Platonismul în Filosofia Matematicii

Cuprins:

Platonismul în Filosofia Matematicii
Platonismul în Filosofia Matematicii

Video: Platonismul în Filosofia Matematicii

Video: Platonismul în Filosofia Matematicii
Video: Философия - Платон 2024, Martie
Anonim

Navigare la intrare

  • Cuprins de intrare
  • Bibliografie
  • Instrumente academice
  • Prieteni PDF Previzualizare
  • Informații despre autor și citare
  • Inapoi sus

Platonismul în filosofia matematicii

Publicat pentru prima dată Sat 18 iulie 2009; revizuire de fond joi, 18 ianuarie 2018

Platonismul despre matematică (sau platonismul matematic) este punctul de vedere metafizic potrivit căruia există obiecte matematice abstracte a căror existență este independentă de noi și de limbajul, gândirea și practicile noastre. La fel cum electronii și planetele există independent de noi, la fel și numerele și seturile. La fel cum afirmațiile despre electroni și planete sunt făcute adevărate sau false de obiectele pentru care sunt în cauză și de proprietățile perfect obiective ale acestor obiecte, la fel și enunțurile despre numere și seturi. Adevărurile matematice sunt, prin urmare, descoperite, nu inventate.

Argumentul cel mai important pentru existența obiectelor matematice abstracte derivă din Gottlob Frege și merge după cum urmează (Frege 1953). Limbajul matematicii intenționează să se refere la și să cuantifice obiecte matematice abstracte. Și un număr mare de teoreme matematice sunt adevărate. Dar o propoziție nu poate fi adevărată decât dacă sub-expresiile sale reușesc să facă ceea ce intenționează să facă. Există, așadar, obiecte matematice abstracte la care aceste expresii se referă și cuantifică.

Cu toate acestea, argumentul lui Frege, filosofii au dezvoltat o serie de obiecții față de platonismul matematic. Astfel, obiectele matematice abstracte se pretind că sunt epistemologic inaccesibile și metafizice problematice. Platonismul matematic a fost printre subiectele cele mai dezbătute în filosofia matematicii în ultimele decenii.

  • 1. Ce este platonismul matematic?

    • 1.1 Observații istorice
    • 1.2 Semnificația filosofică a platonismului matematic
    • 1.3 Realismul obiectelor
    • 1.4 Realismul valorii adevărului
    • 1.5 Semnificația matematică a platonismului
  • 2. Argumentul Fregean pentru existență

    • 2.1 Structura argumentului
    • 2.2 Apărarea semanticii clasice
    • 2.3 Apărarea adevărului
    • 2.4 Noțiunea de angajament ontologic
    • 2.5 De la existență la platonismul matematic?
  • 3. Obiecții față de platonismul matematic

    • 3.1 Acces epistemologic
    • 3.2 O obiecție metafizică
    • 3.3 Alte obiecții metafizice
  • 4. Între realismul obiectului și platonismul matematic

    • 4.1 Cum să înțelegem independența
    • 4.2 Platonism plin
    • 4.3 Valori semantice ușoare
    • 4.4 Alte două forme ușoare de realism obiect
  • Bibliografie
  • Instrumente academice
  • Alte resurse de internet
  • Intrări conexe

1. Ce este platonismul matematic?

Platonismul matematic poate fi definit ca conjuncția următoarelor trei teze:

Existența.

Există obiecte matematice.

Abstractitatea.

Obiectele matematice sunt abstracte.

Independența.

Obiectele matematice sunt independente de agenții inteligenți și de limbajul, gândirea și practicile lor.

În supliment sunt enumerate câteva definiții reprezentative ale „platonismului matematic”

Câteva definiții ale platonismului

și documentați că definiția de mai sus este destul de standard.

Platonismul în general (spre deosebire de platonismul în legătură cu matematica în special) este orice punct de vedere care rezultă din cele trei afirmații de mai sus, prin înlocuirea adjectivului „matematic” cu orice alt adjectiv.

Primele două revendicări sunt clare tolerabil în scopurile prezente. Existența poate fi formalizată ca „∃ x Mx”, unde „Mx” prescurtează predicatul „x este un obiect matematic”, care este adevărat pentru toate și numai pentru obiectele studiate de matematica pură, cum ar fi numere, seturi și funcții. Abstractitatea spune că fiecare obiect matematic este abstract, unde se spune că un obiect este abstract doar în cazul în care este non-spatiotemporal și (prin urmare) cauzal de ineficient. (Pentru discuții suplimentare, consultați intrarea despre obiecte abstracte.)

Independența este mai puțin clară decât celelalte două pretenții. Ce înseamnă să atribuie acest tip de independență unui obiect? Cel mai evident luciu este probabil condiția contrafactuală că, dacă nu ar fi existat agenți inteligenți sau dacă limbajul, gândirea sau practicile lor ar fi fost diferite, tot ar fi existat obiecte matematice. Cu toate acestea, este îndoielnic că acest luciu va face toată munca pe care trebuie să o facă Independența (vezi Secțiunea 4.1). Deocamdată, Independența va fi lăsată oarecum schematică.

1.1 Observații istorice

Platonismul trebuie deosebit de punctul de vedere al Platonului istoric. Puține partide la dezbaterea contemporană despre platonism fac afirmații exegetice puternice cu privire la concepția lui Platon, cu atât mai puțin în apărarea acesteia. Deși punctul de vedere pe care îl numim „platonism” este inspirat din celebra teorie a lui Platon despre formele abstracte și eterne (vezi intrarea despre metafizica și epistemologia lui Platon), platonismul este acum definit și dezbatut independent de inspirația sa istorică originală.

Nu numai că platonismul în discuție nu este cel al lui Platon, platonismul caracterizat mai sus este o viziune pur metafizică: ar trebui să se distingă de alte opinii care au un conținut epistemologic substanțial. Multe caracterizări mai vechi ale platonismului adaugă puternice afirmații epistemologice la efectul că avem o anumită înțelegere imediată sau o perspectivă imediată asupra domeniului obiectelor abstracte. (A se vedea, de exemplu, Rees 1967.) Dar este util (și în prezent destul de standard) să rezervăm termenul „platonism” pentru concepția pur metafizică descrisă mai sus. Mulți filosofi care apără platonismul în acest sens pur metafizic ar respinge afirmațiile epistemologice suplimentare. Exemplele includ Quine și alți filosofi atrași de așa-numitul argument de indispensabilitate, care încearcă să ofere o apărare larg empirică a platonismului matematic.(A se vedea intrarea despre argumentele indispensabile din filosofia matematicii.)

În sfârșit, definiția de mai sus a „platonismului matematic” exclude pretenția că toate adevărurile matematicii pure sunt necesare, deși această afirmație a fost făcută în mod tradițional de majoritatea platoniștilor. Din nou, această excludere este justificată de faptul că unii filosofi care sunt în general considerați platoniști (de exemplu, Quine și unii adepți ai argumentului indispensabilității menționate anterior) resping această afirmație modală suplimentară.

1.2 Semnificația filosofică a platonismului matematic

Platonismul matematic are o semnificație filosofică considerabilă. Dacă viziunea este adevărată, aceasta va pune o presiune mare asupra ideii fizicienilor că realitatea este epuizată de fizic. Căci platonismul presupune că realitatea se extinde mult dincolo de lumea fizică și include obiecte care nu fac parte din ordinea cauzală și spatiotemporală studiată de științele fizice. [1] Platonismul matematic, dacă este adevărat, va pune, de asemenea, o presiune mare asupra multor teorii naturaliste ale cunoașterii. Căci nu prea există îndoială că posedăm cunoștințe matematice. Adevărul platonismului matematic ar stabili, așadar, că avem cunoștințe despre obiecte abstracte (și deci cauzale ineficiente). Aceasta ar fi o descoperire importantă, pe care multe teorii naturaliste ale cunoașterii s-ar lupta să le însoțească.

Deși aceste consecințe filozofice nu sunt unice platonismului matematic, această formă particulară de platonism este neobișnuit de potrivită pentru a susține astfel de consecințe. Pentru matematică este o disciplină de succes remarcabil, atât în sine, cât și ca instrument pentru alte științe. [2] Puțini filozofi analitici contemporani sunt dispuși să contrazică oricare dintre pretențiile de bază ale unei discipline ale căror credințe științifice sunt la fel de puternice ca cele ale matematicii (Lewis 1991, p. 57-9). Așadar, dacă analiza filosofică ar fi arătat că matematica are anumite consecințe ciudate și surprinzătoare, ar fi neatractiv pur și simplu să respingem matematica. [3]O formă de platonism bazată pe o disciplină ale cărei credințe științifice sunt mai puțin impresionante decât cele ale matematicii nu ar fi în această situație norocoasă. De exemplu, când teologia se dovedește a avea câteva consecințe filozofice ciudate și surprinzătoare, mulți filosofi nu ezită să respingă părțile relevante ale teologiei.

1.3 Realismul obiectelor

Să fie realismul obiectului punctul de vedere că există obiecte matematice abstracte. Realismul obiect este, așadar, doar conjuncția Existenței și a abstractității. [4] Realismul de obiect este opus nominalismului, care în filosofia contemporană este definit în mod obișnuit ca ideea că nu există obiecte abstracte. (Într-o utilizare filosofică mai tradițională, cuvântul „nominalism” se referă în schimb la părerea că nu există universale. Vezi Burgess & Rosen 1997, pp. 13-25 și intrarea pe obiecte abstracte.)

Deoarece realismul obiectului lasă Independența, această părere este logic mai slabă decât platonismul matematic. Consecințele filosofice ale realismului obiect nu sunt, prin urmare, la fel de puternice ca cele ale platonismului. Mulți fizicieni ar accepta obiecte non-fizice cu condiția ca acestea să depindă sau să fie reduse de obiecte fizice. Aceștia pot, de exemplu, să accepte obiecte precum corporații, legi și poezii, cu condiția ca acestea să fie în mod adecvat dependente sau reducibile de obiecte fizice. Mai mult, se pare că nu există niciun mister cu privire la accesul epistemic la obiecte non-fizice pe care le-am făcut sau le-am „constituit” cumva. Dacă corporațiile, legile și poeziile sunt făcute sau „constituite” de noi, probabil că obținem cunoștințe despre ele în procesul de alcătuire sau „constituire” a acestora.

Unele puncte de vedere din filosofia matematicii sunt realiste obiect fără a fi platoniste. Un exemplu sunt opiniile intuiționiste tradiționale, care afirmă existența obiectelor matematice, dar susțin că aceste obiecte depind sau sunt constituite de matematicieni și de activitățile lor. [5] Câteva exemple de opinii care sunt realiste obiect fără a fi platoniste vor fi discutate în secțiunea 4.

1.4 Realismul valorii adevărului

Realismul valorii adevărului este punctul de vedere că fiecare afirmație matematică bine formată are o valoare de adevăr unică și obiectivă, care este independentă de faptul că poate fi cunoscută de noi și dacă urmează logic din teoriile noastre matematice actuale. De asemenea, părerea susține că cele mai multe afirmații matematice care sunt considerate adevărate sunt de fapt adevărate. Deci realismul valorii adevărului este clar o viziune metafizică. Spre deosebire de platonism, nu este o viziune ontologică. Deși realismul cu valoare de adevăr susține că enunțurile matematice au valori de adevăr unice și obiective, nu este angajat la ideea distinct platonistă că aceste valori ale adevărului trebuie explicate în termenii unei ontologii a obiectelor matematice.

Platonismul matematic motivează clar realismul valorii adevărului, oferind o relatare a modului în care afirmațiile matematice capătă valorile lor de adevăr. Dar punctul de vedere anterior nu implică cel de-al doilea decât dacă se adaugă alte spații. Căci chiar dacă există obiecte matematice, indeterminarea referențială și cuantificativă poate lipsi enunțurile matematice de o valoare de adevăr unică și obiectivă. În schimb, realismul cu valoare de adevăr nu implică de la sine existența și, prin urmare, nu implică nici realism obiect, nici platonism. Pentru că există diverse povestiri despre modul în care afirmațiile matematice pot ajunge să posede valori de adevăr unice și obiective, care nu reprezintă un tărâm al obiectelor matematice. [6]

De fapt, mulți nominalisti susțin realismul valorii adevărului, cel puțin despre mai multe ramuri de bază ale matematicii, cum ar fi aritmetica. Nominalistii de acest tip sunt angajați în viziunea ușor ciudată care, deși afirmația matematică obișnuită

(1) Există numere prime între 10 și 20.

este adevărat, de fapt nu există obiecte matematice și, în special, nu există numere. Dar nu există nicio contradicție aici. Trebuie să facem distincția între limbajul L M în care matematicienii își fac pretențiile și limba L P în care nominalizatorii și alți filozofi fac a lor. Declarația (1) se face în L M. Dar afirmația potrivit căreia nominalist (1), este adevărat, dar că nu există obiecte abstracte se face în L P. Afirmația nominalist este deci perfect cu condiția coerentă (1) se traduce non-homophonically din L M în L P. Și într-adevăr, când nominalistul susține că valorile de adevăr ale propozițiilor lui L Msunt fixate într-un mod care nu apelează la obiecte matematice, este tocmai acest tip de traducere neomofonică pe care o are în minte. Vederea menționată în nota precedentă oferă un exemplu.

Acest lucru arată că, pentru ca existența să aibă efectul intenționat, ea trebuie să fie exprimată în limbajul L P folosit de noi filozofii. Dacă revendicarea ar fi exprimată în limba L M folosită de matematicieni, atunci nominaliștii ar putea accepta afirmația, în timp ce încă neagă faptul că există obiecte matematice, contrar scopului revendicării.

O mică, dar importantă tradiție a filozofilor, solicită ca dezbaterea despre platonism să fie înlocuită de, sau cel puțin transformată într-o dezbatere despre realismul valorii adevărului. Un motiv oferit în sprijinul acestei opinii este faptul că fosta dezbatere este fără speranță neclară, în timp ce cea din urmă este mai tractabilă (Dummett 1978a, p. 228–232 și Dummett 1991b, pp. 10–15). Un alt motiv oferit este faptul că dezbaterea despre realismul valorii adevărului are o importanță mai mare atât pentru filozofie, cât și pentru matematică decât cea despre platonism. [7]

1.5 Semnificația matematică a platonismului

Realismul de lucru este punctul de vedere metodologic potrivit căruia matematica ar trebui practicată ca și cum platonismul ar fi adevărat (Bernays 1935, Shapiro 1997, p. 21–27 și 38–44). Aceasta necesită explicații. În dezbaterile despre fundamentele matematicii platonismul a fost adesea folosit pentru a apăra anumite metode matematice, cum ar fi următoarele:

  1. Limbi clasice de primă ordine (sau mai puternice) ai căror termeni și cuantificatori singulari par să facă referire și să se întindă peste obiecte matematice. (Acest lucru contrastează cu limbile care au dominat anterior în istoria matematicii, care s-au bazat mai mult pe vocabularul constructiv și modal.)
  2. Logică clasică mai degrabă decât intuiționalistă.
  3. Metode non-constructive (cum ar fi dovezile existenței non-constructive) și axiomele non-constructive (cum ar fi Axiomul alegerii).
  4. Definiții impredicative (adică definiții care cuantifică o totalitate căreia ar aparține obiectul definit).
  5. „Optimismul hilbertian”, adică credința că fiecare problemă matematică este, în principiu, rezolvabilă. [8]

Conform realismului de lucru, aceste și alte metode clasice sunt acceptabile și disponibile în toate raționamentele matematice. Dar realismul de lucru nu ia poziție dacă aceste metode necesită vreo apărare filosofică și, dacă da, dacă această apărare trebuie să se bazeze pe platonism. Pe scurt, în cazul în care platonismul este o viziune explicit filozofică, realismul de lucru este, în primul rând, o viziune în cadrul matematicii însuși despre metodologia corectă a acestei discipline. Platonismul și realismul de lucru sunt așadar concepții distincte.

Cu toate acestea, pot exista desigur relații logice între cele două puncte de vedere. Având în vedere originea realismului de lucru, nu este surprinzător faptul că punctul de vedere primește un sprijin puternic din partea platonismului matematic. Presupunem că platonismul matematic este adevărat. Atunci clar limba matematicii ar trebui să fie cea descrisă la punctul (i). În al doilea rând, cu condiția să fie legitim să se motiveze în mod clasic despre orice parte a realității existentă în mod independent, va urma și (ii). În al treilea rând, întrucât platonismul asigură că matematica este descoperită și nu inventată, nu ar fi necesar ca matematicienii să se limiteze la metode și axiome constructive, care stabilește (iii). În al patrulea rând, există un argument puternic și influent datorită lui Gödel (1944) conform căruia definițiile impredicative sunt legitime ori de câte ori obiectele definite există independent de definițiile noastre.(De exemplu, „cel mai înalt băiat din clasă” pare neproblematic, în ciuda faptului că este impredicativ.) Dacă acest lucru este corect, atunci (iv) ar urma. În cele din urmă, dacă matematica este despre o realitate existentă independent, atunci fiecare problemă matematică are un răspuns unic și determinat, ceea ce oferă cel puțin o motivație pentru optimismul Hilbertian. (A se vedea, cu toate acestea, discuția despre platonism plenitudinal în secțiunea 4.2.)

Adevărul platonismului matematic ar avea deci consecințe importante în cadrul matematicii însăși. Ar justifica metodele clasice asociate realismului de lucru și ar încuraja căutarea de noi axiome pentru soluționarea întrebărilor (cum ar fi Ipoteza continuă), care sunt lăsate deschise de teoriile noastre matematice actuale.

Totuși, realismul de lucru nu implică în niciun mod evident platonismul. Deși realismul de lucru spune că suntem îndreptățiți să folosim limbajul platonistic al matematicii contemporane, acest lucru se încadrează în platonism în cel puțin două moduri. Așa cum a arătat discuția de mai sus despre realismul valorii adevărului, limbajul platonistic al matematicii poate fi analizat astfel încât să se evite referirea și cuantificarea asupra obiectelor matematice. Mai mult, chiar dacă o analiză a valorii faciale a limbajului matematicii ar putea fi justificată, aceasta ar sprijini realismul obiectului, dar nu și platonismul. Un argument suplimentar ar fi necesar pentru a treia componentă a platonismului, și anume Independența. Perspectivele unui astfel de argument sunt discutate în secțiunea 4.1.

2. Argumentul Fregean pentru existență

Acum descriem un șablon al unui argument pentru existența obiectelor matematice. Deoarece primul filosof care a dezvoltat un argument al acestei forme generale a fost Frege, acesta va fi denumit argumentul Fregean. Dar șablonul este general și rezumă la cele mai specifice aspecte ale propriei apărări a lui Frege a existenței unor obiecte matematice, cum ar fi punctul său de vedere că aritmetica este reductibilă la logică. Logicismul fregean este doar o modalitate prin care acest șablon poate fi dezvoltat; alte câteva modalități vor fi menționate mai jos.

2.1 Structura argumentului

Argumentul Fregean se bazează pe două premise, dintre care prima se referă la semantica limbajului matematicii:

Semantica clasică.

Termenii singulari ai limbajului matematicii se referă la obiecte matematice, iar cuantificatorii săi de primă ordine trebuie să se extindă asupra unor astfel de obiecte.

Cuvântul „purport” trebuie explicat. Când o propoziție S intenționează să se refere sau să se cuantifice într-un anumit mod, aceasta înseamnă că pentru S să fie adevărat, S trebuie să reușească să se refere sau să se cuantifice în acest fel.

A doua premisă nu necesită prea multe explicații:

Adevărul.

Majoritatea propozițiilor acceptate ca teoreme matematice sunt adevărate (indiferent de structura lor sintactică și semantică).

Luați în considerare propozițiile care sunt acceptate ca teoreme matematice și care conțin unul sau mai mulți termeni matematici singulari. După Adevăr, majoritatea acestor propoziții sunt adevărate. [9] Fie S o astfel de propoziție. Prin Semantica clasică, adevărul lui S cere ca termenii săi singulari să reușească să se refere la obiecte matematice. Prin urmare, trebuie să existe obiecte matematice, după cum afirmă Existența. [10]

2.2 Apărarea semanticii clasice

Semantica clasică susține că limbajul matematicii funcționează semantic ca limbajul în funcții generale (sau cel puțin s-a presupus că funcționează în mod tradițional): funcțiile semantice ale termenilor și quantificatorilor singulari sunt de a se referi la obiecte și, respectiv, să se extindă peste obiecte. Aceasta este o afirmație larg empirică despre funcționarea unui limbaj semi-formal folosit de comunitatea matematicienilor profesioniști. (În terminologia larg adoptată de Burgess & Rosen 1997, p. 6–7, Semantica clasică este o afirmație hermeneutică; adică este o afirmație descriptivă despre modul în care se folosește de fapt o anumită limbă, nu o afirmație normativă despre modul în care această limbă ar trebui să fie utilizat.) Rețineți, de asemenea, că semantica clasicăeste compatibil cu cele mai tradiționale opinii despre semantică; în special, este compatibil cu toate punctele de vedere standard despre sensurile propozițiilor și anume faptul că acestea sunt valori de adevăr, propoziții sau seturi de lumi posibile.

Semantica clasică se bucură de o plauzibilitate puternică prima facie. Căci limbajul matematicii pare puternic să aibă aceeași structură semantică ca și limbajul obișnuit non-matematic. După cum observă Burgess (1999), următoarele două propoziții par să aibă aceeași structură semantică simplă a unui predicat atribuit unui subiect (p. 288):

(4) Evelyn este primordială.

(5) Eleven este prim.

Această apariție este susținută și de analizele semantice standard propuse de lingviști și semantici.

Semantica clasică a fost totuși contestată, de exemplu, de către nominaliști precum Hellman (1989) și Hofweber (2005 și 2016). (A se vedea, de asemenea, Moltmann (2013) pentru unele provocări legate de vocabularul aritmetic în limbajul natural.) Acesta nu este locul pentru o discuție extinsă a acestor provocări. Permiteți-mi să notez doar că este nevoie de multă muncă pentru a justifica acest tip de provocare. Provocatorul va trebui să argumenteze că aparentele similitudini semantice dintre limbajul matematic și non-matematic sunt înșelătoare. Iar aceste argumente vor trebui să fie de felul în care lingviștii și semanticii - fără niciun interes în privința filozofiei matematicii - să poată recunoaște ca fiind semnificative. [11]

2.3 Apărarea adevărului

Adevărul poate fi apărat într-o varietate de moduri diferite. Comuna tuturor apărărilor este că aceștia identifică mai întâi un standard prin care valorile de adevăr ale enunțurilor matematice pot fi evaluate și apoi susțin că teoremele matematice îndeplinesc acest standard.

O opțiune este să apelezi la un standard care este mai fundamental decât cel al matematicii în sine. Logicismul oferă un exemplu. Frege și alți logici susțin mai întâi că orice teoremă a logicii pure este adevărată. Apoi încearcă să arate că teoremele anumitor ramuri ale matematicii pot fi dovedite doar din logica pură și din definiții.

O altă opțiune este să apelezi la standardele științei empirice. Argumentul indispensabilitate Quine-Putnam oferă un exemplu. În primul rând, se susține că orice parte indispensabilă a științei empirice este probabil să fie adevărată și, prin urmare, ceva în care suntem justificați să credem. Atunci se susține că cantități mari de matematică sunt indispensabile științei empirice. Dacă ambele afirmații sunt corecte, rezultă că Adevărul este probabil să fie adevărat și că, prin urmare, credința în Adevăr este justificată. (A se vedea intrarea despre argumentele indispensabile din filosofia matematicii.)

O a treia opțiune este să apelezi la standardele de matematică în sine. De ce ar trebui să apelăm la standarde non-matematice, precum cele ale logicii sau științei empirice, pentru a apăra adevărul teoremelor matematice? Atunci când apărăm adevărul revendicărilor logicii și fizicii, nu trebuie să apelăm la standarde în afara logicii și fizicii. Mai degrabă presupunem că logica și fizica oferă propriile lor standarde de justificare sui generis. De ce ar trebui să fie matematica diferită? Această a treia strategie a primit multă atenție în ultimii ani, adesea sub rubrica „naturalism” sau „naturalism matematic”. (Vezi Burgess & Rosen 1997, Maddy 1997 și, pentru discuții critice, vezi intrarea despre naturalism în filozofia matematicii.)

Iată un exemplu despre cum poate fi dezvoltată o strategie naturalistă. Apelați atitudinea pe care matematicienii o iau în fața teoremelor „acceptării” matematicii. Apoi, următoarele afirmații par plauzibile:

(6) Matematicienii sunt justificați în acceptarea teoremelor matematicii.

(7) Acceptarea unei afirmații matematice S implică asumarea lui S pentru a fi adevărat.

(8) Atunci când un matematician acceptă o afirmație matematică S, conținutul acestei atitudini este în general sensul literal al lui S.

Din aceste trei afirmații rezultă că experții matematici sunt justificați să ia teoremele matematicii ca fiind adevăruri literale. Prin extindere, și noi ceilalți suntem îndreptățiți să credem în Adevăr. Rețineți că experții pentru care este preocupat (6) nu trebuie să creadă ei înșiși (7) și (8), cu atât mai puțin să fie justificați în orice astfel de credință. Ceea ce contează este că cele trei pretenții sunt adevărate. Sarcina de a stabili adevărul de la (7) și (8) poate reveni unor lingviști, psihologi, sociologi sau filozofi, dar cu siguranță nu asupra matematicienilor înșiși.

2.4 Noțiunea de angajament ontologic

Versiunile argumentului fregean sunt uneori enunțate în termenii noțiunii de angajament ontologic. Presupunem că funcționăm cu criteriul standard Quinean al angajamentului ontologic:

Criteriul Quine.

O propoziție de prim ordin (sau o colecție de astfel de propoziții) este angajată ontologic pentru astfel de obiecte care trebuie să se presupună că se află în intervalul variabilelor pentru ca propoziția (sau colecția de propoziții) să fie adevărată.

Apoi rezultă din Semantica clasică că multe propoziții ale matematicii sunt angajate ontologic cu obiecte matematice. Pentru a vedea acest lucru, ia în considerare o teoremă matematică tipică S, care implică o apariție extensivă normală a termenilor singulari sau a cuantificatorilor de prim ordin. Prin Semantica clasică, aceste expresii intenționează să se refere la sau să se întindă peste obiecte matematice. Pentru ca S să fie adevărat, aceste expresii trebuie să reușească să facă ceea ce intenționează să facă. În consecință, pentru ca S să fie adevărat, trebuie să existe obiecte matematice în intervalul variabilelor. Prin Criteriul lui Quine aceasta înseamnă că S este angajat ontologic cu obiecte matematice.

Quine și mulți alții consideră că criteriul lui Quine nu este decât o definiție a termenului „angajament ontologic” (Quine 1969 și Burgess 2004). Dar criteriul a fost totuși contestat. Unii filosofi neagă faptul că termenii singulari și cuantificatorii de prim ordin dau naștere automat la angajamente ontologice. Poate că ceea ce este „cerut lumii” pentru ca propoziția să fie adevărată implică existența unora, dar nu a tuturor obiectelor din gama cuantificatoarelor (Rayo 2008). Sau poate că ar trebui să împărțim legătura dintre cuantificatorul existențial de prim ordin și noțiunea de angajament ontologic (Azzouni 2004, Hofweber 2000 și 2016).

Un răspuns la aceste provocări este de a observa că argumentul Fregean a fost dezvoltat mai sus, fără a folosi niciun cuvânt „angajament ontologic”. Prin urmare, orice provocare la definirea „angajamentului ontologic” oferită de Criteriul lui Quine pare irelevantă pentru versiunea argumentului fregean dezvoltat mai sus. Cu toate acestea, este puțin probabil ca acest răspuns să satisfacă provocatorii, care vor răspunde că concluzia argumentului dezvoltat mai sus este prea slabă pentru a avea efectul intenționat. Reamintim că concluzia, Existența, este formalizată în meta-limbajul nostru filosofic L Pca „∃ x Mx”. Deci această formalizare nu va avea efectul intenționat decât dacă această propoziție meta-limbaj nu este de genul care implică angajament ontologic. Dar tocmai asta se dispută provocatorii. Această controversă nu poate fi urmărită mai departe aici. Deocamdată, observăm pur și simplu că provocatorii trebuie să ofere o informație despre motivul pentru care noțiunea lor non-standard de angajare ontologică este mai bună și teoretic mai interesantă decât noțiunea standard de tip Quinean.

2.5. De la existență la platonismul matematic?

Să presupunem că acceptăm Existența, probabil pe baza argumentului Fregean. După cum am văzut, aceasta nu este încă de acceptat platonismul matematic, care este rezultatul adăugării la Existență a celor două revendicări suplimentare Abstenție și Independență. Aceste două cereri suplimentare sunt de apărat?

După standardele filozofiei, Abstractness a rămas relativ necontrolat. Printre puținii filosofi care l-au contestat sunt Maddy (1990) (despre seturi impure) și Bigelow (1988) (despre seturi și diverse tipuri de numere). Această relativă lipsă de controverse înseamnă că puține apărări explicite ale abstractitățiiA fost dezvoltat. Dar nu este greu să vezi cum ar putea merge o astfel de apărare. Iată o idee. Este o constrângere plauzibilă prima facie asupra oricărei interpretări filozofice a practicii matematice, care ar trebui să evite atribuirea la matematică a unor caracteristici care ar face ca practica matematică reală să fie ghidată sau inadecvată. Această constrângere face greu de negat faptul că obiectele matematicii pure sunt abstracte. Căci dacă aceste obiecte ar avea locații spațio-temporale, atunci practica matematică reală ar fi ghidată și inadecvată, deoarece matematicienii puri ar trebui să se intereseze pentru locațiile obiectelor lor, la fel cum zoologii se interesează de locațiile animalelor. Faptul că matematicienii puri nu se interesează de această întrebare sugerează că obiectele lor sunt abstracte.

Independența spune că obiectele matematice, dacă există, sunt independente de agenții inteligenți și de limbajul, gândirea și practicile lor. Vom discuta la ce ar putea reprezenta această teză și cum ar putea fi apărată, în secțiunea 4.

3. Obiecții față de platonismul matematic

Au fost dezvoltate o serie de obiecții față de platonismul matematic. Iată care sunt cele mai importante.

3.1 Acces epistemologic

Cea mai influentă obiecție este probabil cea inspirată de Benacerraf (1973). Ceea ce urmează este o versiune îmbunătățită a obiecției lui Benacerraf din cauza Field (1989). [12] Această versiune se bazează pe următoarele trei premise.

Locul 1. Matematicienii sunt de încredere, în sensul că pentru aproape fiecare propoziție matematică S, dacă matematicienii acceptă S, atunci S este adevărat.
Locația 2. Pentru ca credința în matematică să fie justificată, cel puțin în principiu trebuie să fie posibilă explicarea fiabilității descrise în Premisa 1.
Locul 3. Dacă platonismul matematic este adevărat, atunci această fiabilitate nu poate fi explicată nici măcar în principiu.

Dacă aceste trei premise sunt corecte, va urma că platonismul matematic subcotifică justificarea noastră pentru a crede în matematică.

Dar sunt corecte premisele? Primele două premise sunt relativ necontrolate. Cei mai mulți platoniști sunt deja angajați cu Premisa 1. Și Premisa 2 pare destul de sigură. Dacă fiabilitatea unor proceduri de formare a credințelor nu ar putea fi explicată nici măcar în principiu, atunci procedura ar părea să funcționeze pur întâmplător, reducând astfel orice justificare pe care o avem pentru credințele produse în acest mod.

Premisa 3 este mult mai controversată. Field apără această premisă observând că „valorile de adevăr ale afirmațiilor noastre matematice depind de fapte care implică entități platonice care se află într-un tărâm în afara spațiului timpului” (Câmpul 1989, p. 68) și, prin urmare, sunt izolate cauzal de noi chiar și în principiu. Cu toate acestea, această apărare presupune că orice explicație adecvată a fiabilității în cauză trebuie să implice o oarecare corelație cauzală. Aceasta a fost contestată de o varietate de filosofi care au propus explicații mai minime ale cererii de fiabilitate. (A se vedea Burgess & Rosen 1997, p. 41–49 și Lewis 1991, p. 111–112; a se vedea, de asemenea, Clarke-Doane 2016. A se vedea Linnebo 2006 pentru o critică.) [13]

3.2 O obiecție metafizică

Un alt articol celebru al lui Benacerraf dezvoltă o obiecție metafizică față de platonismul matematic (Benacerraf 1965, cf. de asemenea Kitcher 1978). Deși Benacerraf se concentrează pe aritmetică, obiecția se generalizează în mod natural la majoritatea obiectelor matematice pure.

Benacerraf se deschide apărând ceea ce este cunoscut acum ca o vedere structuralistă a numerelor naturale, conform cărora numerele naturale nu au alte proprietăți decât cele pe care le au în virtutea pozițiilor într-o secvență ω. De exemplu, nu există nimic mai mult decât a fi numărul 3 decât a avea anumite proprietăți relaționale definite intrastructural, cum ar fi succesul 2, a fi jumătate din 6 și a fi prim. Oricât de greu am studia aritmetica și teoria seturilor, nu vom ști niciodată dacă 3 este identic cu cel de-al patrulea von Neumann ordinal, sau cu Zermelo ordinal corespunzător, sau poate, așa cum sugera Frege, cu clasa tuturor claselor cu trei membri (într-un sistem care permite existența unor astfel de clase).

Benacerraf trage acum următoarea concluzie:

Prin urmare, numerele nu sunt deloc obiecte, pentru că, în acordarea proprietăților … a numerelor, caracterizați doar o structură abstractă - iar distincția constă în faptul că „elementele” structurii nu au alte proprietăți decât cele referitoare la alte „ elemente”ale aceleiași structuri. (Benacerraf 1965, p. 291)

Cu alte cuvinte, Benacerraf susține că nu pot exista obiecte care să nu aibă decât proprietăți structurale. Toate obiectele trebuie să aibă și unele proprietăți nestructurale. (Vezi Benacerraf 1996 pentru câteva reflecții ulterioare asupra acestui argument.)

Ambele etape ale argumentului lui Benacerraf sunt controversate. Primul pas - că numerele naturale au doar proprietăți structurale - a fost apărat recent de o varietate de structuraliști matematici (Parsons 1990, Resnik 1997 și Shapiro 1997). Dar acest pas este refuzat de către logici și neo-logiciști, care susțin că numerele naturale sunt intrinsec legate de cardinalitățile colecțiilor pe care le numără. Iar cel de-al doilea pas - că nu pot exista obiecte cu doar proprietăți structurale - este în mod explicit respins de toți structuraliștii care apără primul pas. (Pentru unele voci simpatice cu al doilea pas, consultați Hellman 2001 și MacBride 2005. A se vedea, de asemenea, Linnebo 2008 pentru discuții.)

3.3 Alte obiecții metafizice

Pe lângă cele ale lui Benacerraf, au fost dezvoltate o serie de obiecții metafizice la platonismul matematic. Unul dintre cele mai cunoscute exemple este un argument al lui Nelson Goodman împotriva teoriei de seturi. Goodman (1956) apără Principiul nominalismului, care afirmă că, de câte ori două entități au aceleași componente de bază, acestea sunt identice. Acest principiu poate fi considerat ca o întărire a axiomului teoretic al extensionalității. Axioma extensionalității afirmă că dacă două seturi x și y au aceleași elemente - adică dacă ∀ u (u ∈ x ↔ u ∈ y) - măresc acestea sunt identice. Principiul nominalismului se obține prin înlocuirea relației de membru cu închiderea sa tranzitivă. [14]Prin urmare, principiul afirmă că dacă x și y sunt suportate ∈ * de aceiași indivizi - adică dacă ∀ u (u ∈ * x ↔ u ∈ * y) -then x și y sunt identici. Prin aprobarea acestui principiu, Goodman nu permite formarea de seturi și clase, permițând doar formarea de sume mereologice și aplicarea operațiunilor mereologice standard (așa cum este descris de „calculul indivizilor”).

Cu toate acestea, apărarea lui Goodman a Principiului nominalismului este acum considerată a fi neconvingătoare, așa cum este mărturisită prin acceptarea pe scară largă de către filosofi și matematicieni a teoriei de set ca o ramură legitimă și valoroasă a matematicii.

4. Între realismul obiectului și platonismul matematic

Realismul obiectului spune că există obiecte matematice abstracte, în timp ce platonismul adaugă Independența, care spune că obiectele matematice sunt independente de agenții inteligenți și de limbajul, gândirea și practicile lor. Această secțiune finală examinează unele forme ușoare de realism obiect care se opresc din platonismului deplin.

4.1 Cum să înțelegem independența

Un luciu natural asupra independenței este condiția contrafactuală că, dacă nu ar fi existat agenți inteligenți sau dacă limbajul, gândirea sau practicile lor ar fi fost adecvate diferit, ar fi existat în continuare obiecte matematice.

Această independență contrafactuală (așa cum o putem numi) este acceptată de majoritatea filozofilor analitici. Pentru a vedea de ce, luați în considerare rolul pe care îl joacă matematica în raționamentul nostru. De multe ori ne gândim la scenarii care nu sunt reale. Am fi fost să construim un pod peste acest canion, să spunem, cât de puternic ar trebui să fie să reziste la rafalele puternice ale vântului? Din păcate, podul anterior s-a prăbușit. Ar fi făcut acest lucru dacă grinzile de oțel ar fi fost de două ori mai groase? Această formă de raționament despre scenarii contrafactuale este indispensabilă atât pentru deliberările noastre cotidiene, cât și pentru știință. Permisibilitatea unui astfel de raționament are o consecință importantă. Întrucât adevărurile matematicii pure pot fi apelate în mod liber la raționamentul nostru contrafactual, rezultă că aceste adevăruri sunt contrafăcut independente de noi, oamenii,și toate celelalte vieți inteligente pentru această chestiune. Adică, dacă nu ar fi existat o viață inteligentă, aceste adevăruri ar fi rămas la fel.

În această privință, matematica pură este foarte diferită de adevărurile empirice obișnuite. Dacă viața inteligentă nu ar fi existat niciodată, acest articol nu ar fi fost scris. Mai interesant, matematica pură contrastează și cu diverse convenții și construcții sociale, cu care este uneori comparată (Cole 2009, Feferman 2009, Hersh 1997). Dacă viața inteligentă nu ar fi existat niciodată, nu ar fi existat legi, contracte sau căsătorii, totuși adevărurile matematice ar fi rămas aceleași.

Astfel, dacă Independența este înțeleasă doar ca o independență contrafactuală, atunci oricine acceptă realismul obiect ar trebui să accepte și platonismul.

Cu toate acestea, este îndoielnic că această înțelegere a independenței este suficientă. Căci Independența este menită să demonstreze o analogie între obiectele matematice și cele fizice obișnuite. La fel cum electronii și planetele există independent de noi, la fel și numerele și seturile. La fel cum afirmațiile despre electroni și planete sunt făcute adevărate sau false de obiectele pentru care sunt în cauză și de proprietățile perfect obiective ale acestor obiecte, la fel și enunțurile despre numere și seturi. Pe scurt, obiectele matematice sunt la fel de „reale” ca și obiectele fizice obișnuite (dacă nu chiar mai mult, așa cum credea Platon).

Să analizăm acum câteva puncte de vedere care resping această înțelegere mai puternică a independenței în termenii analogiei menționate. Aceste puncte de vedere sunt astfel forme ușoare ale realismului obiectelor, care se opresc din lipsa de platonism complet.

4.2 Platonism plin

O formă ușoară de realism obiect este „platonismul plin de sânge” al Balaguer 1998. Această viziune este caracterizată de un principiu de plenitudine în sensul că există orice obiecte matematice care ar putea exista. De exemplu, întrucât Ipoteza continuă este independentă de axiomatizarea standard a teoriei de seturi, există un univers de seturi în care ipoteza este adevărată și o alta în care este falsă. Și niciun univers nu este privilegiat metafizic. Dimpotrivă, platonismul tradițional afirmă că există un univers unic de seturi în care Ipoteza continuă este fie adevărat sau fie fals. [15]

Un presupus beneficiu al acestei viziuni plenitudinale este în epistemologia matematicii. Dacă fiecare teorie matematică consecventă este adevărată pentru un anumit univers de obiecte matematice, atunci cunoștințele matematice vor fi, într-un anumit sens, ușor de obținut: cu condiția ca teoriile noastre matematice să fie consecvente, li se garantează că este adevărat pentru un anumit univers de obiecte matematice.

Cu toate acestea, „platonismul plin de sânge” a primit multe critici. Colyvan și Zalta 1999 o critică pentru că a subminat posibilitatea trimiterii la obiecte matematice, iar Restall 2003, pentru că nu are o formulare precisă și coerentă a principiului plenitudinii pe care se bazează viziunea. Martin (2001) propune ca diferite universuri de seturi să fie amalgamate pentru a produce un singur univers maxim, care va fi privilegiat prin potrivirea concepției noastre despre set mai bine decât oricare alt univers de seturi.

O versiune diferită a platonismului plenitudinal este dezvoltată în Linsky și Zalta 1995 și o serie de articole suplimentare. (A se vedea, de exemplu, Linsky & Zalta 2006 și alte articole citate acolo.) Platonismul tradițional merge greșit prin „conceperea [de] obiecte abstracte pe modelul obiectelor fizice” (Linsky & Zalta 1995, p. 533), inclusiv în în special ideea că astfel de obiecte sunt „mai slabe” și nu pline de atitudine. Linsky & Zalta dezvoltă o abordare alternativă pe baza „teoriei obiectului” al doilea autor. Principala caracteristică a teoriei obiectelor este un principiu de înțelegere foarte general care afirmă existența unei plenitudini de obiecte abstracte: pentru orice colecție de proprietăți, există un obiect abstract care „codifică” tocmai aceste proprietăți. În teoria obiectelor, în plus,două obiecte abstracte sunt identice doar în cazul în care codifică exact aceleași proprietăți. Principiul de înțelegere al teoriei obiectelor și criteriul de identitate se spune că „oferă legătura dintre facultatea noastră cognitivă de înțelegere și obiectele abstracte” (ibid., P. 547). (Consultați Ebert și Rossberg 2007 pentru discuții critice.)

4.3 Valori semantice ușoare

Presupunem că realismul obiectului este adevărat. Pentru comoditate, presupuneți și Semantica clasică. Aceste presupuneri se asigură că termenii și cuantificatorii singulari ai limbajului matematic se referă și se extind asupra obiectelor abstracte. Având în vedere aceste presupuneri, ar trebui să fie și un platonist matematic? Cu alte cuvinte, obiectele la care se referă propozițiile matematice și le cuantifică satisfac Independența sau o anumită condiție similară?

Vă va fi util să ne reînnoim ipotezele în termeni mai neutri. Putem face acest lucru invocând noțiunea de valoare semantică, care joacă un rol important în semantică și filosofia limbajului. În aceste câmpuri se presupune pe larg că fiecare expresie aduce o contribuție certă la valoarea de adevăr a propozițiilor în care apare expresia. Această contribuție este cunoscută sub numele de valoarea semantică a expresiei. Se presupune pe larg că (cel puțin în contexte extensive) valoarea semantică a unui termen singular este doar referentul său.

Presupunerile noastre pot fi acum declarate în mod neutru ca afirmația potrivit căreia termenii matematici singulari au valori semantice abstracte și că cuantificatorii săi se încadrează în tipurile de item care servesc ca valori semantice. Să ne concentrăm asupra afirmației despre termeni singulari. Care este semnificația filozofică a acestei afirmații? În special, acceptă o anumită versiune a Independenței ? Răspunsul va depinde de ceea ce este necesar pentru ca un termen singular matematic să aibă o valoare semantică.

Unii filosofi susțin că nu este necesar foarte mult (Frege 1953, Dummett 1981, Dummett 1991a, Wright 1983, Hale & Wright 2000, Rayo 2013 și Linnebo 2012 și 2018). Este suficient ca termenul t să aducă o contribuție certă la valorile de adevăr ale propozițiilor în care apare. Întregul scop al noțiunii de valoare semantică era reprezentarea unor astfel de contribuții. Prin urmare, este suficient ca un termen singular să posede o valoare semantică încât să aducă o asemenea contribuție adecvată.

Acest lucru poate chiar deschide calea către o formă de reducționism non-eliminatoriu despre obiectele matematice (Dummett 1991a, Linnebo 2018). Deși este adevărat că termenul singular matematic t are un obiect abstract ca valoare semantică, acest adevăr se poate obține în virtutea unor fapte mai de bază care nu menționează sau implică obiectul abstract relevant. Comparați, de exemplu, relația de proprietate obținută între o persoană și contul ei bancar. Deși este adevărat că persoana care deține un cont bancar, acest adevăr poate obține în virtutea unor fapte sociologice sau psihologice de bază, care nu menționează sau implică contul bancar.

Dacă o relatare ușoară a valorilor semantice este de apărare, putem accepta ipotezele realismului obiectului și ale semanticii clasice fără a ne angaja în vreo formă tradițională sau robustă a platonismului.

4.4 Alte două forme ușoare de realism obiect

Încheiem prin descrierea a două exemple suplimentare de forme ușoare de realism obiect care resping analogia platonistică dintre obiectele matematice și obiectele fizice obișnuite.

În primul rând, poate că obiectele matematice există doar într-o manieră potențială, ceea ce contrastează cu modul de existență real al obiectelor fizice obișnuite. Această idee se află în centrul noțiunii antice de infinit potențial (Lear 1980, Linnebo & Shapiro 2017). Potrivit lui Aristotel, numerele naturale sunt potențial infinite în sensul că, oricât de mare ar fi fost produsul (prin instantarea lui în lumea fizică), este posibil să se producă un număr și mai mare. Dar Aristotel neagă că numerele naturale sunt de fapt infinite: acest lucru ar necesita ca lumea fizică să fie infinită, ceea ce susține că este imposibil.

În urma lui Cantor, majoritatea matematicienilor și filozofilor apără acum infinitatea reală a numerelor naturale. Acest lucru este posibil în parte prin negarea cerinței aristotelice conform căreia fiecare număr trebuie instiințat în lumea fizică. Când acest lucru este refuzat, infinitatea reală a numerelor naturale nu mai implică infinitatea reală a lumii fizice.

Cu toate acestea, o formă de potențialism despre ierarhia seturilor continuă să se bucure de un sprijin considerabil, în special în legătură cu concepția iterativă a seturilor (Parsons 1977, Jané 2010, Linnebo 2013, Studd 2013). Oricât de multe seturi au fost formate, este posibil să se formeze și mai mult. Dacă este adevărat, acest lucru ar însemna că seturile au o formă potențială de existență care le distinge brusc de obiectele fizice obișnuite.

În al doilea rând, poate că obiectele matematice sunt ontologic dependente sau derivate într-un mod care le distinge de obiectele fizice existente independent (Rosen 2011, Donaldson 2017). De exemplu, de părerea aristotelică tocmai menționată, un număr natural depinde pentru existența sa de o anumită instantanee sau alta din lumea fizică. Există și alte versiuni ale vizualizării. De exemplu, Kit Fine (1995) și alții susțin că un set depinde ontologic de elementele sale. (Această viziune este, de asemenea, strâns legată de potențialul teoretic de set menționat mai sus.)

Bibliografie

  • Azzouni, Jody, 2004, Deflating Existential Conséquence: A Case for Nominalism, Oxford: Oxford University Press.
  • Balaguer, Mark, 1998, Platonism și anti-platonism în matematică, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2001, „O teorie a corectitudinii matematice și a adevărului matematic”, Pacific Philosophical Trimestrial, 82: 87–114.
  • Benacerraf, Paul, 1965, „Ce numere nu au putut fi”, Philosophical Review, 74: 47–73.
  • –––, 1973, „Adevărul matematic”, Journal of Philosophy, 70 (19): 661–679.
  • –––, 1996, „Ce adevăr matematic nu putea fi, i”, în Benacerraf și Criticii săi, A. Morton și S. Stich, eds., Oxford: Blackwell.
  • Benacerraf, Paul și Putnam, Hilary (eds.), 1983, Filosofia matematicii: lecturi alese, Cambridge: Cambridge University Press. A doua editie.
  • Bernays, Paul, 1935, „Despre platonism în matematică”, reimprimat în Benacerraf și Putnam (1983).
  • Bigelow, John, 1988, The Reality of Numbers: A Physicalist's Philosophy of Mathematics, Oxford: Clarendon.
  • Burgess, John P., 1999, „Review of Stewart Shapiro, Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 40 (2): 283–91.
  • –––, 2004, „Recapitularea lui Jody Azzouni, Deflating Existential Conséquence: A Case for Nominalism”, Buletinul logicii simbolice, 10 (4): 573–577.
  • Burgess, John P. și Rosen, Gideon, 1997, Un subiect fără obiect, Oxford: Oxford University Press.
  • Cole, Julian C., 2009, „Creativitate, libertate și autoritate: o nouă perspectivă asupra metafizicii matematicii”, Jurnalul Australasian de Filozofie, 87: 589–608.
  • Clarke-Doane, Justin, 2017, „Care este problema Benacerraf?”, În Noi perspective despre filosofia lui Paul Benacerraf: Adevăr, obiecte, infinit (volumul 28: Logică, epistemologie și unitatea științei), F. Pataut (ed.), Cham: Springer, 17–43.
  • Colyvan, Mark și Zalta, Edward N., 1999, „Matematică: adevăr și ficțiune?”, Philosophia Mathematica, 7 (3): 336–349.
  • Donaldson, Thomas, 2017, „Bazele (metafizice) ale aritmeticii?”, Noûs, 51 (4): 775–801.
  • Dummett, Michael, 1978a, „Baza filosofică a logicii intuiționale”, în Adevăr și alte enigme, Cambridge, MA: Harvard University Press, 215–247; retipărit în Benacerraf și Putnam (1983).
  • –––, 1978b, Adevăr și alte enigme, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1981, Frege: Philosophy of Language, Cambridge, MA: Harvard University Press, ediția a doua.
  • –––, 1991a, Frege: Filosofia matematicii, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1991b, Bazele logice ale metafizicii, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Ebert, Philip și Rossberg, Marcus, 2007, „Care este scopul neo-logismului?”, Travaux de Logique, 18: 33–61.
  • Feferman, Solomon, 2009, „Concepțiile continuumului”, Intellectica, 51: 169–89.
  • Field, Hartry, 1989, Realism, Matematică și modalitate, Oxford: Blackwell.
  • Fine, Kit, 1994, „Dependența ontologică”, Proceedings of the Aristotelian Society, 95: 269-290.
  • Frege, Gottlob, 1953, Fundațiile aritmeticii, Oxford: Blackwell. Transl. de JL Austin.
  • Gaifman, Haim, 1975, „Ontologie și cadre conceptuale, partea I”, Erkenntnis, 9: 329–353.
  • Gödel, Kurt, 1944, „Logica matematică a lui Russell”, în Benacerraf și Putnam (1983).
  • –––, 1964, „Ce este ipoteza continuă a lui Cantor?”, În Benacerraf și Putnam (1983).
  • –––, 1995, „Câteva teoreme de bază privind fundamentele matematicii și implicațiile lor”, în Collected Words, S. Feferman și colab., Oxford: Oxford University Press, voi. III, 304–323.
  • Goodman, Nelson, 1956, „O lume a indivizilor”, reeditat. în P. Benacerraf și H. Putnam, eds., Filosofia matematicii: lecturi alese, ediția I, Prentice-Hall.
  • Hale, Bob, 1987, Obiecte abstracte, Oxford: Blackwell.
  • Hale, Bob and Wright, Crispin, 2000, „Implicit Definition and the A Priori”, în New Essays on the Priori, Paul Boghossian și Christopher Peacocke, eds., Oxford: Oxford University Press. Reimprimat în Hale și Wright (2001).
  • –––, 2001, Reason's Proper Study, Oxford: Clarendon.
  • Hellman, Geoffrey, 1989, Matematică fără numere, Oxford: Clarendon.
  • –––, 2001, „Trei varietăți de structuralism matematic”, Philosophia Mathematica, 9 (3): 184–211.
  • Hersh, Reuben, 1997, Ce este de fapt Matematica?, Oxford: Oxford University Press.
  • Hilbert, David, 1996, „Probleme matematice”, în From Kant to Hilbert, William Ewald, ed., Oxford: Oxford University Press, voi. 2, 1096-1105.
  • Hofweber, Thomas, 2000, „Cuantificarea și obiectele inexistente”, în Nume goale, ficțiune și puzzle-ul inexistenței, Anthony Everett și Thomas Hofweber, eds., Stanford, CA: CSLI Publications, 249–73.
  • –––, 2005, „Determinatori de numere, numere și aritmetică”, Philosophical Review, 114 (2): 179-225.
  • –––, 2016, Ontologia și Ambitiile metafizicii, Oxford: Oxford University Press.
  • Isaacson, Daniel, 1994, „Matematica intuiție și obiectivitate”, în Matematică și minte, Alexander George, ed., Oxford: Oxford University Press, cap. 5.
  • Jané, Ignasi, 2010, „Elemente idealiste și realiste în abordarea lui Cantor pentru teoria seturilor”, Philosophia Mathematica, 18 (2): 193–226.
  • Kitcher, Philip, 1978, „Situația platonistului”, Noûs, 12: 119–136.
  • Kreisel, Georg, 1958, „Revizuirea observațiilor lui Wittgenstein despre fundamentele matematicii”, British Journal for the Philosophy of Science, 9: 135–158.
  • Lear, Jonathan, 1980, „infinitul aristotelic”, Proceedings of the Aristotelian Society, 80: 187–210.
  • Lewis, David, 1991, Părți ale claselor, Oxford: Blackwell.
  • Linnebo, Øystein, 2006, „Provocări epistemologice la platonismul matematic”, Studii filosofice, 129 (3): 545–574.
  • –––, 2008, „Structuralismul și noțiunea de dependență”, Filozofic trimestrial, 58: 59–79.
  • –––, 2012, „Referire prin abstractizare”, Proceedings of the Aristotelian Society, 112: 45–71.
  • –––, 2013, „Ierarhia potențială a seturilor”, Revizuirea logicii simbolice, 6 (2): 205–228.
  • –––, 2017, Filosofia matematicii, Princeton: Princeton University Press.
  • –––, 2018, Thin Objects: An Abstractionist Account, Oxford: Oxford University Press.
  • Linnebo, Øystein și Shapiro, Stewart, 2017, „Infinitate actuală și potențială”, Noûs, doi: 10.1111 / nous.12208.
  • Linsky, Bernard și Zalta, Edward N., 1995, „Platonismul naturalizat versus naturalismul platonizat”, Journal of Philosophy, 92 (10): 525–555.
  • Linsky, Bernard și Zalta, Edward N., 2006, „Ce este neologicismul?”, Buletinul logicii simbolice, 12 (1): 60–99.
  • MacBride, Fraser, 2005, „Structuralism Reconsidered”, în Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Stewart Shapiro, ed., Oxford: Clarendon, 563–589.
  • Maddy, Penelope, 1990, Realism în matematică, Oxford: Clarendon.
  • –––, 1997, Naturalism în matematică, Oxford: Clarendon.
  • Martin, Donald A., 2001, „Mai multe universuri de seturi și valori de adevăr nedeterminate”, Topoi, 20 (1): 5–16.
  • Moltmann, Friederike, 2013, „Referințe la numere în limbajul natural”, Studii filosofice, 162: 499–536.
  • Parsons, Charles, 1977, „Care este concepția iterativă a setului?” în Logică, Fundații de Matematică și Teoria Calculabilității (Universitatea din Western Ontario Series în Philosophy of Science: Volume 9), RE Butts și J. Hintikka (eds.), Dortrecht: Springer, 335–367.
  • –––, 1980, „Intuitia matematica”, Proceedings of the Aristotelian Society, 80: 145–68.
  • –––, 1983, Matematică în filozofie, Ithaca, NY: Cornell University Press.
  • –––, 1990, „Vederea structurală a obiectelor matematice”, Synthese, 84: 303–346.
  • –––, 1995, „Platonismul și intuiția matematică în gândirea lui Kurt Gödel”, Buletinul logicii simbolice, 1 (1): 44–74.
  • Quine, WV, 1969, „Existența și cuantificarea”, în Relativitatea ontologică și alte eseuri, New York: Columbia University Press, 91–113.
  • Rayo, Agustín, 2008, „La specificarea condițiilor de adevăr”, Philosophical Review, 117 (3): 385–443.
  • –––, 2013, The Construction of Space Logical, Oxford: Oxford University Press.
  • Rees, DA, 1967, „Platonismul și tradiția platonică”, în The Encyclopedia of Philosophy, Paul Edwards, ed., New York: Macmillan, vol. 5, 333–341.
  • Resnik, Michael, 1980, Frege and the Philosophy of Mathematics, Ithaca, NY: Cornell University Press.
  • –––, 1997, Matematica ca știință a modelelor, Oxford: Oxford University Press.
  • Restall, Greg, 2003, „Doar ce este platonismul plin de sânge?”, Philosophia Mathematica, 11 (1): 82–91.
  • Rosen, Gideon, 2011, „Realitatea obiectelor matematice”, în Meaning in Mathematics, J. Polkinghorne (ed.), Oxford: Oxford University Press, 113–132.
  • Shapiro, Stewart, 1997, Filosofia matematicii: structură și ontologie, Oxford: Oxford University Press.
  • Studd, James, 2013, „The Iterative Conception of Set: a (Bi-) Axiomatization modal”, Journal of Philosophical Logic, 42 (5): 1–29.
  • Wright, Crispin, 1983, Concepția lui Frege a numerelor ca obiecte, Aberdeen: Aberdeen University Press.
  • –––, 1992, Adevăr și obiectivitate, Cambridge, MA: Harvard University Press.

Instrumente academice

pictograma omului sep
pictograma omului sep
Cum se citează această intrare.
pictograma omului sep
pictograma omului sep
Previzualizați versiunea PDF a acestei intrări la Societatea Prietenii SEP.
pictograma inpho
pictograma inpho
Căutați acest subiect de intrare la Proiectul Ontologia Filozofiei pe Internet (InPhO).
pictograma documente phil
pictograma documente phil
Bibliografie îmbunătățită pentru această intrare la PhilPapers, cu link-uri către baza de date a acesteia.

Alte resurse de internet

[Vă rugăm să contactați autorul cu sugestii.]

Recomandat: