Teoria Modelului

Cuprins:

Teoria Modelului
Teoria Modelului

Video: Teoria Modelului

Video: Teoria Modelului
Video: Cattell-Horn-Carroll theory - Intro to Psychology 2024, Martie
Anonim

Navigare la intrare

  • Cuprins de intrare
  • Bibliografie
  • Instrumente academice
  • Prieteni PDF Previzualizare
  • Informații despre autor și citare
  • Inapoi sus

Teoria modelului

Publicat pentru prima dată Sat 10 noiembrie 2001; revizuire de fond miercuri, 17 iulie 2013

Teoria modelelor a început cu studiul limbajelor formale și interpretările acestora și a tipurilor de clasificare pe care le poate face un anumit limbaj formal. Teoria modelului mainstream este acum o ramură sofisticată a matematicii (a se vedea intrarea pe teoria modelului de prim ordin). Dar, într-un sens mai larg, teoria modelelor este studiul interpretării oricărui limbaj, formal sau natural, prin intermediul unor structuri teoretice, cu definiția adevărului lui Alfred Tarski ca paradigmă. În acest sens mai larg, teoria modelelor întâlnește filozofia în mai multe puncte, de exemplu în teoria consecințelor logice și în semantica limbajelor naturale.

  • 1. Noțiuni de bază ale teoriei modelelor
  • 2. Definiție model-teoretică
  • 3. Consecință model-teoretică
  • 4. Puterea expresivă
  • 5. Modele și modele
  • Bibliografie
  • Instrumente academice
  • Alte resurse de internet
  • Intrări conexe

1. Noțiuni de bază ale teoriei modelelor

Uneori, scriem sau vorbim o propoziție (S) care nu exprimă nimic adevărat sau fals, deoarece lipsesc anumite informații cruciale despre ceea ce înseamnă cuvintele. Dacă continuăm să adăugăm aceste informații, astfel încât (S) să vină să exprime o afirmație adevărată sau falsă, ni se spune că interpretăm (S), iar informațiile adăugate se numesc interpretarea lui (S). Dacă interpretarea (I) se întâmplă ca (S) să afirme ceva adevărat, spunem că (I) este un model de (S) sau că (I) satisface (S)), în simbolurile „(I / vDash S)”. Un alt mod de a spune că (I) este un model de (S) este să spunem că (S) este adevărat în (I), și avem deci noțiunea de adevăr model-teoretic, care este adevărul într-o anumită interpretare. Dar trebuie să ne amintim că afirmația „(S) este adevărată în (I)” este doar o parafină a lui (S), când este interpretată ca în (I), este adevărată”;deci adevărul model-teoretic este parazit pe adevărul obișnuit și îl putem parafraza întotdeauna.

De exemplu, aș putea spune

Îi omoară pe toți,

și oferă interpretarea că „el” este Alfonso Arblaster din 35 The Crescent, Beetleford și că „ei” sunt porumbeii din podul său. Această interpretare explică (a) la ce obiecte se referă unele expresii și (b) la ce clase se întind unele cantificatoare. (În acest exemplu există un singur cuantificator: „toți”.) Interpretările care constau din itemi (a) și (b) apar foarte des în teoria modelelor și sunt cunoscute sub numele de structuri. Tipuri particulare de teorie a modelelor folosesc tipuri particulare de structură; de exemplu teoria modelelor matematice tinde să folosească așa-numitele structuri de prim ordin, teoria modelelor logicii modale folosește structurile Kripke ș.a.

Structura (I) din paragraful anterior implică un obiect fix și o clasă fixă. De când am descris structura de astăzi, clasa este clasa porumbeilor din mansarda lui Alfonso de azi, nu a celor care vor veni mâine pentru a-i înlocui. Dacă Alfonso Arblaster ucide toți porumbeii din podul său astăzi, atunci (I) satisface propoziția citată astăzi, dar nu o va satisface mâine, deoarece Alfonso nu poate ucide aceiași porumbei de două ori. În funcție de ce doriți să folosiți teoria modelelor, este posibil să fiți fericiți să evaluați propozițiile astăzi (ora implicită) sau poate doriți să înregistrați modul în care acestea sunt satisfăcute la un moment dat și nu la alta. În ultimul caz, puteți relativiza noțiunea de model și scrie „(I / vDash_t S)” pentru a însemna că (I) este un model de (S) la timp (t). Același lucru se aplică locurilor,sau la orice altceva care ar putea fi ridicat de alte caracteristici indexice implicite din propoziție. De exemplu, dacă credeți în lumi posibile, puteți indexa (vDash) în funcție de lumea posibilă în care propoziția trebuie evaluată. În afară de utilizarea teoriei de seturi, teoria modelelor este complet agnostică cu privire la ce tipuri de lucruri există.

Rețineți că obiectele și clasele dintr-o structură poartă etichete care le orientează către expresiile corecte din propoziție. Aceste etichete sunt o parte esențială a structurii.

Dacă aceeași clasă este folosită pentru a interpreta toți cuantificatorii, clasa este denumită domeniu sau univers al structurii. Dar uneori există cantificatori care se întind pe clase diferite. De exemplu, dacă spun

Una dintre acele boli înfricoșătoare este uciderea tuturor păsărilor.

veți căuta o interpretare care să aloce o clasă de boli „acele boli de burtă” și o clasă de păsări „păsărilor”. Se consideră că interpretările care dau două sau mai multe clase pentru cantificatori diferiți sunt sortate, iar clasele sunt uneori numite sorturi.

Ideile de mai sus pot fi încă utile dacă începem cu o propoziție (S) care spune ceva fie adevărat, fie fals, fără a fi nevoie de o interpretare suplimentară. (Teoreticienii modelului spun că o astfel de propoziție este complet interpretată.) De exemplu, putem considera interpretări greșite (I) ale unei propoziții complet interpretate (S). O interpretare greșită a lui (S) care o face adevărată este cunoscută sub numele de model non-standard sau neintenționat al (S). Ramura matematicii numită analiză standard nu se bazează pe modele non-standard ale enunțurilor matematice despre sistemele de numere reale sau complexe; vezi Secțiunea 4 de mai jos.

Se vorbește, de asemenea, despre semantica teoretic-model a limbajelor naturale, care este un mod de a descrie semnificațiile propozițiilor din limbajul natural, nu o modalitate de a le da semnificații. Legătura dintre această semantică și teoria modelului este puțin indirectă. Acesta se află în definiția adevărului lui Tarski din 1933. A se vedea intrarea despre definițiile adevărului lui Tarski pentru mai multe detalii.

2. Definiție model-teoretică

O propoziție (S) împarte toate interpretările posibile în două clase, cele care sunt modele ale acesteia și cele care nu sunt. În acest fel, definește o clasă, și anume clasa tuturor modelelor sale, scrisă (Mod (S)). Pentru a lua un exemplu legal, sentința

Prima persoană a transferat proprietatea către a doua persoană, care deține astfel proprietatea în beneficiul terței persoane.

definește o clasă de structuri care ia forma 4-tuples etichetate, de exemplu (scrierea etichetei în stânga):

  • prima persoană = Alfonso Arblaster;
  • proprietatea = terenul abandonat din spatele casei lui Alfonso;
  • a doua persoană = John Doe;
  • persoana a treia = Richard Roe.

Aceasta este o definiție tipică model-teoretică, care definește o clasă de structuri (în acest caz, clasa cunoscută de avocați ca trusturi).

Putem extinde ideea definiției teoretice model de la o singură propoziție (S) la un set (T) de propoziții; (Mod (T)) este clasa tuturor interpretărilor care sunt simultan modele ale tuturor propozițiilor din (T). Atunci când un set (T) de propoziții este folosit pentru a defini o clasă în acest fel, matematicienii spun că (T) este o teorie sau un set de axiome și că (T) axiomatizează clasa (mod (T)).

Luăm de exemplu următorul set de propoziții de ordinul întâi:

(begin {align *} & / forall x / forall y / forall z (x + (y + z) = (x + y) + z). \& / forall x (x + 0 = x). \& / forall x (x + (-x) = 0). \& / forall x / forall y (x + y = y + x). / End {* align})

Aici etichetele sunt simbolul de adăugare '+', simbolul minus '(-)' și simbolul constant '0'. De asemenea, o interpretare trebuie să specifice un domeniu pentru cuantificatori. Cu o singură prevedere, modelele acestui set de propoziții sunt tocmai structurile pe care matematicienii le cunosc drept grupuri abeliene. Cu condiția ca într-un grup abelian (A), domeniul să conțină interpretarea simbolului 0 și să fie închis sub interpretările simbolurilor + și (-). În teoria modelului matematic se construiește această condiție (sau condițiile corespunzătoare pentru alte funcții și simboluri constante) în definiția unei structuri.

Fiecare structură matematică este legată de un anumit limbaj de prim ordin. O structură conține interpretări ale anumitor predicate, funcții și simboluri constante; fiecare predicat sau simbol al funcției are o aritate fixă. Colecția (K) a acestor simboluri se numește semnătura structurii. Simbolurile din semnătura sunt adesea numite constante non-logice, iar un nume mai vechi pentru ele sunt primitive. Limbajul de primă ordine (K) este limbajul de prim ordin construit folosind simbolurile din (K), împreună cu semnul egalității =, pentru a-și construi formulele atomice. (A se vedea intrarea pe logica clasică.) Dacă (K) este o semnătură, (S) este o propoziție a limbii de semnătură (K) și (A) este o structură a cărei semnătură este (K), apoi pentru că simbolurile se potrivesc, știm că (A) face ca (S) să fie adevărat sau fals. Deci, cineva definește clasa grupurilor abeliene pentru a fi clasa tuturor acelor structuri de semnătură (+), (-), (0) care sunt modele de propoziții de mai sus. În afară de faptul că folosește un limbaj formal de prim ordin, aceasta este exact definiția obișnuită a algebristilor a clasei grupurilor abeliene; teoria modelelor formalizează un fel de definiție extrem de comună în matematică.

Acum axiomele definitorii pentru grupurile abeliene au trei tipuri de simboluri (în afară de punctuație). Mai întâi există simbolul logic = cu un sens fix. În al doilea rând, există constantele non-logice, care obțin interpretarea lor prin aplicarea unei anumite structuri; ar trebui să grupeze simbolurile cuantificatorului cu ele, deoarece structura determină și domeniul peste care se află cantificatorii. Și în al treilea rând, există variabilele (x, y) etc. Acest model de trei niveluri de simboluri ne permite să definim clasele într-un al doilea mod. În loc să căutăm interpretările constantelor nonlogice care vor face o propoziție adevărată, fixăm interpretările constantelor nonlogice alegând o anumită structură (A) și căutăm repartizări de elemente ale (A) la variabile care vor face ca o anumită formulă să fie adevărată în (A).

De exemplu, să fie (mathbb {Z}) grupul de aditivi întregi. Elementele sale sunt numerele întregi (pozitive, negative și 0), iar simbolurile (+), (-), (0) au semnificațiile lor obișnuite. Luați în considerare formula

[v_1 + v_1 = v_2.)

Dacă alocăm numărul (- 3) lui (v_1) și numărul (- 6) la (v_2), formula funcționează ca adevărată în (mathbb {Z}). Exprimăm acest lucru spunând că perechea ((- 3, -6)) satisface această formulă în (mathbf {Z}). La fel (15,30) și (0,0) o satisfac, dar ((2, -4)) și (3,3) nu. Astfel, formula definește o relație binară pentru numerele întregi, și anume setul de perechi de numere întregi care o satisfac. O relație definită în acest fel într-o structură (A) se numește relație definibilă de prim ordin în (A). O generalizare utilă este de a permite formulei definitorii să folosească nume adăugate pentru unele elemente specifice ale (A); aceste elemente se numesc parametri și relația este apoi definibilă cu parametri.

Acest al doilea tip de definiție, care definește relațiile din interiorul unei structuri, mai degrabă decât clase de structură, formalizează, de asemenea, o practică matematică comună. Dar de data aceasta practica aparține mai degrabă geometriei decât algebrei. Puteți recunoaște relația din câmpul numerelor reale definite de formulă

[v_1 ^ 2 + v_2 ^ 2 = 1.)

Este cercul de raza 1 din jurul originii în planul real. Geometria algebrică este plină de definiții de acest fel.

În anii ’40, s-a întâmplat mai multor persoane (în principal Anatolii Mal’tev în Rusia, Alfred Tarski în SUA și Abraham Robinson în Marea Britanie) că metateoremele logicii clasice ar putea fi folosite pentru a demonstra teoreme matematice despre clasele definite în cele două moduri pe care le avem. tocmai descris. În 1950, atât Robinson, cât și Tarski au fost invitați să se adreseze Congresului Internațional al Matematicienilor de la Cambridge Mass. Pe această nouă disciplină (care încă nu avea niciun nume - Tarski a propus denumirea de „teoria modelelor” în 1954). Concluzia adresării lui Robinson la acel Congres merită citată:

[Exemplele concrete produse în lucrarea de față vor arăta că logica simbolică contemporană poate produce instrumente utile - deși în niciun caz cele atotputernice - pentru dezvoltarea matematicii actuale, mai ales pentru dezvoltarea algebrei și, se pare, a geometrie algebraică. Aceasta este realizarea unei ambiții care a fost exprimată de Leibniz într-o scrisoare către Huyghens încă din 1679.

De fapt, Mal'tsev făcuse deja aplicații destul de profunde ale teoriei modelelor în teoria grupurilor cu câțiva ani mai devreme, dar în condițiile politice ale vremii, munca sa în Rusia nu era încă cunoscută în Occident. Până la sfârșitul secolului XX, speranțele lui Robinson au fost îndeplinite pe deplin; vezi intrarea pe teoria modelului de ordinul întâi.

Există cel puțin alte două tipuri de definiții în teoria modelelor, pe lângă aceste două de mai sus. Al treilea este cunoscut sub numele de interpretare (un caz special al interpretărilor cu care am început). Aici începem cu o structură (A) și construim o altă structură (B) a cărei semnătură nu trebuie să fie legată de cea a lui (A), prin definirea domeniului (X) din (B) și toate relațiile și funcțiile etichetate ale (B) să fie relațiile definibile în (A) de anumite formule cu parametri. Un alt rafinament este de a găsi o relație de echivalență definibilă pe (X) și de a lua domeniul lui (B) să nu fie (X) în sine, ci setul de clase de echivalență ale acestei relații. Se spune că structura (B) construită în acest mod este interpretată în structura (A).

Un exemplu simplu, din nou din matematica standard, este interpretarea grupului (mathbb {Z}) din numere întregi din structura (mathbb {N}) constând din numerele naturale 0, 1, 2 etc. cu etichete pentru 0, 1 și +. Pentru a construi domeniul de (mathbb {Z}), luăm mai întâi setul (X) al tuturor perechilor ordonate de numere naturale (în mod clar o relație definibilă în (mathbb {N})) și pe acest set (X) definim relația de echivalență (sim) prin

[(a, b) sim (c, d) text {dacă și numai dacă} a + d = b + c)

(din nou definibil). Domeniul (mathbb {Z}) constă din clasele de echivalență ale acestei relații. Definim adăugarea pe (mathbb {Z}) prin

[(a, b) + (c, d) = (e, f) text {dacă și numai dacă} a + c + f = b + d + e.)

Clasa de echivalență de ((a, b)) devine numărul întreg (a - b).

Când o structură (B) este interpretată într-o structură (A), fiecare declarație de primă ordine despre (B) poate fi tradusă înapoi într-o declarație de primă ordine despre (A), iar în această felul în care putem citi teoria completă a lui (B) din cea a lui (A). De fapt, dacă realizăm această construcție nu doar pentru o singură structură (A), ci pentru o familie de modele ale unei teorii (T), folosind întotdeauna aceleași formule definitorii, atunci structurile rezultate vor fi toate modele de o teorie (T ') care poate fi citită din (T) și din formulele definitorii. Acest lucru dă un sens precis afirmației că teoria (T ') este interpretată în teoria (T). Filozofii științei au experimentat uneori această noțiune de interpretare ca o modalitate de a preciza ce înseamnă pentru o teorie să fie reductibilă pentru alta. Dar exemple realiste de reduceri între teoriile științifice par a fi, în general, mult mai subtile decât le va permite această idee teoretică de model simplu. A se vedea intrarea despre relațiile inter-teorice în fizică.

Al patrulea tip de definibilitate este o pereche de noțiuni, implicit definibilitate și definibilitate explicită a unei anumite relații dintr-o teorie. A se vedea secțiunea 3.3 din rubrica privind teoria modelului de prim ordin.

Din păcate, exista o teorie foarte confuză despre axiomele model-teoretice, care a trecut și sub denumirea de definiție implicită. Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, geometria matematică încetase în general să fie un studiu al spațiului și devenise studiul claselor de structuri care satisfac anumite axiome „geometrice”. Termenii geometrici precum „punct”, „linie” și „între” au supraviețuit, dar numai ca simboluri primitive în axiome; nu mai aveau vreun sens legat de ele. Așadar, vechea întrebare, dacă postulatul paralel al lui Euclid (ca o afirmație despre spațiu) era deductibil din celelalte presupuneri ale lui Euclid despre spațiu, nu mai era interesant pentru geometri. În schimb, geometrii au arătat că dacă s-a notat o versiune actualizată a celorlalte presupuneri ale lui Euclid, sub forma unei teorii (T),atunci s-a putut găsi modele de (T) care nu reușesc să satisfacă postulatul paralel. (A se vedea intrarea despre geometrie în secolul al XIX-lea pentru contribuțiile lui Lobachevski și Klein la această realizare.) În 1899, David Hilbert a publicat o carte în care a construit astfel de modele, folosind exact metoda de interpretare pe care tocmai am descris-o.

Problemele au apărut din cauza modului în care Hilbert și alții au descris ceea ce făceau. Istoria este complicată, dar aproximativ s-au întâmplat următoarele. În jurul mijlocului secolului al XIX-lea, oamenii au observat, de exemplu, că într-un grup abelian funcția minus este definibilă în termeni de 0 și + (și anume: (- a) este elementul (b) astfel încât (a + b = 0)). Întrucât această descriere a minusului este de fapt unul dintre axiomele care definesc grupurile abeliene, putem spune (folosind un termen preluat de la JD Gergonne, care nu ar trebui să fie responsabil pentru utilizarea ulterioară a acesteia) că axiomele pentru grupurile abeliene definesc implicit minus. În jargonul timpului, nu s-a spus că axiomele definesc funcția minus, ci că definesc conceptul minus. Acum să presupunem că facem o schimbare și încercăm să definim plus în termeni de minus și 0. În acest fel, nu se poate face, deoarece se pot avea două grupuri abeliene cu aceeași 0 și minus, dar diferite funcții plus. În loc să spună acest lucru, matematicienii din secolul al XIX-lea au concluzionat că axiomele definesc doar parțial plus în termeni de minus și 0. După ce au înghițit mult, au continuat să spună că axiomele împreună formează o definiție implicită a conceptelor plus, minus și 0 împreună și că această definiție implicită este doar parțială, dar spune despre aceste concepte exact atât cât trebuie să știm. Au continuat să spună că axiomele împreună formează o definiție implicită a conceptelor plus, minus și 0 împreună și că această definiție implicită este doar parțială, dar spune despre aceste concepte exact atât cât trebuie să știm. Au continuat să spună că axiomele împreună formează o definiție implicită a conceptelor plus, minus și 0 împreună și că această definiție implicită este doar parțială, dar spune despre aceste concepte exact atât cât trebuie să știm.

Unul se întreabă cum s-ar putea întâmpla ca, timp de cincizeci de ani, nimeni nu a contestat această prostie. De fapt, unii au contestat-o, în special geometrul Moritz Pasch, care în secțiunea 12 din Vorlesungen über Neuere Geometrie (1882) a insistat că axiomele geometrice nu ne spun nimic despre semnificațiile „punctului”, „liniei” etc. În schimb, el a spus, axiomele ne oferă relații între concepte. Dacă se consideră o structură ca un fel de ordine (n) - cumpărare de seturi etc., atunci o clasă (Mod (T)) devine o relație (n) - ary și contul lui Pasch este de acord. cu ai noștri. Dar nu a reușit să precizeze detaliile și există unele dovezi că contemporanii săi (și unii comentatori mai recenți) au crezut că spune că axiomele pot să nu determine sensurile „punctului” și „liniei”,dar le determină pe cele ale termenilor relaționali, cum ar fi „între” și „incident cu”! Demolarea lui Frege a doctrinei definiției implicite a fost magistrală, dar a venit prea târziu pentru a salva Hilbert de a spune, la începutul Grundlagen der Geometrie, că axiomele sale dau „descrierea exactă și adecvată din punct de vedere matematic” a relațiilor „minciunii”,” între 'și' congruent '. Din fericire, matematica lui Hilbert vorbește de la sine și pur și simplu se poate ocoli aceste faux pas filozofice. Relatarea model-teoretică pe care o luăm acum ca o descriere corectă a acestei linii de lucru pare să fi apărut pentru prima dată în grupul din jurul lui Giuseppe Peano în anii 1890, și a ajuns în lumea vorbitor de limba engleză prin Principiile Matematicii ale lui Bertrand Russell în 1903.dar a venit prea târziu pentru a salva Hilbert să spună, la începutul lui Grundlagen der Geometrie, că axiomele sale dau „descrierea exactă și adecvată din punct de vedere matematic” a relațiilor „minciună”, „între” și „congruente”. Din fericire, matematica lui Hilbert vorbește de la sine și pur și simplu se poate ocoli aceste faux pas filozofice. Relatarea model-teoretică pe care o luăm acum ca o descriere corectă a acestei linii de lucru pare să fi apărut pentru prima dată în grupul din jurul lui Giuseppe Peano în anii 1890, și a ajuns în lumea vorbitor de limba engleză prin Principiile Matematicii ale lui Bertrand Russell în 1903.dar a venit prea târziu pentru a salva Hilbert să spună, la începutul lui Grundlagen der Geometrie, că axiomele sale dau „descrierea exactă și adecvată din punct de vedere matematic” a relațiilor „minciună”, „între” și „congruente”. Din fericire, matematica lui Hilbert vorbește de la sine și pur și simplu se poate ocoli aceste faux pas filozofice. Relatarea model-teoretică pe care o luăm acum ca o descriere corectă a acestei linii de lucru pare să fi apărut pentru prima dată în grupul din jurul lui Giuseppe Peano în anii 1890, și a ajuns în lumea de limbă engleză prin Principiile Matematicii ale lui Bertrand Russell în 1903. Din fericire, matematica lui Hilbert vorbește de la sine și pur și simplu se poate ocoli aceste faux pas filozofice. Relatarea model-teoretică pe care o luăm acum ca o descriere corectă a acestei linii de lucru pare să fi apărut pentru prima dată în grupul din jurul lui Giuseppe Peano în anii 1890, și a ajuns în lumea vorbitor de limba engleză prin Principiile Matematicii ale lui Bertrand Russell în 1903. Din fericire, matematica lui Hilbert vorbește de la sine și pur și simplu se poate ocoli aceste faux pas filozofice. Relatarea model-teoretică pe care o luăm acum ca o descriere corectă a acestei linii de lucru pare să fi apărut pentru prima dată în grupul din jurul lui Giuseppe Peano în anii 1890, și a ajuns în lumea vorbitor de limba engleză prin Principiile Matematicii ale lui Bertrand Russell în 1903.

3. Consecință model-teoretică

Să presupunem că (L) este o limbă de semnătură (K, T) este un set de propoziții din (L) și (phi) este o propoziție din (L). Apoi relația

(Mod (T) subseteq / Mod (phi))

exprimă faptul că fiecare structură de semnătură (K) care este un model de (T) este, de asemenea, un model de (phi). Aceasta este cunoscută sub numele de relație de consecință model-teoretic și este scrisă pe scurt

[T / vDash / phi)

Utilizarea dublă a (vDash) este o nenorocire. Dar, în cazul particular în care (L) este de primă ordine, teorema completitudinii (vezi intrarea pe logica clasică) ne spune că „(T / vDash / phi)” ține dacă și numai dacă există o dovadă din (phi) din (T), o relație scrisă frecvent

[T / vdash / phi)

Întrucât (vDash) și (vdash) exprimă exact aceeași relație în acest caz, teoreticienii modelului evită adesea dubla utilizare a lui (vDash) folosind (vdash) pentru consecința teoretică a modelului.. Dar, deoarece ceea ce urmează nu se limitează la limbajele de primă ordine, siguranța sugerează să rămânem aici cu (vDash).

Înainte de jumătatea secolului al XIX-lea, manualele de logică învățau în mod obișnuit elevul cum să verifice validitatea unui argument (să zicem în engleză) arătând că acesta are unul dintr-un număr de forme standard sau parafrazându-l într-o astfel de formă. Formele standard au fost forme de argumentare sintactică și / sau semantică în engleză. Procesul a fost periculos: formele semantice sunt aproape prin definiție nu sunt vizibile la suprafață și nu există o formă pur sintactică care să garanteze validitatea unui argument. Din acest motiv, majoritatea manualelor vechi aveau o secțiune lungă despre „falimente” - modalități în care un argument nevalid poate părea valabil.

În 1847, George Boole a schimbat acest aranjament. De exemplu, pentru validarea argumentului

Toți monarhii sunt ființe umane. Nici o ființă umană nu este infailibilă. Prin urmare, niciun fel de ființe infailibile nu sunt monarhi.

Boole ar interpreta simbolurile (P, Q, R) ca nume de clase:

(P) este clasa tuturor monarhiilor.

(Q) este clasa tuturor ființelor umane.

(R) este clasa tuturor ființelor infailibile.

Apoi, el va sublinia că argumentul inițial parafrazează într-o consecință teoretică:

[(P / subseteq Q), (Q / cap R = 0) vDash (R / cap P = 0))

(Acest exemplu este din Stanley Jevons, 1869. Contul propriu al lui Boole este idiosincratic, dar cred că exemplul lui Jevons reprezintă cu exactitate intențiile lui Boole.) Astăzi am scrie (forall x (Px / rightarrow Qx)) și nu (P / subseteq Q), dar aceasta este în esență definiția standard a lui (P / subseteq Q), deci diferența dintre noi și Boole este mică.

În măsura în care urmează Boole, manualele moderne de logică stabilesc că argumentele în limba engleză sunt valabile reducându-le la consecințe model-teoretice. Întrucât clasa de consecințe teoretice ale modelului, cel puțin în logica de prim ordin, nu are niciuna dintre vagitudinile vechilor forme de argumente, manualele de logică în acest stil au încetat de mult să aibă un capitol despre falimente.

Dar există un avertisment care supraviețuiește din vechile manuale: Dacă formalizați argumentul într-un mod care nu este o consecință teoretică a modelului, nu înseamnă că argumentul nu este valid. Poate însemna doar că nu ați reușit să analizați conceptele din argument suficient de mult înainte de a vă formaliza. Manuale vechi folosite pentru a discuta acest lucru într-o secțiune de tip bagbag, numită „subiecte” (adică indicii pentru a găsi argumente pe care le-ați putea lipsi). Iată un exemplu din Summulae Logicales din secolul al lui Petru al Spaniei:

„Există un tată. Prin urmare, există un copil. … De unde vine valabilitatea acestui argument? Din relație. Maximul este: Când este poziționată una dintre perechi corelate, atunci este și cealaltă.

Hilbert și Ackermann, posibil manualul care au făcut cel mai mult pentru a stabili stilul modern, discută în secțiunea III.3 un exemplu foarte similar: „Dacă există un fiu, atunci există un tată”. Ei subliniază că orice încercare de a justifica acest lucru prin utilizarea simbolismului

(există xSx / rightarrow / există xFx)

este sortit eșecului. „O dovadă a acestei afirmații este posibilă numai dacă analizăm conceptual sensurile celor două predicate care apar”, după cum continuă să ilustreze. Și, desigur, analiza găsește cu exactitate relația la care s-a referit Petru Spania.

Pe de altă parte, dacă argumentul dvs. în limba engleză se traduce într-o consecință de model teoretic nevalidă, un contraexemplu în consecință poate oferi indicii despre cum puteți descrie o situație care ar face premisele argumentului dvs. adevărate și concluzia falsă. Dar acest lucru nu este garantat.

Se pot ridica o serie de întrebări despre dacă procedura modernă a manualului surprinde într-adevăr o noțiune sensibilă de consecință logică. De exemplu, în cazul lui Boole, consecințele teoretice pe care se bazează sunt toate ușor probabile prin dovezi formale în logica de prim ordin, nici măcar nu folosesc axiome teoretice; iar prin teorema completitudinii (vezi intrarea pe logica clasică), același lucru este valabil și pentru logica de prim ordin. Dar pentru unele alte logici, cu siguranță nu este adevărat. De exemplu, relația de consecință model-teoretică pentru unele logici ale timpului presupune unele fapte despre structura fizică a timpului. De asemenea, după cum a subliniat Boole însuși, traducerea sa dintr-un argument englez în forma sa teoretică impune să credem că pentru fiecare proprietate folosită în argument,există o clasă corespunzătoare a tuturor lucrurilor care au proprietatea. Acest lucru se apropie periculos de axiomul de înțelegere inconsistent al lui Frege!

În 1936 Alfred Tarski a propus o definiție a consecinței logice pentru argumente într-un limbaj formal interpretat complet. Propunerea sa a fost ca un argument să fie valabil dacă și numai dacă: în orice reinterpretare permisă a simbolurilor sale nelogice, dacă premisele sunt adevărate, atunci este și concluzia. Tarski a presupus că clasa de reinterpretări permise poate fi citită din semantica limbii, așa cum este stabilit în definiția lui de adevăr. El a lăsat-o nedeterminată ce simboluri contează ca nelogice; de fapt, el spera că această libertate îi va permite să definească diferite tipuri de necesități, poate să separe „logic” de „analitic”. Un lucru care face ca propunerea lui Tarski să fie dificil de evaluat este faptul că ignoră complet întrebarea pe care am discutat-o mai sus, analizând conceptele pentru a ajunge la toate conexiunile logice dintre ele. Singura explicație plauzibilă pe care o pot vedea pentru aceasta constă în observațiile sale parentetice despre

necesitatea eliminării oricăror semne definite care pot apărea în propozițiile în cauză, adică înlocuirea lor prin semne primitive.

Acest lucru îmi sugerează că dorește ca semnele sale primitive să fie prin stipulare neanalizabile. Dar atunci prin stipulare, va fi pur accidental dacă noțiunea lui de consecință logică surprinde tot ceea ce cineva ar fi considerat în mod normal ca o consecință logică.

Istoricii remarcă o asemănare între propunerea lui Tarski și una din secțiunea 147 din Wissenschaftslehre a lui Bernard Bolzano din 1837. La fel ca Tarski, Bolzano definește validitatea unei propuneri în termenii adevărului unei familii de propuneri înrudite. Spre deosebire de Tarski, Bolzano își face propunerea pentru propuneri în limbaj vernacular, nu pentru propoziții dintr-un limbaj formal cu o semantică precis definită.

În toată această secțiune, consultați și intrarea cu consecințe logice.

4. Puterea expresivă

O propoziție (S) definește clasa ei de modele (Mod (S)). Având în vedere două limbi (L) și (L '), le putem compara întrebând dacă fiecare clasă (Mod (S)), cu (S) o propoziție din (L), este, de asemenea, o clasă a formei (Mod (S ')) unde (S') este o propoziție din (L '). Dacă răspunsul este Da, spunem că (L) este reductibil la (L ') sau că (L') este cel puțin la fel de expresiv ca (L).

De exemplu, dacă (L) este un limbaj de prim ordin cu identitate, a cărui semnătura constă din simboluri predicate de 1 ary, iar (L ') este limba ale cărei propoziții constau din cele patru forme silogistice (All (A)) sunt (B), Unele (A) sunt (B), Nu (A) sunt (B), Unele (A) nu sunt (B)) folosind aceleași simboluri de predicat, atunci (L ') este reductibil la (L), deoarece formele silogistice sunt expresibile în logica de prim ordin. (Există câteva certuri despre care este modalitatea corectă de a le exprima; vezi intrarea în pătratul tradițional de opoziție.) Dar limbajul de prim ordin (L) nu este cu siguranță reductibil la limba (L ') a silogismelor, deoarece în (L) putem scrie o propoziție care spune că exact trei elemente satisfac (Px) și nu există nici o modalitate de a spune acest lucru folosind doar formele silogistice. Sau mișcând altfel,dacă formăm o a treia limbă (L '') adăugând la (L) cuantificatorul (Qx) cu semnificația "Există nenumărate elemente (x), astfel încât …", atunci banal (L) este reductibil la (L ''), dar teorema descendentă Loewenheim-Skolem arată deodată că (L '') nu este reductibilă la (L).

Aceste noțiuni sunt utile pentru analizarea puterii limbajelor de interogare a bazelor de date. Putem gândi la stările posibile ale unei baze de date ca structuri, iar o simplă interogare Da / Nu devine o propoziție care provoacă răspunsul Da, dacă baza de date este un model al acesteia și Nu altfel. Dacă un limbaj de interogare a bazei de date nu poate fi redus la altul, atunci primul poate exprima o interogare care nu poate fi exprimată în a doua.

Deci avem nevoie de tehnici pentru compararea punctelor tari expresive ale limbilor. Una dintre cele mai puternice tehnici disponibile constă în jocurile back-and-back ale lui Ehrenfeucht și Fraïssé între cei doi jucători Spoiler și Duplicator; consultați intrarea pe logică și jocuri pentru detalii. Imaginați-vă, de exemplu, că jucăm jocul de întoarcere și întoarcere obișnuit (G) între două structuri (A) și (B). Teoria acestor jocuri stabilește că dacă unele propoziții de prim ordin (phi) sunt adevărate în exact una dintre (A) și (B), atunci există un număr (n), calculabil din (phi), cu proprietatea pentru care Spoiler are o strategie pentru (G) care va garanta că va câștiga cel mult (n) pași. Așadar, pentru a arăta că logica de prim ordin nu poate face distincția între (A) și (B), este suficient să arătați că pentru fiecare finit (n),Duplicatorul are o strategie care va garanta că nu pierde (G) în primii pași (n). Dacă reușim să arătăm acest lucru, rezultă că orice limbă care face distincția între (A) și (B) nu se reduce la limbajul de prim ordin al structurilor (A) și (B).

Aceste jocuri back-and-back sunt extrem de flexibile. Pentru început, ei au la fel de mult sens asupra structurilor finite ca și asupra infinitului; multe alte tehnici ale teoriei modelelor clasice presupun că structurile sunt infinite. De asemenea, pot fi adaptate fără probleme la multe limbi de primă ordine.

În 1969, Per Lindström a folosit jocuri înapoi și înapoi pentru a oferi câteva caracterizări abstracte ale logicii de prim ordin în ceea ce privește puterea sa expresivă. Unul dintre teoremele sale spune că dacă (L) este un limbaj cu semnătură (K, L) este închis sub toate operațiunile sintactice de ordinul I și (L) se supune teoremei Loewenheim-Skolem în jos pentru propoziții unice și teorema de compactitate, atunci (L) este reductibilă la limbajul de semnătură (K) de ordinul întâi. Aceste teoreme sunt foarte atractive; a se vedea capitolul XII din Ebbinghaus, Flum și Thomas pentru o relatare bună. Dar niciodată nu s-au conformat promisiunii lor. A fost greu să găsim caracterizări similare ale altor logici. Chiar și pentru logica de prim ordin este puțin greu să vedem exact ce ne spun caracteristicile. Dar foarte grosolan,ei ne spun că logica de prim ordin este logica unică cu două proprietăți: (1) îl putem folosi pentru a exprima în mod arbitrar lucruri complicate despre tiparele finite și (2) este lipsit de speranță discriminarea între un cardinal infinit și altul.

Aceste două proprietăți (1) și (2) sunt doar proprietățile logicii de prim ordin care au permis lui Abraham Robinson să-și construiască analiza non-standard. Contextul este că Leibniz, când a inventat calculul diferențial și integral, a folosit infinitesimale, adică numere mai mari decât 0 și mai mici decât toate 1/2, 1/3, 1/4 etc. Din păcate, nu există astfel de numere reale. În timpul secolului al XIX-lea, toate definițiile și dovezile în stilul Leibniz au fost rescrise pentru a vorbi despre limite în loc de infinitesimale. Acum să fie (mathbb {R}) structura constând din câmpul numerelor reale, împreună cu orice caracteristici structurale cărora ne pasă să le dăm nume: cu siguranță plus și ori, poate ordonarea, setul de numere întregi, funcțiile sin și jurnal, etc. Fie (L) limbă de primă ordine a cărei semnătură este cea a (mathbb {R}). Din cauza puterii expresive a lui (L), putem scrie orice număr de teoreme de calcul ca propoziții ale lui (L). Din cauza slăbiciunii expresive a lui (L), nu există nicio modalitate prin care să putem exprima în (L) că (mathbb {R}) nu are infinitesimale. De fapt, Robinson a folosit teorema de compactitate pentru a construi o structură (mathbb {R} ') care este un model cu aceleași propoziții din (L) ca (mathbb {R}), dar care are infinitezimalele. Așa cum a arătat Robinson, putem copia argumentele lui Leibniz folosind infinitesimalele din (mathbb {R} ') și, astfel, dovedim că diverse teoreme ale calculului sunt adevărate în (mathbb {R}'). Dar aceste teoreme sunt expresibile în (L), deci trebuie să fie adevărate și în (mathbb {R}).nu există nicio cale prin care să putem exprima în (L) că (mathbb {R}) nu are infinitesimale. De fapt, Robinson a folosit teorema de compactitate pentru a construi o structură (mathbb {R} ') care este un model cu aceleași propoziții din (L) ca (mathbb {R}), dar care are infinitezimalele. Așa cum a arătat Robinson, putem copia argumentele lui Leibniz folosind infinitesimalele din (mathbb {R} '), și dovedim astfel că diverse teoreme ale calculului sunt adevărate în (mathbb {R}'). Dar aceste teoreme sunt expresibile în (L), deci trebuie să fie adevărate și în (mathbb {R}).nu există nicio cale prin care să putem exprima în (L) că (mathbb {R}) nu are infinitesimale. De fapt, Robinson a folosit teorema de compactitate pentru a construi o structură (mathbb {R} ') care este un model cu aceleași propoziții din (L) ca (mathbb {R}), dar care are infinitezimalele. Așa cum a arătat Robinson, putem copia argumentele lui Leibniz folosind infinitesimalele din (mathbb {R} '), și dovedim astfel că diverse teoreme ale calculului sunt adevărate în (mathbb {R}'). Dar aceste teoreme sunt expresibile în (L), deci trebuie să fie adevărate și în (mathbb {R}).putem copia argumentele lui Leibniz folosind infinitesimalele din (mathbb {R} '), și, astfel, dovedim că diverse teoreme ale calculului sunt adevărate în (mathbb {R}'). Dar aceste teoreme sunt expresibile în (L), deci trebuie să fie adevărate și în (mathbb {R}).putem copia argumentele lui Leibniz folosind infinitesimalele din (mathbb {R} '), și, astfel, dovedim că diverse teoreme ale calculului sunt adevărate în (mathbb {R}'). Dar aceste teoreme sunt expresibile în (L), deci trebuie să fie adevărate și în (mathbb {R}).

Deoarece argumentele care folosesc infinitesimale sunt de obicei mai ușor de vizualizat decât argumentele care utilizează limite, analiza non standard este un instrument util pentru analiștii matematici. Jacques Fleuriot în doctoratul său teza (2001) a automatizat teoria probelor din analiza non standard și a folosit-o pentru a mecaniza unele dintre dovezile din Principia lui Newton.

5. Modele și modele

Modelarea unui fenomen înseamnă construirea unei teorii formale care o descrie și explică. Într-un sens strâns legat, modelezi un sistem sau o structură pe care intenționezi să o construiești, scriind o descriere a acestuia. Acestea sunt sensuri foarte diferite ale „modelului” de cea din teoria modelului: „modelul” fenomenului sau sistemului nu este o structură, ci o teorie, adesea într-un limbaj formal. Limbajul universal de modelare, UML pentru scurt, este un limbaj formal conceput doar în acest scop. S-a raportat că Marina australiană a angajat odată un teoretician model pentru un job „modelarea fenomenelor hidrodinamice”. (Vă rugăm să nu le luminați!)

O mică istorie va arăta modul în care cuvântul „model” a ajuns să aibă aceste două utilizări diferite. În limba latină târzie, un „modellus” a fost un dispozitiv de măsurare, de exemplu pentru a măsura apa sau laptele. Prin încordările limbajului, cuvântul a generat trei cuvinte diferite în engleză: mold, module, model. Adesea, un dispozitiv care măsoară o cantitate de substanță impune, de asemenea, o formă asupra substanței. Vedem acest lucru cu o matriță de brânză și, de asemenea, cu literele metalice (numite „moduli” la începutul secolului al XVII-lea) care transportă cerneală pe hârtie la tipărire. Deci „model” înseamnă un obiect în mână care exprimă designul altor obiecte din lume: modelul artistului poartă forma pe care artistul o înfățișează, iar „modulul” lui Christopher Wren din Catedrala Sf. Paul servește pentru a ghida constructorii.

Deja până la sfârșitul secolului al XVII-lea, cuvântul „model” ar putea însemna un obiect care arată forma, nu a obiectelor din lumea reală, ci a constructelor matematice. Leibniz se lăuda că nu are nevoie de modele pentru a face matematica. Alți matematicieni au fost fericiți să folosească modele de tencuială sau metal de suprafețe interesante. Modelele teoriei modelelor au apărut pentru prima dată ca versiuni abstracte ale acestui tip de model, cu teorii în locul ecuației definitorii a unei suprafețe. Pe de altă parte, cineva ar putea rămâne cu obiecte din lumea reală, dar arăta forma lor printr-o teorie și nu printr-o copie fizică în mână; „modelarea” construiește o astfel de teorie.

Avem o situație confuză la jumătatea drumului când un om de știință descrie un fenomen din lume printr-o ecuație, de exemplu o ecuație diferențială cu funcții exponențiale ca soluții. Modelul este teoria format din ecuație, sau aceste funcții exponențiale sunt ele însele modele ale fenomenului? Exemple de acest fel, în care teoria și structurile oferă în esență aceleași informații, oferă un anumit sprijin pentru afirmația lui Patrick Suppes că „sensul conceptului de model este același în matematică și științe empirice” (pagina 12 din cartea sa din 1969 citată). de mai jos). Mai mulți filosofi ai științei au urmărit ideea utilizării unei versiuni informale a modelelor model-teoretice pentru modelarea științifică. Uneori, modelele sunt descrise ca non-lingvistice - acest lucru poate fi greu de reconciliat cu definiția noastră a modelelor din secțiunea 1 de mai sus.

Știința cognitivă este un domeniu în care diferența dintre modele și modelare tinde să se estompeze. O întrebare centrală a științei cognitive este modul în care reprezentăm fapte sau posibilități în mintea noastră. Dacă se oficializează aceste reprezentări mentale, ele devin ceva de genul „modele de fenomene”. Dar este o ipoteză serioasă că, de fapt, reprezentările noastre mentale au o bună legătură în comun cu structurile teoretice simple, astfel încât acestea sunt „modele” și în sensul model-teoretic. În 1983 au fost publicate două lucrări influente ale științei cognitive, ambele sub titlul Modele mentale. Primul, editat de Dedre Gentner și Albert Stevens, a fost despre „conceptualizările” oamenilor asupra faptelor elementare ale fizicii; ea aparține pătrat în lumea „modelării fenomenelor”. Al doilea, de Philip Johnson-Laird, este în mare parte despre raționament,și face mai multe apeluri la „semantica teoretică model” în sensul nostru. Cercetătorii din tradiția Johnson-Laird tind să se refere la abordarea lor ca „teoria modelelor” și să o vadă ca într-un anumit sens aliate de ceea ce am numit teoria modelelor.

Imaginile și diagramele par la început să se încadreze în mijlocul dintre teorii și modele. În practică, teoreticienii modelului deseori desenează ei înșiși imagini ale structurilor și folosesc imaginile pentru a gândi structurile. Pe de altă parte, imaginile nu poartă în general etichetarea care este o caracteristică esențială a structurilor teoretice ale modelului. Există un corp de lucru în creștere rapidă în raționament cu diagrame, iar tendința copleșitoare a acestei lucrări este de a vedea imaginile și diagramele ca o formă de limbaj, mai degrabă ca o formă de structură. De exemplu, Eric Hammer și Norman Danner (în cartea editată de Allwein și Barwise, vezi Bibliografia) descriu o „teorie model a diagramelor Venn”; diagramele Venn în sine sunt sintaxa, iar teoria modelelor este o explicație teoretică a sensului lor.

Teoreticianul modelului Yuri Gurevich a introdus mașini abstracte de stat (ASM) ca o modalitate de utilizare a ideilor model-teoretice pentru specificare în informatică. Conform site-ului site-ului Abstract State Machine (a se vedea alte resurse de internet mai jos),

orice algoritm poate fi modelat la nivelul său natural de abstractizare de către un ASM adecvat. … ASM folosesc structuri matematice clasice pentru a descrie stările unui calcul; structurile sunt modele bine înțelese și precise.

Cartea lui Börger și Stärk citate mai jos este o prezentare autoritară a ASM-urilor și a utilizărilor acestora.

Astăzi vă puteți face numele și averea găsind un sistem de reprezentare bun. Nu există niciun motiv să ne așteptăm ca fiecare astfel de sistem să se încadreze perfect în cadrul sintaxei / semanticii din teoria modelelor, dar va fi surprinzător dacă ideile model-teoretice nu continuă să contribuie major în acest domeniu.

Bibliografie

Texte introductive

  • Doets, K., 1996, Teoria de bază a modelului, Stanford: Publicații CSLI.
  • Hodges, W., 1997, A Shorter Model Theory, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Manzano, M., 1999, Teoria modelului, Oxford: Oxford University Press.
  • Rothmaler, P., 2000, Introducere în teoria modelului, Amsterdam: Gordon și Breach.

Definitie model-teoretica

  • Frege, G., 1906, „Grundlagen der Geometrie”, Jahresbericht der deutschen Mathematikervereinigung, 15: 293-309, 377–403, 423–430.
  • Gergonne, J., 1818, „Essai sur la théorie de la définition”, Annales de Mathématiques Pures et Appliquées, 9: 1–35.
  • Hilbert, D., 1899, Grundlagen der Geometrie, Leipzig: Teubner.
  • Hodges, W., 2008, „Teoria definiției lui Tarski”, în Patterson, D. New Essays on Tarski and Philosophy, Oxford: Oxford University Press, pp. 94–132.
  • Lascar, D., 1998, „Perspective historique sur les rapports entre la théorie des modèles et l’algèbre”, Revue d’histoire des mathématiques, 4: 237-260.
  • Mancosu, P., Zach, R. și Badesa, C., 2009, „Dezvoltarea logicii matematice de la Russell la Tarski”, în L. Haaparanta (ed.), The Development of Modern Logic, Oxford: Oxford University Press, p. 318–470.
  • Pasch, M., 1882, Vorlesungen über Neuere Geometrie, Berlin: Springer-Verlag.
  • Robinson, A., 1952, „Cu privire la aplicarea logicii simbolice la algebră”, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Cambridge, MA, 1950, Volumul 1), Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 686-94.
  • Suppes, P., 1957, „Teoria definiției” în Introducere în logică (capitolul 8), Princeton, NJ: Van Nostrand.
  • Tarski, A., 1954, „Contribuții la teoria modelelor, I”, Indagationes Mathematicae, 16: 572–581.

Consecință model-teoretică

  • Blanchette, P., 1996, „Frege și Hilbert pe consistență”, The Journal of Philosophy, 93: 317–336.
  • Blanchette, P., 2012, Frege's Conception of Logic, New York: Oxford University Press.
  • Boole, G., 1847, The Mathematical Analysis of Logic, Cambridge: Macmillan, Barclay and Macmillan.
  • Etchemendy, J., 1990, The Concept of Logical Consequence, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Frege, G., 1971, Pe temelia geometriei și teoriile formale ale aritmeticii, E. Kluge (trans.), New Haven: Yale University Press.
  • Gómez-Torrente, M., 1996, „Tarski pe consecințe logice”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 37: 125–151.
  • Hodges, W. 2004, „Importanța și neglijarea analizei conceptuale: Hilbert-Ackermann iii.3”, în V. Hendricks și colab. (eds.), Logica revizuită de ordinul întâi, Berlin: Logos, pp. 129-153.
  • Kreisel, G., 1969, „Probe de rigurozitate informală și completitudine”, în J. Hintikka (ed.), The Philosophy of Mathematics, London: Oxford University Press, pp. 78–94.
  • Tarski, A., 1983, „Pe conceptul de consecință logică”, tradus în A. Tarski, Logică, semantică, metamatematică, J. Corcoran (ed.), Indianapolis: Hackett, pp. 409–420.
  • Van Benthem, J., 1991 [1983], Logica timpului: o investigație model-teoretică în varietățile ontologiei temporale și ale discursului temporal, Dordrecht: Reidel, 1983; ediția a doua, Springer, 1991.

Puterea expresivă

  • Cutland, N., 2009, Analiza nonstandard și aplicațiile sale, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Ebbinghaus, H.-D. și Flum, J., 1999, Teoria modelului finit, Berlin: Springer-Verlag.
  • Ebbinghaus, H.-D., Flum, J. și Thomas, W., 1984, Logica matematică, New York: Springer-Verlag.
  • Fleuriot, J., 2001, A Combination of Geometry Teorem Proving and Nonstandard Analysis, with Application to Newton's Principia, New York: Springer-Verlag.
  • Immerman, N., 1999, Descriptive Complexity, New York: Springer-Verlag.
  • Libkin, L., 2004, Elements of Finite Model Theory, Berlin: Springer-Verlag.
  • Loeb, P. și Wolff, M. (eds.), 2000, Analiza standardă pentru matematicianul de lucru, Dordrecht: Kluwer.
  • Robinson, A., 1967, „Metafizica calculului”, în Probleme în filosofia matematicii, I. Lakatos (ed.), Amsterdam: Olanda de Nord, p. 28–40.

Modele și modele

  • Allwein, G. și Barwise, J. (eds.), 1996, Logical Reasoning with Diagrams, New York: Oxford University Press.
  • Börger, E. și Stärk, R., 2003, Abstract State Machines: A Method for High-Level System Design and Analysis, Berlin: Springer-Verlag.
  • Fowler, M., 2000, Distilat UML, Boston: Addison-Wesley.
  • Garnham, A., 2001, Modele mentale și interpretarea lui Anaphora, Philadelphia: Taylor și Francis.
  • Gentner, D. and Stevens, A. (eds.), 1983, Mental Models, Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.
  • Johnson-Laird, P., 1983, Modele mentale: Spre o știință cognitivă a limbajului, inferenței și conștiinței, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Meijers, A. (ed.), 2009, Filozofia tehnologiei și științelor ingineriei, Amsterdam: Elsevier; vezi capitolele W. Hodges, „Modelare funcțională și modele matematice”; R. Müller, „Noțiunea de model, teoriile modelelor și istoriei”; și N. Nersessian, „Raționamentul bazat pe model în inginerie interdisciplinară”.
  • Moktefi, A. și Shin, S.-J. (eds.), 2013, Raționamentul vizual cu diagrame, Basel: Birkhäuser.
  • Morgan, MS și Morrison, M. (eds.), 1999, Models as Mediators, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Pullum, GK și Scholz, BC, 2001, „Cu privire la distincția dintre modelele teoretice și generative-enumerative cadre sintactice”, în Logical Aspects of Computational Linguistics (Lecture Notes in Computer Science: Volume 2099), P. De Groote et al. (eds.), Berlin: Springer-Verlag, p. 17–43.
  • Stenning, K., 2002, Seeing Reason, Oxford: Oxford University Press.
  • Suppes, P., 1969, Studii în metodologie și fundamentări ale științei, Dordrecht: Reidel.

Instrumente academice

pictograma omului sep
pictograma omului sep
Cum se citează această intrare.
pictograma omului sep
pictograma omului sep
Previzualizați versiunea PDF a acestei intrări la Societatea Prietenii SEP.
pictograma inpho
pictograma inpho
Căutați acest subiect de intrare la Proiectul Ontologia Filozofiei pe Internet (InPhO).
pictograma documente phil
pictograma documente phil
Bibliografie îmbunătățită pentru această intrare la PhilPapers, cu link-uri către baza de date a acesteia.

Alte resurse de internet

  • mentalmodelsblog: Modele mentale în gândirea și raționamentul uman, de Ruth Byrne.
  • Teoria modelului algoritmic, de E. Graedel, D. Berwanger și M. Hoelzel (Mathematische Grundlagen der Informatik, RWTH Aachen)
  • Abstract State Machines, de Jim Huggins

Recomandat: