Paradoxul Lui Russell

Cuprins:

Paradoxul Lui Russell
Paradoxul Lui Russell

Video: Paradoxul Lui Russell

Video: Paradoxul Lui Russell
Video: Mathematics - Russell's Paradox 2024, Martie
Anonim

Navigare la intrare

  • Cuprins de intrare
  • Bibliografie
  • Instrumente academice
  • Prieteni PDF Previzualizare
  • Informații despre autor și citare
  • Inapoi sus

Paradoxul lui Russell

Publicat pentru prima dată vineri 8 decembrie 1995; revizuire de fond duminică 9 octombrie 2016

Paradoxul lui Russell este cel mai cunoscut dintre paradoxurile logice sau set-teoretice. Cunoscut și sub numele de paradoxul Russell-Zermelo, paradoxul apare în cadrul teoriei naționale a seturilor, luând în considerare setul tuturor seturilor care nu sunt membre ale lor. Un astfel de set pare a fi un membru în sine dacă și numai dacă nu este un membru al său. De aici paradoxul.

Unele seturi, cum ar fi setul tuturor instrucțiunilor, nu sunt membri ai lor. Alte seturi, cum ar fi setul tuturor celor care nu sunt instrucțiuni, sunt membri ai lor. Apelați setul tuturor seturilor care nu sunt membre ale lor „R”. Dacă R este un membru al său, atunci prin definiție, acesta nu trebuie să fie un membru al său. În mod similar, dacă R nu este un membru în sine, atunci prin definiție, acesta trebuie să fie un membru în sine.

Deși a fost remarcată și de Ernst Zermelo, contradicția nu a fost considerată importantă până când a fost descoperită independent de către Bertrand Russell în primăvara anului 1901. De atunci, paradoxul a determinat o mare lucrare în logică, teoria seturilor și filozofia și fundamentele matematicii.

  • 1. Paradoxul
  • 2. Istoria paradoxului
  • 3. Răspunsuri timpurii la paradox
  • 4. Paradoxul lui Russell în logica contemporană
  • Bibliografie
  • Instrumente academice
  • Alte resurse de internet
  • Intrări conexe

1. Paradoxul

Centrul oricărei teorii a mulțimilor este o afirmație a condițiilor în care se formează mulțimi. Pe lângă simpla listare a membrilor unui set, s-a presupus inițial că orice condiție bine definită (sau o proprietate specificată precis) poate fi utilizată pentru a determina un set. De exemplu, dacă T este proprietatea de a fi o instrucțiune, atunci setul, S, al tuturor copiilor poate fi definit ca S = {x: T (x)}, setul tuturor indivizilor, x, astfel încât x are proprietatea de a fi T. Chiar și o proprietate contradictorie poate fi folosită pentru a determina un set. De exemplu, proprietatea de a fi atât T cât și not- T ar determina setul gol, setul neavând membri.

Mai precis, teoria națională a seturilor presupune așa-numitul Axiom naiv sau de neînțeles, care este axiomul care, pentru orice formulă φ (x) care conține x ca variabilă liberă, va exista setul {x: φ (x)} ai cărui membri sunt exact acele obiecte care satisfac φ (x). Astfel, dacă formula φ (x) înseamnă „x este prim”, atunci {x: φ (x)} va fi setul de numere prime. Dacă φ (x) înseamnă „~ (x = x)”, atunci {x: φ (x)} va fi setul gol.

Dar de la asumarea acestui axiom, urmează contradicția lui Russell. De exemplu, dacă lăsăm φ (x) să stea pentru x ∈ x și să lăsăm R = {x: ~ φ (x)}, atunci R este mulțimea ai cărui membri sunt exact acele obiecte care nu sunt membre ale lor.

Este R membru în sine? Dacă este, atunci trebuie să satisfacă condiția de a nu fi membru al ei înșiși și așa nu este. Dacă nu este așa, atunci nu trebuie să îndeplinească condiția de a nu fi membru în sine, și deci trebuie să fie un membru de sine. Întrucât, prin logica clasică, un caz sau altul trebuie să țină - fie R este un membru în sine sau nu este - rezultă că teoria implică o contradicție.

După cum ne spune Russell, după ce a aplicat același tip de raționament găsit în argumentul diagonal al lui Cantor unei „presupuse clase a tuturor obiectelor imaginabile”, el a fost condus la contradicție:

Clasa cuprinzătoare pe care o avem în vedere, care trebuie să îmbrățișeze totul, trebuie să se îmbrățișeze ca unul dintre membrii săi. Cu alte cuvinte, dacă există „orice”, atunci „totul” este ceva și este membru al clasei „totul”. Dar, în mod normal, o clasă nu este membră de sine. Omenirea, de exemplu, nu este un om. Formați acum adunarea tuturor claselor care nu sunt membre ale lor. Aceasta este o clasă: este sau nu un membru în sine? Dacă este, este una dintre acele clase care nu sunt membre ale lor, adică nu este un membru în sine. Dacă nu, nu este una dintre acele clase care nu sunt membre ale lor, adică este un membru în sine. Astfel, din cele două ipoteze - că este și că nu este, un membru de sine - fiecare implică contradicția sa. Aceasta este o contradicție. (1919, 136)

Răspunsurile standard la paradoxul încearcă să limiteze într-un fel condițiile în care se formează seturile. Obiectivul este de obicei atât eliminarea R (și seturi contradictorii similare), cât și, în același timp, păstrarea tuturor celorlalte seturi necesare matematicii. Acest lucru se realizează adesea prin înlocuirea Axiomului de Comprehension fără restricții cu Axiomul de Separare mai restrictiv, și anume axiomul care a dat orice set (consistent) S și orice formulă φ (x) cu x liber, va exista un set {x ∈ S: φ (x)} ai căror membri sunt exact acei membri ai S care satisfac φ (x). Dacă acum lăsăm φ (x) să stea pentru formula x ∉ x, se dovedește că setul corespunzător, {x ∈ S: x ∉ x} nu va fi contradictoriu, deoarece constă numai din acei membri găsiți în S care nu sunt membri ai lor înșiși. Prin urmare, setul nu se include.

O varietate de paradoxuri înrudite este discutată în capitolul al doilea din Introducere în Whitehead și Russell (1910, ediția a II-a 60-65), precum și în mențiunea despre paradoxuri și logică contemporană din această enciclopedie.

2. Istoria paradoxului

Se pare că Russell și-a descoperit paradoxul la sfârșitul primăverii anului 1901, în timp ce lucra la Principiile sale de matematică (1903). Exact când a avut loc descoperirea nu este clar. Russell afirmă inițial că a dat peste paradoxul „în iunie 1901” (1944, 13). Ulterior, el relatează că descoperirea a avut loc „în primăvara anului 1901” (1959, 75). Mai târziu, el relatează că a dat peste paradox, nu în iunie, ci în mai din acel an (1969, 221). Cesare Burali-Forti, un asistent al lui Giuseppe Peano, a descoperit o antinomie similară în 1897, când a observat că, din moment ce setul de ordinale este bine ordonat, trebuie să aibă și un ordinal. Cu toate acestea, acest ordinal trebuie să fie atât un element al mulțimii tuturor ordinelor, dar totuși mai mare decât fiecare astfel de element.

Spre deosebire de paradoxul lui Burali-Forti, paradoxul lui Russell nu implică nici ordinale, nici cardinale, bazându-se în schimb doar pe noțiunile primitive de incluziune set și set. Zermelo a observat o contradicție similară cândva între 1897 și 1902, probabil anticipând Russell de câțiva ani (Ebbinghaus and Peckhaus 2007, 43–48; Tappenden 2013, 336), deși Kanamori concluzionează că descoperirea ar fi putut fi ușor până în 1902 (Kanamori 2009, 411). În orice caz, s-a crezut că paradoxul este de o importanță minoră până când s-a realizat cât de nocivă a fost bazele Gottlob Frege pentru matematică.

Russell i-a scris lui Frege o veste despre paradoxul său din 16 iunie 1902. (Pentru corespondența relevantă, a se vedea Russell (1902) și Frege (1902) din van Heijenoort (1967).) Paradoxul a avut o importanță pentru lucrarea logică a lui Frege de când, de fapt, a arătat că axiomele pe care Frege le folosea pentru a-și formaliza logica erau inconsistente. Mai exact, Axiomul lui Frege V necesită ca o expresie precum φ (x) să fie considerată atât o funcție a argumentului x cât și o funcție a argumentului φ. (Mai precis, Legea lui Frege afirmă că cursul valorilor unui concept f este identic cu cursul valorilor unui concept g dacă și numai dacă f și g sunt de acord cu valoarea fiecărui argument, adică dacă și numai dacă pentru fiecare obiect x, f (x) = g (x). A se vedea secțiunea 2.4.1 a rubricii despre Gottlob Frege din această enciclopedie pentru mai multe discuții.) De fapt,această ambiguitate a permis lui Russell să construiască R în așa fel încât să poată fi atât și să nu fie membru în sine.

Scrisoarea lui Russell a sosit exact ca al doilea volum din Freund's Grundgesetze der Arithmetik (Legile de bază ale aritmeticii, 1893, 1903) a fost în presă. Aprecind imediat dificultatea pe care paradoxul a prezentat-o, Frege a adăugat la Grundgesetze o apendice compusă în grabă care discuta despre descoperirea lui Russell. În apendice, Frege observă că consecințele paradoxului lui Russell nu sunt imediat clare. De exemplu, „Este întotdeauna permis să vorbim despre extinderea unui concept, a unei clase? Și dacă nu, cum recunoaștem cazurile excepționale? Putem deduce întotdeauna din extinderea unui concept care coincide cu cel al unui al doilea, că fiecare obiect care se încadrează în primul concept se încadrează și sub cel de-al doilea? Acestea sunt întrebările, notează Frege, „ridicate de comunicarea domnului Russell” (1903, 127). Din cauza acestor griji,În cele din urmă, Frege s-a simțit nevoit să abandoneze multe dintre părerile sale despre logică și matematică.

Chiar și așa, după cum subliniază Russell, Frege a cunoscut știrile paradoxului cu o forță remarcabilă:

În timp ce mă gândesc la acte de integritate și har, îmi dau seama că nu există nimic din cunoștințele mele care să se compare cu dedicația lui Frege pentru adevăr. Întreaga sa viață a fost pe punctul de a se finaliza, o mare parte din opera sa a fost ignorată în beneficiul oamenilor infinit mai puțin capabili, al doilea volum al său urma să fie publicat și, după ce a constatat că presupunerea sa fundamentală era în eroare, a răspuns cu plăcerea intelectuală scufundând clar orice sentiment de dezamăgire personală. Era aproape suprauman și un indiciu grăitor al căruia bărbații sunt capabili dacă dedicația lor este munca creativă și cunoștințele în loc de eforturile mai crude de a domina și de a fi cunoscuți. (Citat în van Heijenoort (1967), 127)

Desigur, și Russell era preocupat de consecințele contradicției. După ce a aflat că Frege a fost de acord cu el despre semnificația rezultatului, el a început imediat să scrie o anexă pentru propriile sale Principii de matematică curând să fie lansate. Denumită „apendicele B: doctrina tipurilor”, apendicele reprezintă prima încercare a lui Russell de a furniza o metodă principială pentru a evita ceea ce în curând avea să devină cunoscut drept „paradoxul lui Russell”.

3. Răspunsuri timpurii la paradox

Semnificația paradoxului lui Russell poate fi văzută odată ce se realizează că, folosind logica clasică, toate propozițiile provin dintr-o contradicție. De exemplu, presupunând atât P cât și ~ P, orice propunere arbitrară, Q, poate fi dovedită după cum urmează: din P obținem P ∨ Q prin regula Adiției; apoi din P ∨ Q și ~ P obținem Q după regula silogismului disjunctiv. Deoarece teoria seturilor stă la baza tuturor ramurilor matematicii, mulți oameni au început să se îngrijoreze că inconsistența teoriei de seturi ar însemna că nicio dovadă matematică nu poate fi complet de încredere. Doar prin eliminarea paradoxului lui Russell, matematica în ansamblu și-ar putea recăpăta consecvența.

Paradoxul lui Russell provine în cele din urmă de la ideea că orice condiție sau proprietate poate fi folosită pentru a determina un set. De exemplu, proprietatea de a fi uniform divizibil numai de la sine și numărul unu distinge setul de numere prime de setul de numere întregi. Proprietatea de a avea glandele mamare distinge setul de mamifere de reptile, păsări și alte organisme vii. Proprietatea de a fi atât pătrat, cât și nu pătrat (sau orice altă conjuncție de proprietăți contradictorii) determină setul gol, etc.

Unul dintre primii sceptici cu privire la o axiomă de înțelegere (sau abstracție) fără restricții a fost inițiatorul teoriei moderne a seturilor, Georg Cantor. Chiar înainte de descoperirea lui Russell, Cantor a respins Comprehensiunea fără restricții în favoarea a ceea ce era, de fapt, o distincție între seturi și clase, recunoscând că unele proprietăți (cum ar fi proprietatea de a fi un ordinal) au produs colecții care erau pur și simplu prea mari pentru a fi stabilește și că orice presupunere contrară ar duce la inconsistență. (Detalii găsiți în Moore (1982), Hallett (1984) și Menzel (1984).)

Răspunsul propriu al lui Russell la paradox a venit cu teoria sa numită în mod corespunzător. Considerând că autoaplicarea se află în centrul paradoxului, ideea de bază a lui Russell a fost că putem evita angajamentul față de R (ansamblul tuturor seturilor care nu sunt membre ale lor) prin aranjarea tuturor propozițiilor (sau, mai exact, a tuturor funcțiilor propoziționale), funcții care dau propoziții ca valori ale acestora) într-o ierarhie. Este apoi posibil să ne referim la toate obiectele pentru care o anumită condiție (sau predicat) deține doar dacă toate sunt la același nivel sau de același „tip”.

Această soluție la paradoxul lui Russell este motivată în mare parte de adoptarea așa-numitului principiu al cercului vicios. În principiu, principiul prevede că nicio funcție propozițională nu poate fi definită înainte de a specifica domeniul de aplicare al funcției. Cu alte cuvinte, înainte de a putea fi definită o funcție, mai întâi trebuie specificat exact acele obiecte cărora li se va aplica funcția (domeniul funcției). De exemplu, înainte de a defini predicatul „este un număr prim”, trebuie mai întâi să definești colecția de obiecte care ar putea să satisfacă acest predicat, și anume setul de numere naturale, N.

După cum explică Whitehead și Russell,

O analiză a paradoxurilor care trebuie evitate arată că toate rezultă dintr-un fel de cerc vicios. Cercurile vicioase în cauză apar din presupunerea că o colecție de obiecte poate conține membri care nu pot fi definite decât prin colecția în ansamblu. Astfel, de exemplu, colecția de propoziții va conține o propunere care să spună că „toate propozițiile sunt fie adevărate, fie false”. Cu toate acestea, s-ar părea că o astfel de afirmație nu ar putea fi legitimă decât dacă „toate propunerile” se referă la o colecție deja definită, ceea ce nu se poate face dacă propuneri noi sunt create prin declarații despre „toate propunerile”. Prin urmare, va trebui să spunem că afirmațiile despre „toate propunerile” nu au sens. … Principiul care ne permite să evităm totalitățile nelegitime poate fi enunțat după cum urmează:„Orice colecție trebuie să fie una din colecție”; sau, invers: „Dacă, cu condiția ca o anumită colecție să aibă un total, aceasta ar avea membri numai definibili în ceea ce privește totalul, atunci colecția menționată nu are un total.” Vom numi acest „principiu al cercului vicios”, deoarece ne permite să evităm cercurile vicioase implicate în asumarea totalităților nelegitime. (1910, ediția a 2-a 37)

Dacă Whitehead și Russell au dreptate, rezultă că niciun domeniu de aplicare al funcției nu va putea niciodată să includă niciun obiect presupus de funcția însăși. Ca urmare, funcțiile propoziționale (împreună cu propozițiile lor corespunzătoare) vor ajunge să fie aranjate într-o ierarhie de genul propus de Russell.

Deși Russell a introdus pentru prima dată teoria tipurilor sale în Principiile sale de matematică din 1903, a recunoscut imediat că mai multă muncă trebuia făcută, deoarece contul său inițial părea să rezolve unele, dar nu toate paradoxurile. Printre alternativele pe care le considera a fost o așa-numită teorie de substituție (Galaugher 2013). La rândul său, aceasta a condus la expresia mai matură a teoriei tipului, cinci ani mai târziu, în articolul din 1908 al lui Russell, „Logica matematică bazată pe teoria tipurilor”, și în lucrarea monumentală, co-autor cu Alfred North Whitehead, Principia Mathematica (1910, 1912, 1913). Teoria tipului lui Russell apare astfel în două versiuni: „teoria simplă” din 1903 și „teoria ramificată” din 1908. Ambele versiuni au fost criticate pentru că sunt prea ad hoc pentru a elimina cu succes paradoxul.

Ca răspuns la paradoxul lui Russell, David Hilbert și-a extins programul de construire a unei baze consistente, axiomatice pentru matematică, astfel încât să includă o bază axiomatică pentru logică și teoria seturilor (Peckhaus 2004). La baza acestei abordări formaliste s-a aflat ideea de a permite utilizarea doar a obiectelor finite, bine definite și construibile, împreună cu reguli de inferență considerate a fi absolut sigure.

În cele din urmă, Luitzen Brouwer a dezvoltat intuiționismul, a cărui idee de bază era că nu se poate afirma existența unui obiect matematic decât dacă se poate defini o procedură pentru construirea lui.

Împreună, toate aceste răspunsuri au ajutat la concentrarea atenției asupra conexiunilor dintre logică, limbă și matematică. Aceștia au ajutat și logicienii să dezvolte o conștientizare explicită a naturii sistemelor formale și a tipurilor de rezultate metalogice și metamatematice care s-au dovedit a fi fundamentale în cercetarea bazelor logicii și matematicii în ultimii o sută de ani.

4. Paradoxul lui Russell în logica contemporană

Paradoxul lui Russell este uneori văzut ca o dezvoltare negativă - ca o reducere a lui Frege's Grundgesetze și ca unul dintre păcatele conceptuale originale care duc la expulzarea noastră din paradisul lui Cantor. WV Quine descrie paradoxul ca pe o „antinomie” care „împachetează o surpriză care nu poate fi adăpostită decât cu o repudiere a moștenirii noastre conceptuale” (1966, 11). Quine se referă la principiul Naïve Comprehension menționat anterior. În simboluri, principiul afirmă că

(NC) ∃ A ∀ x (x ∈ A ≡ φ),

în cazul în care A nu este liber în formula φ. Acesta spune: „Există un set A astfel încât pentru orice obiect x, x este un element de A dacă și numai dacă condiția exprimată de φ ține.” Paradoxul lui Russell apare luând φ a fi formula: x ∉ x.

În ciuda comentariilor lui Quine, este posibil să vedem paradoxul lui Russell într-o lumină mai pozitivă. În primul rând, deși problema rămâne controversată, cercetările ulterioare au scos la iveală faptul că paradoxul nu necesită scurtcircuitat derivarea lui Frege a aritmeticii numai din logică. Versiunea lui Frege a NC (Axiom-ul său V) poate fi pur și simplu abandonată. (Pentru detalii, vezi intrarea din Teorema lui Frege.) Pentru o altă, Biserica oferă o formulare elegantă a teoriei simple a tipurilor care s-a dovedit fructifică chiar și în zone îndepărtate de la fundamentele matematicii. (Pentru detalii, a se vedea intrarea în Teoria tipurilor.) În cele din urmă,dezvoltarea teoriilor axiomatice (spre deosebire de naivitate), care prezintă diverse modalități ingenioase și semnificative din punct de vedere matematic și filosofic de a face față paradoxului lui Russell a deschis calea pentru rezultate uimitoare în metamatematica teoriei de seturi. Aceste rezultate au inclus teoremele lui Gödel și Cohen privind independența axiomului de alegere și ipoteza continuă a lui Cantor. Așadar, să vedem, aproximativ, cum unele dintre aceste metode - în special, așa-numitele metode „netratate” - tratează paradoxul lui Russell.

Zermelo înlocuiește NC cu următoarea schemă de axiom din Separare (sau Aussonderungsaxiom):

(ZA) ∀ A ∃ B ∀ x (x ∈ B ≡ (x ∈ A ∧ φ)).

Din nou, pentru a evita circularitatea, B nu poate fi liber în φ. Aceasta necesită ca pentru a intra în B, x trebuie să fie membru al unui set A existent. După cum ne-am putea imagina, acest lucru necesită o mulțime de axiome de existență suplimentare, ceea ce nu ar fi necesar dacă NC ar fi menținut.

Cum evită ZA paradoxul lui Russell? La început s-ar putea crede că nu. La urma urmei, dacă lăsăm A să fie V - întregul univers al mulțimilor - și φ să fie x ∉ x, apare din nou o contradicție. Dar, în acest caz, toată contradicția arată că V nu este un set. Toate contradicțiile arată că „V” este un nume gol (adică, că nu are nicio referință, că V nu există), deoarece ontologia sistemului lui Zermelo constă doar din seturi.

Același punct poate fi făcut într-un alt mod, implicând o formă relativizată a argumentului lui Russell. Fie B orice set. Prin ZA, setul R B = {x ∈ B: x ∉ x} există, dar nu poate fi un element al lui B. Căci dacă este un element al lui B, atunci putem să ne întrebăm dacă este sau nu un element din R B; și este dacă și numai dacă nu este. Astfel, ceva, și anume R B, „lipsește” din fiecare set B. Din nou, V nu este un set, deoarece nimic nu poate lipsi de la V. Dar observați următoarea subtilitate: spre deosebire de argumentul anterior care implică aplicarea directă a lui Aussonderungs la V, argumentul prezent sugerează ideea că, în timp ce V nu este un setat, „V” nu este un nume gol. Următoarea strategie de abordare a paradoxului lui Russell valorifică acest indiciu.

Metoda netratată de John von Neumann (1925) pentru tratarea paradoxurilor și, în special, cu paradoxul lui Russell, este simplă și ingenioasă. Von Neumann introduce o distincție între apartenență și non-membru și, pe această bază, face o distincție între seturi și clase. Un obiect este membru (simplificator) dacă este membru al unei clase; și este non-membru dacă nu este membru al vreunei clase. (De fapt, von Neumann dezvoltă o teorie a funcțiilor, luată ca primitive, mai degrabă decât clase, în care corespunzând distincției membru / non-membru, există o distincție între un obiect care poate fi un argument al unei funcții și unul care nu poate. forma sa modernă, datorită lui Bernays și Gödel, este o teorie a claselor unic sortată.)

Seturile sunt apoi definite ca membri, iar non-membrii sunt etichetați „clase corespunzătoare”. Deci, de exemplu, clasa Russell, R, nu poate fi membru al niciunei clase și, prin urmare, trebuie să fie o clasă adecvată. Dacă se presupune că R este un element al clasei A, atunci dintr-una din axiomele lui von Neumann rezultă că R nu este echivalent cu V. Dar R este echivalent cu V și, prin urmare, nu este un element din A. Astfel, metoda lui von Neumann este strâns legată de rezultatul declarat mai sus despre setul R B, pentru B arbitrar. Metoda lui Von Neumann, în timp ce este admirată de aprecierile lui Gödel și Bernays, a fost subestimată în ultimii ani.

În mod similar, Quine (1937) și (1967) oferă o altă metodă netratată (cu litere, dacă nu în spirit) de blocare a paradoxului lui Russell și una care este plină de anomalii interesante. Ideea de bază a lui Quine este introducerea unui axiom de înțelegere stratificat. De fapt, axioma blochează circularitatea prin introducerea unei ierarhii (sau stratificări) care este similară cu teoria tipurilor în unele moduri și diferită în altele. (Detalii pot fi găsite la intrarea din Noile Fundații ale lui Quine.)

Spre deosebire de strategiile lui Zermelo, ale lui von Neumann și ale lui Quine, care sunt într-un sens pur teoretice, au existat și încercări de a evita paradoxul lui Russell prin modificarea logicii de bază. Au fost multe astfel de încercări și nu le vom revizui pe toate, dar una se remarcă ca fiind, în acest moment, atât radicală cât și oarecum populară (deși nu cu teoreticienii stabiliți în sine): aceasta este abordarea paraconsistentă, care limitează ansamblul efectul unei contradicții izolate asupra unei întregi teorii. Logica clasică prevede că orice contradicție trivializează o teorie făcând probabilă fiecare propoziție a teoriei. Acest lucru se datorează faptului că, în logica clasică, urmează o teoremă:

(Ex Falso Quadlibet) A ⊃ (~ A ⊃ B).

Acum, practic singura modalitate de a evita EFQ este să renunți la silogism disjunctiv, adică având în vedere definițiile obișnuite ale conectivilor, modus ponens! Așadar, modificarea logicii sentențiale de bază în acest mod este într-adevăr radicală - dar posibilă. Din păcate, chiar renunțarea la EFQ nu este suficientă pentru a păstra aspectul NC. De asemenea, trebuie să renunțăm la următoarea teoremă a logicii sentențiale de bază:

(Contracție) (A ⊃ (A ⊃ B)) ⊃ (A ⊃ B).

Se poate susține apoi că NC conduce direct, nu doar la o contradicție izolată, ci la o banalitate. (Pentru argumentul că acesta este așa, a se vedea intrarea în paradoxul lui Curry, secțiunea 2.2. Rețineți că nu este suficient doar să păstrați numele „modus ponens”, ci regula în sine care se modifică în cadrul logicii netradiționale.) Astfel, se pare că problemele NC nu se limitează la paradoxul lui Russell, ci includ și un paradox lipsit de negații datorat Curry.

O altă sugestie ar putea fi concluzia că paradoxul depinde de o instanță a principiului Exclusiv de mijloc, că fie R este membru al lui R, fie nu este. Acesta este un principiu care este respins de unele abordări neclasice ale logicii, inclusiv intuiționismul. Cu toate acestea, este posibil să formulăm paradoxul fără a apela la Exclus Middle, bazându-ne în schimb pe Legea Non-contradicției. Procedăm astfel: Având în vedere definiția lui R, rezultă că R ∈ R ≡ ~ (R ∈ R). Deci R ∈ R ⊃ ~ (R ∈ R). Dar știm și că R ∈ R ⊃ R ∈ R. Deci R ∈ R ⊃ (R ∈ R ∧ ~ (R ∈ R)). Dar prin Legea non-contradicției știm că ~ (R ∈ R ∧ ~ (R ∈ R)). Deci prin modus tollens concluzionăm că ~ (R ∈ R). În același timp, știm și că, de când R ∈ R ≡ ~ (R ∈ R), rezultă că ~ (R ∈ R) ⊃ R ∈ R, și astfel că R ∈ R. Deci putem deduce atât R ∈ R, cât și negația sa folosind doar metode acceptabile intuițional.

Prin urmare, se pare că susținătorii logicii neclasice nu pot pretinde că au păstrat NC în vreun sens semnificativ, în afară de păstrarea formei pur sintactice a principiului și nici intuiționismul, nici paraconsistența, plus abandonarea contracției nu vor oferi un avantaj asupra soluții netratate ale lui Zermelo, von Neumann sau Quine. (Discuții suplimentare se găsesc în Meyer, Routley și Dunn (1979), Irvine (1992), Priest (2006, cap. 18), Weber (2010), Weber (2012) și în rubricile din paradoxul lui Curry (sec. 2.2) și logică paraconsistentă (sec. 2.3).)

De remarcat, de asemenea, că paradoxul lui Russell nu a fost singurul paradox care l-a tulburat pe Russell și, prin urmare, nu a fost singura motivație pentru restricțiile de tip pe care le găsește în Principia Mathematica. În lucrarea sa anterioară, Principiile matematicii, Russell dedică un capitol „Contradicției” (paradoxul lui Russell), prezentându-l în mai multe forme și respingând mai multe răspunsuri non-starter. Apoi semnalează că va discuta „în scurt timp” despre doctrina tipurilor. Acest lucru nu se întâmplă de câteva sute de pagini, până când ajungem la sfârșitul cărții, în Anexa B! Aici Russell prezintă o teorie incipientă, simplă a tipurilor, nu teoria tipurilor pe care le găsim în Principia Mathematica. De ce a fost nevoie de teoria ulterioară? Motivul este că, în apendicele B, Russell prezintă și un alt paradox pe care el consideră că nu poate fi rezolvat prin simpla teorie a tipurilor. Acest nou paradox se referă la propoziții, nu la clase și, împreună cu paradoxurile semantice, l-a determinat pe Russell să își formuleze versiunea ramificată a teoriei tipurilor.

Noua versiune propozițională a paradoxului nu a avut un rol important în dezvoltarea ulterioară a logicii și a teoriei de seturi, dar l-a nedumerit cu mult pe Russell. În primul rând, pare să contrazică teorema lui Cantor. Russell scrie: „Nu putem admite că există mai multe intervale [clase de propoziții] decât propoziții” (1903, 527). Motivul este că se pare că există corelații ușoare, de la unu la unu, între clase de propoziții și propoziții. De exemplu, clasa m de propoziții poate fi corelată cu propoziția că fiecare propoziție din m este adevărată. Acest lucru, împreună cu un principiu fin de individualizare pentru propoziții (afirmând, pentru un lucru, că dacă clasele m și n de propoziții diferă, atunci orice propoziție despre m va diferi de orice propoziție despre n) duce la contradicție.

S-a discutat relativ puțin despre acest paradox, deși acesta a jucat un rol cheie în dezvoltarea logicii de sens și a denotării Bisericii. Deși avem mai multe teorii stabilite din care să alegem, nu avem ceva asemănător unei teorii bine dezvoltate a propozițiilor rusești, deși astfel de propoziții sunt centrale pentru părerile miliștilor și ale teoreticienilor cu referință directă. S-ar crede că o astfel de teorie ar fi necesară pentru fundamentele semanticii, dacă nu pentru bazele matematicii. Astfel, în timp ce unul dintre paradoxurile lui Russell a dus la dezvoltarea fructuoasă a fundamentelor matematicii, „celălalt” său paradox nu a dus încă la ceva similar de la distanță în fundamentele semanticii. A fi sigur,Church (1974a) și Anderson (1989) au încercat să dezvolte o logică intensională ruseliană bazată pe teoria tipurilor ramificate, dar se poate argumenta că teoria ramificată este prea restrictivă pentru a servi drept temei pentru semantica limbajului natural. Au existat, de asemenea, câteva încercări recente de a obține începuturile unei logici intensive a Ruseliei, bazate pe teorii de seturi netratate (Cantini 2004; Deutsch 2014). Este destul de ironic faptul că, deși propozițiile rusești cu granulație fină sunt favorizate în filosofia limbajului, dezvoltarea formală a logicii intensive este dominată de gramatica Montague, cu teoria sa propozițiilor, cu curs. Au existat, de asemenea, câteva încercări recente de a obține începuturile unei logici intensive a Ruseliei, bazate pe teorii de seturi netratate (Cantini 2004; Deutsch 2014). Este destul de ironic faptul că, deși propozițiile rusești cu granulație fină sunt favorizate în filosofia limbajului, dezvoltarea formală a logicii intensive este dominată de gramatica Montague, cu teoria sa propozițiilor, cu curs. Au existat, de asemenea, câteva încercări recente de a obține începuturile unei logici intensive a Ruseliei, bazate pe teorii de seturi netratate (Cantini 2004; Deutsch 2014). Este destul de ironic faptul că, deși propozițiile rusești cu granulație fină sunt favorizate în filosofia limbajului, dezvoltarea formală a logicii intensive este dominată de gramatica Montague, cu teoria sa propozițiilor, cu curs.

De asemenea, este de remarcat faptul că o serie de principii teoretice aparent pur definite sunt de fapt (aplicate) cazuri de teoreme ale logicii pure (adică a teoriei cuantificării de prim ordin cu identitate)! Există o listă (parțială) a acestora în Kalish, Montague și Mar (2000). Paradoxul lui Russell este o instanță a T269 din această listă:

(T269) ~ ∃ y ∀ x (Fxy ≡ ~ Fxx).

Citind litera predicatului „F” ca „este un membru al lui”, aceasta spune că nu este cazul că există o astfel de valoare pentru orice x, x este membru al lui y dacă și numai dacă x nu este membru al X. Asta înseamnă că paradoxul lui Russell se reduce la T269?

Cu siguranță, dovada T269 distilează esența argumentului lui Russell, modelul său de raționament. Dar acel tipar subscrie, de asemenea, o listă nesfârșită de „paradoxuri” aparent frivole, cum ar fi celebrul paradox al frizerului care se bărbieră pe toți și numai pe cei care nu se bărbieresc sau, în mod similar, paradoxul Dumnezeului binevoitor, dar eficient, care ajută pe toate și numai cei care nu se ajută pe ei înșiși.

Cum se diferențiază aceste „pseudo-paradoxuri”, cum sunt numite uneori, chiar dacă sunt deloc paradoxul lui Russell? Modelul raționamentului este același, iar concluzia - că nu există un astfel de Barber, nici un Dumnezeu atât de eficient, nici un astfel de ansamblu care nu este auto-membru - este același: astfel de lucruri pur și simplu nu există. (Cu toate acestea, așa cum a arătat von Neumann, nu este necesar să mergem destul de departe. Metoda lui Von Neumann nu ne indică faptul că lucrurile precum R nu există, ci doar că nu putem spune multe despre ele, în măsura în care R și altele asemenea nu pot se încadrează în extensia oricărui predicat care se califică ca clasă.)

Răspunsul standard la această întrebare este că diferența constă în subiect. Quine se întreabă: „de ce contează [paradoxul lui Russell] ca antinomie și paradoxul frizer nu?”; și el răspunde: „Motivul este că în obiceiurile noastre de gândire a existat o prezumție copleșitoare de a exista o astfel de clasă, dar nici o prezumție a existenței unui asemenea frizer” (1966, 14). Chiar și așa, discuțiile psihologice despre „obiceiurile gândirii” nu sunt deosebit de iluminante. Mai mult decât atât, paradoxul lui Russell naște sensibil întrebării ce seturi există; dar este un nonsens să ne întrebăm, din motive precum T269, ce frizerii sau zei există!

Totuși, acest verdict nu este chiar corect pentru fanii Barber sau T269 în general. Aceștia vor insista că întrebarea ridicată de T269 nu este ce barbă sau zeii există, ci mai degrabă ce obiecte ne-paradoxale există. Această întrebare este practic aceeași cu cea ridicată de însuși paradoxul lui Russell. Astfel, din această perspectivă, relația dintre paradoxul lui Barber și Russell este mult mai strânsă decât mulți (după Quine) au fost dispuși să permită (Salmon 2013).

Reținem că există o formulă logică de ordinul întâi care poartă aceeași relație cu principiul despre R B ', care T269 poartă paradoxul lui Russell. Este următorul:

(T273) ∀ z ∀ y (∀ x [Fxy ≡ (Fxz ∧ ~ Fxx)] ⊃ ~ Fyz).

(Am luat libertatea de a extinde numerotarea folosită în Kalish, Montague și Mar (2000) la T273.) Dar nu toate paradoxurile teoretice ale seturilor sunt în mod similar legate de teoremele logice de prim ordin. Paradoxul Burali-Forti este un exemplu, deoarece noțiunea de bine ordonată nu este elementară; adică nu este definibil de primă ordine.

Paradoxul lui Russell nu a fost niciodată pasat, dar recent a apărut o explozie de interes de către savanții implicați în cercetarea logicii matematice și în studiile filozofice și istorice ale logicii moderne. O privire asupra conținutului volumului din 2004, O sută de ani din paradoxul lui Russell arată logodiști și istorici matematici și filosofici de seamă, care se revarsă asupra paradoxului, propunând noi căi înapoi în paradisul lui Cantor sau alte modalități de rezolvare a problemei. Investigațiile lor includ modalități radical noi de ieșire din dilema prezentată de paradox, noi studii ale teoriilor tipurilor (simple și ramificate și extensii ale acestora), noi interpretări ale paradoxului și teoriilor constructive ale lui Russell, ale paradoxului de propoziții al lui Russell și al propriilor sale încercare la o teorie neatinsă (teoria substituției) și așa mai departe.

Toate acestea ne amintesc că munca fructuoasă poate apărea din cele mai puțin probabile observații. După cum a spus Dana Scott, „Trebuie să se înțeleagă de la început că paradoxul lui Russell nu trebuie privit ca un dezastru. Acesta și paradoxurile aferente arată că noțiunea naivă a colecțiilor all-inclusive este de nejustificat. Acesta este un rezultat interesant, fără îndoială în acest sens”(1974, 207).

Bibliografie

  • Anderson, C. Anthony, 1989. „Logica intențională russelliană”, în Joseph Almog, John Perry și Howard Wettstein (eds), Teme din Kaplan, Oxford: Oxford University Press, 67-103.
  • Barwise, Jon, 1975. Seturi și structuri admise, Berlin: Springer-Verlag.
  • ––– și John Etchemendy, 1987. Mincinosul: un eseu despre adevăr și circularitate, Oxford: Oxford University Press.
  • ––– și Lawrence Moss, 1996. Vicious Circles, Stanford: CSLI Publications.
  • Bealer, George, 1982. Calitate și concept, New York: Oxford University Press.
  • Beaney, Michael, 2003. „Russell și Frege”, în Nicholas Griffin (ed.), The Cambridge Companion to Bertrand Russell, Cambridge: Cambridge University Press, 128–170.
  • Cantini, Andrea, 2004. „Cu privire la un paradox ruselian despre propuneri și adevăr”, în Godehard Link (ed.) (2004) One Hundred Years of Russell's Paradox, Berlin și New York: Walter de Gruyter, 259–284.
  • –––, 2009. „Paradoxuri, auto-referință și adevăr în secolul XX”, în Dov M. Gabbay și John Woods (eds) (2009) Manualul istoriei logicii: Volumul 5 - Logica De la Russell la Biserică, Amsterdam: Elsevier / Olanda de Nord, 875–1013.
  • Biserica, Alonzo, 1974a. „Teoria tipului rusesc simplu”, Procese și adrese ale Asociației Filozofice Americane, 47: 21–33.
  • –––, 1974b. „Teoria seturilor cu un set universal”, Proceedings of the Tarski Symposium, 297-308; Repr. în International Logic Review, 15: 11–23.
  • –––, 1978. „O comparație a Rezoluției lui Russell a antinomiilor semantice cu cea a lui Tarski”, Journal of Symbolic Logic, 41: 747–760; Repr. în AD Irvine, Bertrand Russell: Evaluări critice, voi. 2, New York și Londra: Routledge, 1999, 96–112.
  • Coffa, Alberto, 1979. „Originea umilă a paradoxului lui Russell”, Russell, 33–34: 31–7.
  • Copi, Irving, 1971. Teoria tipurilor logice, Londra: Routledge și Kegan Paul.
  • Demopoulos, William și Peter Clark, 2005. „Logicismul lui Frege, Dedekind și Russell”, în Stewart Shapiro (ed.), The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press, 129-165.
  • Deutsch, Harry, 2014. „Rezolvarea unor paradoxuri de propuneri”, Analiză, 74: 26-34.
  • Ebbinghaus, Heinz-Dieter și Volker Peckhaus, 2007. Ernst Zermelo: O abordare a vieții sale și a operei, Berlin: Springer-Verlag.
  • Forster, TE, 1995. Teoria seturilor cu un set universal, edn 2, Oxford: Clarendon Press.
  • Frege, Gottlob, 1902. „Scrisoare către Russell”, în Jean van Heijenoort (ed.), From Frege to Gödel, Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1967, 126–128.
  • –––, 1903. „Paradoxul Russell”, în Gottlob Frege, Legile fundamentale ale aritmeticii, Berkeley: University of California Press, 1964, 127–143; prescurtat și repr. în AD Irvine, Bertrand Russell: Evaluări critice, voi. 2, New York și Londra: Routledge, 1999, 1-3.
  • Gabbay, Dov M. și John Woods (eds.), 2009. Manualul istoriei logicii: Volumul 5 - Logica De la Russell la Biserică, Amsterdam: Elsevier / Olanda de Nord.
  • Galaugher, JB, 2013. „Insolubilia” nesoluționată a substituției”, Russell, 33: 5–30.
  • Garciadiego, A., 1992. Bertrand Russell and Origins of the Set-teoretic „Paradoxes”, Boston: Birkhäuser.
  • Grattan-Guinness, I., 1978. „Cum Bertrand Russell a descoperit paradoxul său”, Historia Mathematica, 5: 127–37.
  • –––, 2000. Căutarea rădăcinilor matematice: 1870–1940, Princeton și Oxford: Princeton University Press.
  • Griffin, Nicholas (ed.), 2003. The Cambridge Companion to Bertrand Russell, Cambridge: Cambridge University Press.
  • –––, 2004. „The Prehistory of Russell’s Paradox”, în Godehard Link (ed.), O sută de ani din paradoxul lui Russell, Berlin și New York: Walter de Gruyter, 349-371.
  • ––– Bernard Linsky și Kenneth Blackwell (eds.), 2011. Principia Mathematica la 100, Hamilton, ON: Centrul de cercetare Bertrand Russell; publicat de asemenea ca Special Issue, volumul 31, numărul 1 al lui Russell.
  • Hallett, Michael, 1984. Cantorian Set Theory and Limitation of Size, Oxford: Clarendon.
  • Halmos, Paul R., 1960. Teoria Naive Set, Princeton: D. van Nostrand.
  • Irvine, AD, 1992. „Lacune, glute și paradox”, Canadian Journal of Philosophy (Suplimentar volum), 18: 273-299.
  • ––– (ed.), 2009. Filosofia matematicii, Amsterdam: Elsevier / Olanda de Nord.
  • Kanamori, Akihiro, 2004. „Teoria lui Zermelo și a seturilor”, Buletinul logicii simbolice, 10: 487-553.
  • –––, 2009. „Set Theory from Cantor to Cohen”, în AD Irvine (ed.), Filozofia matematicii, Amsterdam: Elsevier / Olanda de Nord, 395–459.
  • Kalish, Donald, Richard Montague și Gary Mar, 2000. Logică: tehnici de raționament formal, ediția a II-a, New York: Oxford University Press.
  • Klement, Kevin, 2005. „Originea versiunii funcțiilor propoziționale a paradoxului lui Russell”, Russell, 24: 101–132.
  • –––, 2014, „Paradoxurile și teoria lui Russell a simbolurilor incomplete”, Studii filosofice, 169: 183–207.
  • Landini, Grigore, 2006. „Insulele și în afara drumului lui Frege”, Philosophia Mathematica, 14: 1–25.
  • –––, 2013. „Zermelo” și „Paradoxul lui Russell: Există un set universal?” Philosophia Mathematica, 21: 180–199.
  • Levy, A., 1979. Teoria de bază a seturilor, Berlin: Springer-Verlag; New York: Heidelberg.
  • Link, Godehard (ed.), 2004. O sută de ani din paradoxul lui Russell, Berlin și New York: Walter de Gruyter.
  • Linsky, Bernard, 1990. „Axioma reductibilității a fost un principiu al logicii?” Russell, 10: 125–140; Repr. in AD Irvine (ed.) (1999) Bertrand Russell: Critical Assessments, 4 vols, London: Routledge, vol. 2, 150–264.
  • –––, 2002. „Rezoluția paradoxului lui Russell în Principia Mathematica”, Perspective filozofice, 16: 395–417.
  • Mares, Edwin, 2007. „Semantica faptelor pentru teoria tipului ramificat și axioma reductibilității”, Revista Notre Dame of Logic Formal, 48: 237–251.
  • Menzel, Christopher, 1984. „Cantor și paradoxul Burali-Forti”, Monist, 67: 92–107.
  • Meyer, Robert K., Richard Routley și Michael Dunn, 1979. „Paradoxul lui Curry”, Analiză, 39: 124–128.
  • Moore, Gregory H., 1982. Zermelo's Axiom of Choice, New York: Springer.
  • –––, 1988. „Rădăcinile paradoxului lui Russell”, Russell, 8: 46-56.
  • Murawski, Roman, 2011. „Pe Filosofia matematicii lui Chwistek”, în Nicholas Griffin, Bernard Linsky și Kenneth Blackwell (eds) (2011) Principia Mathematica la 100, în Russell (Ediție specială), 31 (1): 121-130.
  • Peckhaus, Volker, 2004. „Paradoxurile din Göttingen”, în Godehard Link (ed.), O sută de ani din paradoxul lui Russell, Berlin și New York: Walter de Gruyter, 501–515.
  • Priest, Graham, 2006. In Contradiction, 2nd edn, New York: Oxford University Press.
  • Quine, WVO, 1937. „New Foundations for Mathematical Logic”, American Mathematical Monthly, 44: 70–80; Repr. în WVO Quine, Din punct de vedere logic, Londra: Harper & Row, 1953.
  • –––, 1966. The Ways of Paradox and Other Essays, New York: Random House.
  • –––, 1967. Set Theory and its Logic, Harvard: Belknap Press.
  • Russell, Bertrand, 1902. „Scrisoarea către Frege”, în Jean van Heijenoort (ed.), From Frege to Gödel, Cambridge, Mass: Harvard University Press, 1967, 124–125.
  • –––, 1903. „Apendicele B: Doctrina tipurilor”, în Bertrand Russell, Principiile matematicii, Cambridge: Cambridge University Press, 1903, 523–528.
  • –––, 1908. „Logica matematică bazată pe teoria tipurilor”, American Journal of Mathematics, 30: 222–262; Repr. în Bertrand Russell, Logic and Knowledge, London: Allen și Unwin, 1956, 59–102; și repr. în Jean van Heijenoort (ed.), De la Frege la Gödel, Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1967, 152-182.
  • –––, 1919. Introducere în filosofia matematică, Londra: George Allen și Unwin Ltd și New York: The Macmillan Co.
  • –––, 1944. „Dezvoltarea mea mentală”, în Paul Arthur Schilpp (ed.), Filosofia lui Bertrand Russell, ediția a III-a, New York: Tudor, 1951, 3-20.
  • –––, 1959. Dezvoltarea mea filosofică, Londra: George Allen și Unwin și New York: Simon & Schuster.
  • –––, 1967, 1968, 1969. Autobiografia lui Bertrand Russell, 3 vols, Londra: George Allen și Unwin; Boston: Little Brown and Company (volumele 1 și 2), New York: Simon și Schuster (vol. 3).
  • Salmon, N., 2013. „O notă asupra paradoxului lui Kripke despre timp și gândire”, Journal of Philosophy, 110: 213-220.
  • Scott, Dana, 1974. „Axiomatizing Set Theory”, în TJ Jech (ed.), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (Volumul 13, partea 2), American Mathematical Society, 207-214.
  • Shapiro, Stewart (ed.), 2005. Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press.
  • Simmons, Keith, 2000. „Seturi, clase și extensii: o abordare a singularității paradoxului lui Russell”, Studii filosofice, 100: 109–149.
  • –––, 2005. „Un Berry și un Russell fără auto-referință”, Studii filosofice, 126: 253–261.
  • Sorensen, Roy A., 2002. „Implicații filozofice ale paradoxurilor logice”, în Dale Jacquette (ed.), A Companion to Philosophical Logic, New York: Oxford University Press, 131–142.
  • –––, 2003. „Setul lui Russell”, în Breief History of the Paradox, New York: Oxford University Press, 316–332.
  • Stevens, Graham, 2004. „Din paradoxul lui Russell la teoria judecății: Wittgenstein și Russell despre unitatea propunerii”, Theoria, 70: 28–61.
  • –––, 2005. Originea ruseliană a filozofiei analitice, Londra și New York: Routlege.
  • Tappenden, Jamie, 2013. „The Mathematical and Logical Background to Analitic Philosophy”, în Michael Beaney (ed.) The Oxford Handbook of the History of Analytic Philosophy, Oxford: Oxford University Press, 318–354.
  • Urquhart, Alasdair, 1988. „Calea lui Zig-Zag a lui Russell către teoria tipurilor ramificate”, Russell, 8: 82-91.
  • –––, 2003. „Theory of Types”, în Nicholas Griffin (ed.), The Cambridge Companion to Bertrand Russell, Cambridge: Cambridge University Press, 286-309.
  • van Heijenoort, Jean (ed.), 1967. De la Frege la Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Cambridge and London: Harvard University Press.
  • von Neumann, John, 1925. „O Axiomatizare a Teoriei Seturilor”, în Jean van Heijenoort (ed.), De la Frege la Gödel, Cambridge și Londra: Harvard University Press, 1967, 393–413.
  • Wahl, Russell, 2011. „Axioma Reductibilității”, în Nicholas Griffin, Bernard Linsky și Kenneth Blackwell (eds) (2011) Principia Mathematica la 100, în Russell (Special Issue), 31 (1): 45–62.
  • Weber, Z., 2010. „Numere Transfinite în Teoria Seturilor Paraconsistente”, Revizuirea logicii simbolice, 3: 71–92.
  • –––, 2012. „Cardinalele transfinite în teoria paraconsistentă a seturilor”, Revizuirea logicii simbolice, 5: 269–293.
  • Whitehead, Alfred North și Bertrand Russell, 1910, 1912, 1913. Principia Mathematica, 3 vols, Cambridge: Cambridge University Press; edn a doua, 1925 (Vol. 1), 1927 (Vols 2, 3); prescurtat ca Principia Mathematica la * 56, Cambridge: Cambridge University Press, 1962.

Instrumente academice

pictograma omului sep
pictograma omului sep
Cum se citează această intrare.
pictograma omului sep
pictograma omului sep
Previzualizați versiunea PDF a acestei intrări la Societatea Prietenii SEP.
pictograma inpho
pictograma inpho
Căutați acest subiect de intrare la Proiectul Ontologia Filozofiei pe Internet (InPhO).
pictograma documente phil
pictograma documente phil
Bibliografie îmbunătățită pentru această intrare la PhilPapers, cu link-uri către baza de date a acesteia.

Alte resurse de internet

  • Arhivele Bertrand Russell
  • Centrul de cercetare Bertrand Russell
  • Societatea Bertrand Russell
  • Principia Mathematica: Volumul 1 (Colecția de matematică istorică a Universității din Michigan)
  • Principia Mathematica: Volumul 2 (Colecția de matematică istorică a Universității din Michigan)
  • Principia Mathematica: Volumul 3 (Colecția de matematică istorică a Universității din Michigan)
  • Russell: The Journal of Bertrand Russell Studies
  • Antinomia lui Russell (Wolfram MathWorld)

Recomandat: