerea și completitudinea au fost dovedite. În acest moment, o posibilă semantică mondială se separă de semantica aritmetică, ceea ce poate fi sau nu un motiv de alarmă. S-a arătat, de asemenea, că S4 se încorporează în logica cuantificată prin traducerea □ Z, deoarece „există o justificare x astfel încât x: Z ^*”, unde Z ^* este traducerea lui Z. Deși această logică este oarecum complicată, ea a găsit aplicații, de exemplu, în (Dean și Kurokawa 2009b), este utilizată pentru a analiza paradoxul Knower, deși au fost aduse obiecții la această analiză în (Arlo-Costa și Kishida 2009).

De asemenea, s-au lucrat la versiunile Logică de Justificare cu cuantificatori peste obiecte, atât cu, cât și fără analogul formulei Barcan. Nimic din toate acestea nu a fost publicat și ar trebui să fie considerat încă în desfășurare.

9. Note istorice

Sistemul inițial de logică de justificare, Logic of Proofs LP, a fost introdus în 1995 în (Artemov 1995) (a se vedea și (Artemov 2001)), unde au fost stabilite pentru prima dată proprietăți de bază precum internalizarea, realizarea, completitudinea aritmetică. LP a oferit o semantică de probabilitate destinată logicii de probabilitate S4 a lui Gödel, oferind astfel o formalizare a semanticii Brouwer-Heyting-Kolmogorov pentru logica propozițională intuițională. Semantica și complexitatea epistemică (Fitting 2005) au fost stabilite pentru LP. Modelele simbolice și decizia pentru LP se datorează lui Mkrtychev (Mkrtychev 1997). Estimările de complexitate au apărut pentru prima dată în (Brejnev și Kuznets 2006, Kuznets 2000, Milnikel 2007). O imagine de ansamblu a tuturor rezultatelor determinabilității și complexității poate fi găsită în (Kuznets 2008). Sisteme J, J4,și JT au fost luate în considerare pentru prima dată în (Brejnev 2001) sub nume diferite și într-un cadru ușor diferit. JT45 a apărut independent în (Pacuit 2006) și (Rubtsova 2006) și JD45 în (Pacuit 2006). Logica probelor uni-concluziei a fost găsită în (Krupski 1997). O abordare mai generală a cunoștințelor comune bazată pe cunoștințe justificate a fost oferită în (Artemov 2006). Semantica de joc a Justificării Logică și logică epistemică dinamică cu justificări au fost studiate în (Renne 2008, Renne 2009). Conexiunile dintre Justificare Logica și problema omniscienței logice au fost examinate în (Artemov și Kuznets 2009, Wang 2009). Numele de Justificare Logică a fost introdus în (Artemov 2008), în care au fost oficializate exemplele Kripke, Russell și Gettier; această formalizare a fost utilizată pentru rezolvarea paradoxurilor, verificarea,analiza ascunse a presupunerii și eliminarea concedierilor. În (Dean și Kurokawa 2009a), Justificarea Logică a fost utilizată pentru analiza paradoxurilor Knower and Knowability.

Bibliografie

• Antonakos, E. (2007). „Cunoștințe justificate și comune: conservativitate limitată”, în S. Artemov și A. Nerode (eds.), Fundații logice ale informaticii, Simpozion internațional, LFCS 2007, New York, NY, SUA, 4-7 iunie 2007, Proceedings (Lecture Notes in Computer Science: Volume 4514), Berlin: Springer, pp. 1–11.
• Arlo-Costa, H. și K. Kishida (2009). „Trei dovezi și Knower în logica cuantificată a dovezilor”, în Atelierul de epistemologie formală / FEW 2009. Proceedings, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA, SUA.
• Artemov, S. (1995). „Logica modală operațională”, Raport tehnic MSI 95–29, Universitatea Cornell.
• ---. (2001). „Probabilitate explicită și semantică constructivă”, Buletinul logicii simbolice, 7 (1): 1–36.
• ---. (2006). „Cunoștințe comune justificate”, Informatică teoretică, 357 (1-3): 4–22.
• ---. (2008). „Logica justificării”, Revizuirea logicii simbolice, 1 (4): 477–513.
• Artemov, S. și R. Kuznets (2009). „Omnisciența logică ca o problemă de complexitate computațională”, în A. Heifetz (ed.), Aspecte teoretice ale raționalității și cunoașterii, Proceedings of the XIIth Conference (TARK 2009), ACM Publishers, pp. 14–23.
• Artemov, S. și E. Nogina (2005). „Introducerea justificării în logica epistemică”, Journal of Logic and Computation, 15 (6): 1059-1073.
• Artemov, S. și T. Yavorskaya (Sidon) (2001). „Pe logica de primă ordine a dovezilor”, Moscow Mathematical Journal, 1 (4): 475–490.
• Boolos, G. (1993). Logica furnizării, Cambridge: Cambridge University Press.
• Brejnev, V. (2001). „Cu privire la logica dovezilor”, în K. Striegnitz (ed.), Proceedings of the Sixth ESSLLI Sesion Student, 13th European Summer School in Logic, Language and Information (ESSLLI’01), pp. 35–46.
• Brejnev, V. și R. Kuznets (2006). „Crearea de cunoștințe explicită: cât de greu este”, Teoretic Computer Science, 357 (1–3): 23–34.
• Cubitt, RP și R. Sugden (2003). „Cunoștințe comune, sănătate și convenție: o reconstrucție a teoriei jocurilor lui David Lewis”, Economie și Filozofie, 19: 175–210.
• Dean, W. și H. Kurokawa (2009a). „De la Paradoxul Cunoașterii la existența dovezilor”, Synthese, 176 (2): 177–225.
• ---. (2009b). „Cunoașterea, dovada și cunoscătorul”, în A. Heifetz (ed.), Aspecte teoretice ale raționalității și cunoștințelor, Proceedings of the XIIth Conference (TARK 2009), Publicații ACM, pp. 81–90.
• Dirittike, F. (2005). „Cunoașterea este închisă în urma unei atacuri cunoscute? Cazul împotriva închiderii”, în M. Steup și E. Sosa (eds.), Dezbateri contemporane în epistemologie, Oxford: Blackwell, p. 13–26.
• Fagin, R., J. Halpern, Y. Moses și M. Vardi (1995). Raționament despre cunoștințe, Cambridge, MA: MIT Press.
• Fitting, M. (2005). „Logica dovezilor, semantic”, Analele logicii pure și aplicate, 132 (1): 1–25.
• ---. (2006). „O teoremă de înlocuire pentru LP ”, Raport tehnic TR-2006002, Departamentul de Informatică, Universitatea din New York.
• ---. (2008). „O logică cuantificată a probelor”, Analele logicii pure și aplicate, 152 (1–3): 67–83.
• ---. (2009). „Realizări și LP ”, Analele logicii pure și aplicate, 161 (3): 368–387.
• Gettier, E. (1963). „Este o cunoaștere justificată a credinței adevărate?” Analiză, 23: 121–123.
• Girard, J.-Y., P. Taylor și Y. Lafont (1989). Dovezi și tipuri (Cambridge Tracts in Computer Science: Volume 7), Cambridge: Cambridge University Press.
• Gödel, K. (1933). „Eine Interpretation des intuitionistischen Aussagenkalkuls”, Ergebnisse Math. Kolloq., 4: 39–40. Traducere engleză în: S. Feferman et al. (eds.), Kurt Gödel Collected Works (Volumul 1), Oxford și New York: Oxford University Press și Clarendon Press, 1986, p. 301-303.
• ---. (1938). „Vortrag bei Zilsel / Lecture at Zilsel's” (* 1938a), în S. Feferman, J. J. Dawson, W. Goldfarb, C. Parsons și R. Solovay (eds.), Eseuri și prelegeri nepublicate (Kurt Gödel Collected Works: Volume III), Oxford: Oxford University Press, 1995, p. 86–113.
• Goldman, A. (1967). „O teorie cauzală a sensului”, The Journal of Philosophy, 64: 335–372.
• Goodman, N. (1970). „O teorie a construcțiilor este echivalentă cu aritmetica”, în J. Myhill, A. Kino și R. Vesley (eds.), Intuționism și Teoria Probei, Amsterdam: Olanda de Nord, pp. 101-120.
• Goris, E. (2007). „Exemple explicite în logica probabilității formale”, în S. Artemov și A. Nerode (eds.), Fundații logice ale informaticii, Simpozion internațional, LFCS 2007, New York, NY, SUA, 4-7 iunie 2007, Proceedings (Ecture Notes in Computer Science: Volume 4514), Berlin: Springer, p. 241–253.
• Hendricks, V. (2005). Mainstream and Formal Epistemology, New York: Cambridge University Press.
• Heyting, A. (1934). Mathematische Grundlagenforschung. Intuitionismus. Beweistheorie, Berlin: Springer.
• Hintikka, J. (1962). Cunoaștere și credință, Ithaca: Cornell University Press.
• Kleene, S. (1945). „Pe interpretarea teoriei intuiționale a numerelor”, The Journal of Symbolic Logic, 10 (4): 109–124.
• Kolmogorov, A. (1932). „Zur Deutung der Intuitionistischen Logik”, Mathematische Zeitschrift, 35: 58–65. Traducere în engleză în VM Tikhomirov (ed.), Lucrări selectate ale lui AN Kolmogorov. Volumul I: Matematică și mecanică, Dordrecht: Kluwer, 1991, p. 151-158.
• Kreisel, G. (1962). „Fundații ale logicii intuiționiste”, în E. Nagel, P. Suppes și A. Tarski (eds.), Logică, metodologie și filosofia științei. Proceedings of the International Congress 1960, Stanford: Stanford University Press, pp. 198–210.
• ---. (1965). „Logica matematică”, în T. Saaty (ed.), Lectures in Modern Mathematics III, New York: Wiley and Sons, pp. 95–195.
• Krupski, V. (1997). „Logica operațională a probelor cu condiție de funcționalitate pe predicat de dovadă”, în S. Adian și A. Nerode (eds.), Fundații logice ale informaticii, al IV-lea simpozion internațional, LFCS’97, Yaroslavl, Rusia, 6-12 iulie 1997, Proceedings (Lecture Notes in Computer Science: Volume 1234), Berlin: Springer, p. 167–177.
• Kurokawa, H. (2009). „Tableaux and Hypersequents for Justice Logic”, în S. Artemov și A. Nerode (eds.), Fundații logice ale informaticii, Simpozion internațional, LFCS 2009, Deerfield Beach, FL, SUA, 3–6 ianuarie 2009, Proceedings (Note de prelegere în informatică: Volumul 5407), Berlin: Springer, p. 295-308.
• Kuznets, R. (2000). „Despre complexitatea logicii modale explicite”, în P. Clote și H. Schwichtenberg (eds.), Computer Science Logic, al 14-lea atelier internațional, CSL 2000, Conferința anuală a EACSL, Fischbachau, Germania, 21-26 august 2000, Proceedings (Lecture Notes in Computer Science: Volume 1862), Berlin: Springer, p. 371–383.
• ---. (2008). Probleme de complexitate în justificare Logică, doctorat de doctorat, Departamentul de Informatică, City University of New York Center Center.
• ---. (2010). „O notă despre anormalitatea realizărilor S4LP ”, în K. Brünnler și T. Studer (eds.), Dovadă, calcul, complexitate PCC 2010, Atelier internațional, Proceduri, Rapoarte tehnice IAM IAM-10-001, Institutul de Calculatoare Știința și matematica aplicată, Universitatea din Bern
• McCarthy, J., M. Sato, T. Hayashi și S. Igarishi (1978). „Cu privire la teoria modelului cunoașterii”, raport tehnic STAN-CS-78-667, Departamentul de Informatică, Universitatea Stanford.
• Milnikel, R. (2007). „Derivabilitatea în anumite subsisteme ale Logicii probelor este Π ₂ ^p- complet”, Analele logicii pure și aplicate, 145 (3): 223–239.
• ---. (2009). „Conservativity for Logics of Justified Belief”, în S. Artemov și A. Nerode (eds.), Fundații logice ale informaticii, Simpozion internațional, LFCS 2009, Deerfield Beach, FL, SUA, 3–6 ianuarie 2009, Proceedings (Note de lectură în informatică: Volumul 5407), Berlin: Springer, pp. 354–364.
• Mkrtychev, A. (1997). „Modele pentru logica probelor”, în S. Adian și A. Nerode (eds.), Fundații logice ale informaticii, al IV-lea simpozion internațional, LFCS'97, Yaroslavl, Rusia, 6-12 iulie 1997, Proceedings (Prelegeră Note în informatică: volumul 1234), Berlin: Springer, p. 266–275.
• Nogina, E. (2006). „Cu privire la logica dovezilor și probabilității”, în 2005 Reuniunea de vară a Asociației pentru logică simbolică, Colocviul logicilor 05, Atena, Grecia (28 iulie - 3 august 2005), Buletinul logicii simbolice, 12 (2): 356.
• ---. (2007). „Completarea epistemică a GLA ”, în 2007 Reuniunea anuală a Asociației pentru logică simbolică, Universitatea din Florida, Gainesville, Florida (10-13 martie 2007), Buletinul logicii simbolice, 13 (3): 407.
• Pacuit, E. (2006). „O notă cu privire la unele logici modale explicite”, Raport tehnic PP – 2006–29, Institutul pentru Logică, Limbă și Calcul, Universitatea din Amsterdam.
• Plaza, J. (2007). „Logica comunicațiilor publice”, Synthese, 158 (2): 165–179.
• Renne, B. (2008). Logică epistemică dinamică cu justificare, teză de doctorat, Departamentul de Informatică, CUNY Graduate Center, New York, NY, SUA.
• ---. (2009). „Eliminarea dovezilor în logica justificării cu mai mulți agenți”, în A. Heifetz (ed.), Aspecte teoretice ale raționalității și cunoștințelor, Proceedings of the XIIth Conference (TARK 2009), Publications ACM, p. 227–236.
• Rose, G. (1953). „Calcul propozițional și realizabilitate”, Tranzacții ale Societății Americane de Matematică, 75: 1–19.
• Rubtsova, N. (2006). „La realizarea modalității S5 prin termeni de evidență”, Journal of Logic and Computation, 16 (5): 671–684.
• Russell, B. (1912). Problemele filozofiei, Oxford: Oxford University Press.
• Sidon, T. (1997). „Logica furnizării cu operațiuni pe dovezi”, în S. Adian și A. Nerode (eds.), Fundații logice ale informaticii, al IV-lea simpozion internațional, LFCS'97, Yaroslavl, Rusia, 6-12 iulie 1997, Proceedings (Prelegere Note în informatică: volumul 1234), Berlin: Springer, pp. 342–353.
• Troelstra, A. (1998). „Realizabilitate”, în S. Buss (ed.), Handbook of The Proof Theory, Amsterdam: Elsevier, pp. 407–474.
• Troelstra, A. și H. Schwichtenberg (1996). Teoria de bază a probelor, Amsterdam: Cambridge University Press.
• Troelstra, A. și D. van Dalen (1988). Constructivism în matematică (volumele 1, 2), Amsterdam: Olanda de Nord.
• van Dalen, D. (1986). „Logica intuiționalistă”, în D. Gabbay și F. Guenther (eds.), Handbook of Philosophical Logic (Volumul 3), Bordrecht: Reidel, p. 225–340.
• van Ditmarsch, H., W. van der Hoek și B. Kooi (ed.), (2007). Logica epistemică dinamică (Synthese Library, volumul 337), Berlin: Springer..
• von Wright, G. (1951). Un eseu în Logica Modală, Amsterdam: Olanda de Nord.
• Wang, R.-J. (2009). „Cunoștințe, timp și omnisciență logică”, în H. Ono, M. Kanazawa și R. de Queiroz (eds.), Logică, limbă, informație și calcul, al 16-lea atelier internațional, WoLLIC 2009, Tokyo, Japonia, 21 iunie -24, 2009, Proceedings (Lecture Notes in Artificial Intelligence: Volume 5514), Berlin: Springer, p. 394–407.
• Yavorskaya (Sidon), T. (2001). „Logica dovezilor și probabilității”, Analele logicii pure și aplicate, 113 (1–3): 345–372.
• ---. (2008). „Interacting Explicit Evidence Systems”, Teoria sistemelor de calcul, 43 (2): 272–293.
• Yavorsky, R. (2001). „Logicile de disponibilitate cu cantificatori pe dovezi”, Analele logicii pure și aplicate, 113 (1–3): 373–387.

Instrumente academice

	Cum se citează această intrare.
	Previzualizați versiunea PDF a acestei intrări la Societatea Prietenii SEP.
	Căutați acest subiect de intrare la Proiectul Ontologia Filozofiei Indiana (InPhO).
	Bibliografie îmbunătățită pentru această intrare la PhilPapers, cu link-uri către baza de date a acesteia.

Alte resurse de internet