Logica Substructurală

Cuprins:

Logica Substructurală
Logica Substructurală
Anonim

Navigare la intrare

  • Cuprins de intrare
  • Bibliografie
  • Instrumente academice
  • Prieteni PDF Previzualizare
  • Informații despre autor și citare
  • Inapoi sus

Logica substructurală

Publicat pentru prima dată joi, 4 iulie 2000; revizuire de fond miercuri, 21 februarie 2018

Logica substructurală este o logică non-clasică mai slabă decât logica clasică, notabilă pentru absența regulilor structurale prezente în logica clasică. Aceste logici sunt motivate de considerații din filozofie (logică relevantă), lingvistică (calculul Lambek) și calcul (logică liniară). În plus, tehnici din logica substructurală sunt utile în studiul logicii tradiționale, cum ar fi logica clasică și intuițională. Acest articol oferă o scurtă privire de ansamblu a câmpului logicii substructurale. Pentru o introducere mai detaliată, completată cu teoreme, dovezi și exemple, cititorul poate consulta cărțile și articolele din Bibliografie.

  • 1. Reziduu
  • 2. Logica în familie
  • 3. Sisteme de probă
  • 4. Semantica
  • Bibliografie
  • Instrumente academice
  • Alte resurse de internet
  • Intrări conexe

1. Reziduu

Logica este despre consecințe logice. Drept urmare, condiționalul este o noțiune centrală în logică datorită conexiunii sale intime cu consecința logică. Această conexiune este exprimată perfect în condiția de reziduare (cunoscută și sub numele de teorema deducției):

[p, q / vdash r / text {dacă și numai dacă} p / vdash q / rightarrow r)

Se spune că (r) urmează de la (p) împreună cu (q) tocmai când (q / rightarrow r) urmează de la (p) singur. Valabilitatea tranziției de la (q) la (r) (dat (p)) este înregistrată de condițional (q / rightarrow r).

Această legătură între condițională și consecință se numește reziduu prin analogie cu cazul în matematică. Luați în considerare conexiunea dintre adunare și scădere. (a + b = c) dacă și numai dacă (a = c - b). Rezultatul (a) (care este (c - b)) este rezidual, ceea ce a mai rămas din (c) când (b) este luat. Un alt nume pentru această conexiune este teorema deducției.

Cu toate acestea, conexiunea dintre consecință și condițional conține un factor suplimentar. Nu numai că există turnicul, pentru consecință logică, și consecința condițională, care codifică în limbajul propozițiilor, există și virgula, indicând combinația de premise. Am citit „(p, q / vdash r)” după cum „(r) rezultă din (p) împreună cu (q)”. A combina premisele înseamnă a avea o modalitate de a le lua împreună. Dar cum să le luăm împreună? Se dovedește că există diferite modalități de a face acest lucru, și deci, diferite logici substructurale. Comportamentul combinației premise variază pe măsură ce comportamentul condiționatului variază. În această introducere vom lua în considerare câteva exemple.

1.1 Slăbire

Un lucru pentru (p) este adevărat. Este alta pentru condițional (q / rightarrow p) să fie adevărat. Cu toate acestea, dacă „(rightarrow)” este un material condiționat, (q / rightarrow p) rezultă din (p). Din mai multe motive diferite, am putea dori să înțelegem cum poate funcționa un condiționat în absența acestei inferențe. Acest lucru este legat de comportamentul combinației premise, după cum se poate arăta din această demonstrație.

(cfrac {p / vdash p} { cfrac {p, q / vdash p} {p / vdash q / rightarrow p}})

Din axiomatica (p / vdash p) (orice decurge de la sine) deducem că (p) urmează de la (p) împreună cu (q), apoi prin reziduare, (p / vdash q / rightarrow p). Dacă dorim să respingem inferenta de la (p) la (q / rightarrow p), atunci fie respingem reziduul, fie respingem axioma de identitate la începutul probei, fie respingem primul pas al probei. Este iluminant să ia în considerare ce este implicat în această ultimă opțiune. Aici, trebuie să negăm că (p) rezultă din (p, q). În general, trebuie să respingem regula de inferență care are această formă:

(frac {X / vdash A} {X, Y / vdash A})

Aceasta se numește regula slăbirii. Regula trece de la o afirmație mai puternică, că (A) urmează de la (X) la una posibil mai slabă, că (A) urmează de la (X) împreună cu (Y).

Oamenii au oferit diferite motive pentru a respinge regula slăbirii, în funcție de interpretarea consecinței și a premisei combinării. Unul dintre primele exemple de motivare vine dintr-o preocupare pentru relevanță. Dacă logica este relevantă (dacă spunem că (p) implică (q) este adevărat, înseamnă că cel puțin (q) depinde cu adevărat de (p)) atunci virgula nu trebuie nu satisface slăbirea. Este posibil să avem (A) urmând din (X), fără (A) urmând de la (X, Y), pentru că nu trebuie să fie cazul în care (A) depinde de (X) și (Y) împreună.

În logica relevantă, regula slăbirii eșuează și pe partea cealaltă, prin faptul că dorim ca acest argument să fie nevalid și:

(cfrac {q / vdash q} { cfrac {p, q / vdash q} {p / vdash q / rightarrow q}})

Din nou, (q) poate urma de la (q), dar acest lucru nu înseamnă că rezultă din (p) împreună cu (q), cu condiția ca „împreună cu” să fie însemnat într-un mod corespunzător puternic sens. Așadar, în logica relevantă, eferința de la o premisă arbitrară la un adevăr logic, cum ar fi (q / rightarrow q).

1.2 Commutativitate

Dacă modul de asociere a premiselor este comutativ (dacă ceva care rezultă din (X, Y) rezultă și din (Y, X)), atunci putem argumenta după cum urmează, folosind doar axiomul de identitate și reziduarea:

(cfrac {p / rightarrow q / vdash p / rightarrow q} { cfrac {p / rightarrow q, p / vdash q} { cfrac {p, p / rightarrow q / vdash q} {p / vdash (p / rightarrow q) rightarrow q}}})

În absența comutativității combinației premise, această dovadă nu este disponibilă. Acesta este un alt exemplu simplu de legătură între comportamentul combinației de premise și cel al deducțiilor care implică condiționalul.

Există multe tipuri de condiții pentru care această inferență nu reușește. Dacă „(rightarrow)” are forță modală (dacă exprimă un fel de legătură, în care (p / rightarrow q) este adevărat atunci când în toate circumstanțele înrudite în care (p) deține, (q) face și ea), iar dacă „(vdash)” exprimă consecința locală ((p / vdash q) dacă și numai dacă există vreun model, în orice circumstanță în care (p) ține, la fel face și (q)) nu reușește. Poate fi adevărat că Greg este un logician ((p)) și este adevărat că Greg este un logician implică Greg este un filosof ((p / rightarrow q) - în circumstanțele în care Greg este logician, el este un filozof), dar acest lucru nu implică faptul că Greg este filozof. (Există multe circumstanțe în care legătura ((p / rightarrow q)) este adevărată, dar (q) nu este.) Deci suntem o circumstanță în care (p) este adevărat, dar ((p / rightarrow q) rightarrow q) nu este. Argumentul este nevalid.

Acest contraexemplu poate fi înțeles și în ceea ce privește comportamentul combinației premise. Aici, când spunem că (X, A / vdash B) este adevărat, nu spunem doar că (B) ține în orice circumstanță în care (X) și (A) dețin ambele. Dacă suntem după o legătură autentică A (rightarrow) B, vrem ca (B) să fie adevărat în orice circumstanță (înrudită) în care (A) este adevărat. Deci, (X, A / vdash B) spune că în orice posibilitate în care (A) este adevărat, la fel și (B). Aceste posibilități pot să nu satisfacă toate (X). (În teoriile clasice ale legăturii, posibilitățile sunt cele în care tot ceea ce este necesar în (X) sunt adevărate.)

Dacă combinația de premise nu este comutativă, reziduul poate merge în două moduri. Pe lângă starea de reziduare care dă comportamentul lui (rightarrow), este posibil să dorim să definim o nouă săgeată (leftarrow) după cum urmează:

[p, q / vdash r / text {if și numai dacă} q / vdash r / leftarrow p)

Pentru săgeata de la stânga la dreapta avem modens ponens în această direcție:

[p / rightarrow q, p / vdash q)

Pentru săgeata de la dreapta la stânga, modus ponens este posibil cu premisele în ordinea opusă:

[p, q / leftarrow p / vdash q)

Aceasta este o caracteristică a logicii substructurale. Când acordăm atenție la ceea ce se întâmplă atunci când nu avem completul complet al regulilor structurale, atunci se deschid noi posibilități. Descoperim două condiționări sub ceea ce anterior a fost unul (în logica intuiționalistă sau clasică).

În secțiunea următoare vom vedea un alt exemplu care motivează o combinație de premise non-comutative și aceste două condiții diferite.

1.3 Asociativitate

Iată un alt mod în care regulile structurale influențează dovada. Asociativitatea combinației de premise oferă următoarea dovadă:

(cfrac {r / rightarrow p, r / vdash p / \ / p / rightarrow q, p / vdash q} { cfrac {p / rightarrow q, (r / rightarrow p, r) vdash q} { cfrac {(p / rightarrow q, r / rightarrow p), r / vdash q} { cfrac {p / rightarrow q, r / rightarrow p / vdash r / rightarrow q} {p / rightarrow q / vdash (r / rightarrow p) rightarrow (r / rightarrow q)}}}})

Această dovadă folosește regula tăierii la pasul de sus. Ideea este că inferențele pot fi combinate. Dacă (X / vdash A) și (Y (A) vdash B) (unde (Y (A)) este o structură a spațiilor care poate include (A) de una sau de mai multe ori) atunci (Y (X) vdash B) (unde (Y (X)) este acea structură a spațiilor cu acele cazuri de (A) înlocuite cu (X)). În această dovadă, înlocuim (p) în (p / rightarrow q, p / vdash q) cu (r / rightarrow p, r) pe baza validității lui (r / rightarrow p, r / vdash p).

1.4 Contracție

Un exemplu important final este regula contracției care dictează modul în care spațiile pot fi reutilizate. Contracția este crucială în inferența (p / rightarrow q) de la (p / rightarrow (p / rightarrow q))

(cfrac { matrix { cfrac {p / rightarrow (p / rightarrow q) vdash p / rightarrow (p / rightarrow q)} {p / rightarrow (p / rightarrow q), p / vdash p / rightarrow q } & / cfrac {p / rightarrow q / vdash p / rightarrow q} {p / rightarrow q, p / vdash q}}} { cfrac {(p / rightarrow (p / rightarrow q), p), p / vdash q} { cfrac {p / rightarrow (p / rightarrow q), p / vdash q} {p / rightarrow (p / rightarrow q) vdash p / rightarrow q}}}}]

Aceste exemple diferite vă oferă un gust al ceea ce se poate face prin reguli structurale. Nu numai că regulile structurale influențează condiționatele, dar au și efectele lor asupra altor conectivi, cum ar fi conjuncția și disjuncția (așa cum vom vedea mai jos) și negația (Dunn 1993; Restall 2000).

1.5 Structura din dreapta turnului

De la introducerea calculului secvențial al lui Gentzen (Gentzen 1935), am știut că diferența dintre logica clasică și logica intuiționalistă poate fi înțeleasă și ca o diferență de reguli structurale. În loc să luăm în considerare secvențe ale formei (X / vdash A), în care avem o colecție de antecedente și o singură consecință, pentru logica clasică este rodnic să luăm în considerare secvențe ale formei

[X / vdash Y)

unde atât (X) cât și (Y) sunt colecții de declarații. Interpretarea intenționată este aceea că din toate (X) rezultă că o parte din (Y). Cu alte cuvinte, nu putem avea toate (X) și nici una din (Y) obținând.

Permitând secvențe cu multiple consecințe și transpunând regulile în acest context extins, suntem capabili să obținem tautologii clasice. De exemplu, derivarea

(cfrac {p / vdash p} { cfrac {p / vdash q, p} { vdash p / rightarrow q, p}})

arată că fie (p / rightarrow q), fie (p) trebuie să păstreze. Acest lucru este valabil clasic (dacă (p) nu reușește, (p) este fals, iar condiționările cu antecedente false sunt adevărate), dar invalide în logica intuițională. Diferența dintre logica clasică și cea intuițională poate fi înțelese formal ca o diferență între tipurile de reguli structurale permise și tipurile de structuri adecvate de utilizat în analiza consecințelor logice.

2. Logica în familie

Există multe sisteme formale diferite în familia logicii substructurale. Aceste logici pot fi motivate în moduri diferite.

2.1 Logici relevante

Mulți oameni au dorit să dea un cont de validitate logică, care acordă o anumită atenție condițiilor de relevanță. Dacă (X, A / vdash B) se menține, atunci (X) trebuie să fie într-un fel relevant pentru (A). Combinația de premise este restricționată în felul următor. Este posibil să avem (X / vdash A) fără să avem și (X, Y / vdash A). Noul material (Y) s-ar putea să nu fie relevant pentru deducție. În anii 1950, Moh (1950), Church (1951) și Ackermann (1956) au dat toate relatările despre ceea ce ar putea fi o logică „relevantă”. Ideile au fost dezvoltate de un flux de muncitori centrat în jurul lui Anderson și Belnap, elevii lor Dunn și Meyer și mulți alții. Referințe canonice pentru zonă sunt Anderson, Belnap și Dunn-ul din două volume (Dăruire, 1975 și 1992). Alte introduceri pot fi găsite în Logica relevante a lui Read, Logica relevanței Dunn și Restall's (2002),și Logica relevantă a lui Mares: o interpretare filosofică (2004).

2.2 Conștiința resurselor

Acesta nu este singurul mod de a restricționa combinația de premise. Girard (1987) a introdus logica liniară ca model pentru procese și utilizarea resurselor. Ideea din acest cont de deducție este că resursele trebuie utilizate (deci premisa combinație satisface criteriul relevanței) și acestea nu se extind la nesfârșit. Locurile nu pot fi (re) - utilizate. Așadar, aș putea avea (X, X / vdash A), care spune că pot folosi (X) de două ori pentru a obține (A). S-ar putea să nu am (X / vdash A), care spune că pot folosi (X) o singură dată pentru a obține (A). O introducere utilă în logica liniară este dată de Lectel's on Linear Logic (1992). Există și alte logici formale în care regula de contracție (de la (X, X / vdash A) la (X / vdash A)) este absentă. Cele mai renumite dintre acestea sunt multele apreciate logici ale lui Łukasiewicz. A existat un interes susținut pentru logică fără această regulă din cauza paradoxului lui Curry (Curry 1977, Geach 1995; vezi și Restall 1994 în Alte resurse de internet).

3. Comanda

Independent de oricare dintre aceste tradiții, Joachim Lambek a avut în vedere modele matematice ale limbajului și ale sintaxei (Lambek 1958, 1961). Ideea aici este că premisa combinație corespunde compoziției șirurilor sau a altor unități lingvistice. Aici (X, X) diferă în conținut de (X), dar în plus, (X, Y) diferă de Y, X. Nu numai numărul de spații utilizate contează, dar și ordinea acestora. Introducere bună în calculul Lambek (numită și gramatică categorială) poate fi găsită în cărțile de Moortgat (1988) și Morrill (1994).

3. Sisteme de probă

Am văzut deja un fragment de o modalitate de a prezenta logici substructurale, în ceea ce privește probele. Am folosit condiția de reziduu, care poate fi înțeleasă ca incluzând două reguli pentru condițional, una pentru a introduce o condițională

(cfrac {X, A / vdash B} {X / vdash A / rightarrow B})

și alta pentru a o elimina.

(cfrac {X / vdash A / rightarrow B / \ / Y / vdash A} {X, Y / vdash B})

Reguli ca acestea formează piatra de temelie a unui sistem natural de deducție, iar aceste sisteme sunt disponibile pentru mătura largă a logicii substructurale. Dar teoria dovezilor se poate face în alte moduri. Sistemele Gentzen nu funcționează nu prin introducerea și eliminarea conectivilor, ci prin introducerea lor atât în partea stângă, cât și în dreapta turniculului de consecințe logice. Menținem regula de introducere de mai sus și înlocuim regula de eliminare cu una introducând condiționalul din stânga:

(cfrac {X / vdash A / \ / Y (B) vdash C} {Y (A / dreapta dreaptă B, X) vdash C})

Această regulă este mai complexă, dar are același efect ca regula de eliminare a săgeții: Se spune că dacă (X) este suficient pentru (A), și dacă folosiți (B) (în anumite contexte (Y)) pentru a demonstra (C), atunci puteți la fel de bine să fi folosit (A / rightarrow B) împreună cu (X) (în același context (Y)) pentru a dovedi (C), de vreme ce (A / rightarrow B) împreună cu (X) vă oferă (B).

Sistemele Gentzen, cu regulile lor de introducere în stânga și în dreapta, au proprietăți foarte speciale, utile în studierea logicii. Deoarece conexiunile sunt întotdeauna introduse într-o dovadă (citiți de sus în jos), dovezile nu pierd niciodată structura. Dacă un conector nu apare la încheierea unei probe, acesta nu va apărea deloc în dovadă, deoarece conexiunile nu pot fi eliminate.

În anumite logici substructurale, cum ar fi logica liniară și calculul Lambek, și în fragmentul logicii relevante (mathbf {R}) fără disjuncție, un sistem Gentzen poate fi utilizat pentru a arăta că logica este decisabilă, în Se poate găsi un algoritm care să stabilească dacă un argument (X / vdash A) este sau nu valid. Aceasta se face căutând dovezi ale (X / vdash A) într-un sistem Gentzen. Întrucât premisele acestei concluzii nu trebuie să conțină un limbaj care nu este în această concluzie și nu au o complexitate mai mare (în aceste sisteme), există doar un număr finit de premise posibile. Un algoritm poate verifica dacă acestea îndeplinesc regulile sistemului și pot continua să caute premise pentru acestea sau să renunțe la dacă atingem un axiom. În acest fel, decizia unor logici substructurale este asigurată.

Cu toate acestea, nu toate logicile substructurale sunt determinabile în acest sens. Cel mai faimos, logica relevantă (mathbf {R}) nu este decisă. Acest lucru se datorează, în parte, faptului că teoria probelor sale este mai complexă decât cea a altor logici substructurale. (mathbf {R}) diferă de logica liniară și de calculul Lambek în ceea ce privește un tratament simplu al conjuncției și disjuncției. În special, conjuncția și disjuncția satisfac regula distribuției:

[p / amp (q / vee r) vdash (p / amp q) vee (p / amp r))

Dovada naturală a distribuției în orice sistem de probă folosește atât slăbirea, cât și contracția, deci nu este disponibilă în logica relevantă (mathbf {R}), care nu conține slăbire. Drept urmare, teoriile dovezilor pentru (mathbf {R}) fie conțin distribuția ca regulă primitivă, fie conțin o a doua formă de combinație premisă (așa-numita combinație extensivă, spre deosebire de premisa intensă a combinației pe care am văzut-o), care satisface slăbirea și contracția.

În ultimii ani, s-a lucrat foarte mult la teoria probelor logicii clasice, inspirată și informată de cercetările în logica substructurală. Logica clasică are completul complet al regulilor structurale și este istoric înainte de sistemele mai recente de logică substructurală. Cu toate acestea, atunci când este vorba de încercarea de a înțelege structura profundă a sistemelor de dovezi clasice (și în special, când două derivări care diferă într-un mod sintactic superficial sunt modalități cu adevărat diferite de a-l reprezenta pe cel care stă la baza „probei”), este edificator să ne gândim la logica clasică așa cum este formată dintr-o logică substructurală de bază, în care regulile structurale suplimentare sunt impuse ca adaosuri. În special,a devenit clar că ceea ce distinge dovada clasică de frații săi este prezența regulilor structurale de contracție și slăbire a generalității lor complete (a se vedea, de exemplu, Bellin și colab. 2006 și literatura citată acolo).

4. Teoria modelului

În timp ce logica relevantă (mathbf {R}) are un sistem de dovezi mai complex decât logica substructurală, cum ar fi logica liniară, care nu are distribuție de conjuncție (extensivă) peste disjuncție, teoria modelului său este cu totul mai simplă. Un model Routley-Meyer pentru logica relevantă (mathbf {R}) este format dintr-un set de puncte (P) cu o relație de trei locuri (R) pe (P). Un / condițional (A / rightarrow B) este evaluat într-o lume după cum urmează:

(A / rightarrow B) este adevărat la (x) dacă și numai dacă pentru fiecare (y) și (z) unde (Rxyz), dacă (A) este adevărat la (y, B) este adevărat la (z).

Un argument este valabil într-un model doar atunci când în orice punct în care premisele sunt adevărate, la fel și concluzia. Argumentul (A / vdash B / rightarrow B) nu este valabil, deoarece este posibil să avem un punct (x) la care (A) este adevărat, dar la care (B / rightarrow B) nu este. Putem face ca (B / rightarrow B) să nu fie adevărat la (x) prin faptul că (Rxyz) unde (B) este adevărat la (y), dar nu la (z).

Relația de trei locuri (R) urmărește îndeaproape comportamentul modului de combinare a premiselor în teoria probelor pentru o logică substructurală. Pentru diferite logici, diferite condiții pot fi plasate pe (R). De exemplu, dacă combinația de premise este comutativă, plasăm o condiție de simetrie pe (R) astfel: (Rxyz) dacă și numai dacă (Ryxz). Semantica relațională ternară ne oferă o mare posibilitate de a modela comportamentul logicii substructurale. (Amploarea corespondenței dintre teoria probei și algebra logicii substructurale și semantica este graficată în lucrarea lui Dunn despre Gaggle Theory (1991) și este rezumată în Introducerea lui Restall la logica substructurală (2000).

Mai mult, dacă conjuncția și disjuncția satisfac axiomul de distribuție menționat în secțiunea precedentă, ele pot fi modelate și simplu: o conjuncție este adevărată într-un punct doar atunci când ambele conjuncții sunt adevărate în acel punct, iar o disjuncție este adevărată într-un punct atunci când cel puțin o disjuncție este adevărată acolo. Pentru logici, cum ar fi logica liniară, fără axiomul de distribuție, semantica trebuie să fie mai complexă, cu o clauză diferită de disjuncție necesară pentru a invalida inferența distribuției.

Este un lucru să folosești o semantică ca dispozitiv formal pentru a modela o logică. Este alta să folosești o semantică ca dispozitiv interpretativ pentru a aplica o logică. Literatura privind logica substructurală ne oferă o serie de moduri diferite prin care semantica relațională ternară poate fi aplicată pentru a descrie structura logică a unor fenomene în care regulile structurale tradiționale nu se aplică.

Pentru logici precum calculul Lambek, interpretarea semanticii este simplă. Putem considera că punctele sunt elemente lingvistice, iar relația ternară este relația de concatenare ((Rxyz) dacă și numai dacă (x) concatenat cu (y) rezultă în (z)). În aceste modele, toate regulile structurale de contracție, slăbire și permutare eșuează toate, dar premisa combinație este asociativă.

Literatura contemporană privind clasificarea lingvistică extinde Calculul Lambek de bază cu forme de combinație mai bogate, în care pot fi modelate mai multe caracteristici sintactice (vezi Moortgat 1995).

O altă aplicație a acestor modele este tratarea semanticii de aplicare a funcțiilor. Putem gândi punctele dintr-o structură a modelului, atât funcții cât și date, și să menținem că (Rxyz) dacă și numai dacă (x) (considerat ca o funcție) aplicată pe (y) (considerată date) este (z). Conturile tradiționale de funcții nu încurajează această dublă utilizare, deoarece funcțiile sunt considerate a fi mai mari decât intrările sau ieșirile lor (pe modelul tradițional de funcții set-teoretic, o funcție (este) setul de intrare a acesteia - perechi de ieșire și, deci, nu se poate lua niciodată ca input, deoarece seturile nu se pot conține ca membri). Cu toate acestea, sistemele de funcții modelate de calculul netratat (lambda) - de exemplu, permit autoaplicarea. Având în vedere această citire a punctelor dintr-un model,un punct este de tip (A / rightarrow B) doar dacă, de câte ori este nevoie de intrări de tip (A), este nevoie de ieșiri de tip (B). Regulile de inferență ale acestui sistem sunt apoi principii care guvernează tipurile de funcții: secvența

[(A / rightarrow B) amp (A / rightarrow C) vdash A / rightarrow (B / amp C))

ne spune că de câte ori o funcție duce (A) s la (B) s și (A) s la (C) s, atunci este nevoie de (A) s la lucruri care sunt ambele (B) și (C).

Acest exemplu ne oferă un model în care logica substructurală adecvată este extrem de slabă. Niciuna dintre regulile structurale obișnuite (nici măcar asociativitatea) nu sunt satisfăcute în acest model. Acest exemplu de model relațional ternar este discutat în (Restall 2000, Capitolul 11).

Pentru logica relevantă (mathbf {R}) și pentru interpretarea ei a condiționărilor limbajului natural, trebuie depus mai multă lucrare în identificarea caracteristicilor realității modelelor de semantică formală. Aceasta a fost o chestiune de controverse, deoarece relația ternară nu este cunoscută doar celor a căror expunere este în primul rând la logici modale cu o relație de accesibilitate binară mai simplă între lumile posibile, dar și datorită noutății tratamentului negației la modele pentru logici relevante. Nu este locul nostru de a discuta despre această dezbatere în detaliu aici, O parte din această lucrare este prezentată în articolul despre logica relevantă din această Enciclopedie, iar un tratament pe lungime de carte a logicii relevante în această lumină este Logica relevantă a lui Mares: o filozofie interpretare (2004).

5. Cantificatorii

Tratamentul cuantificatorilor la modelele de logică substructurală s-a dovedit a fi destul de dificil, dar au fost înregistrate progrese la începutul anilor 2000. Dificultatea a apărut în ceea ce părea a fi o nepotrivire între teoria probelor și teoria modelelor pentru cuantificatori. Axiomele sau regulile adecvate pentru cuantificatori sunt relativ simple. Axioma de eliminare a cuantificatorului universal (forall xA / rightarrow A [t / x]) afirmă că o instanță urmează (în sensul relevant) din generalizarea sa universală. Regula de introducere (cfrac { vdash A / rightarrow B} { vdash A / rightarrow / forall xB}) (în cazul în care prevederea că (x) nu este gratuită în (A) deține) ne spune asta dacă putem demonstra o instanță a generalizării (forall xB), ca o problemă de logică, dintr-o presupunere care nu face nicio afirmație particulară despre acea instanță,putem dovedi, de asemenea, generalizarea din această presupunere. Această axiomă și regulă pare să se potrivească de minune cu orice interpretare a cuantificatoarelor de prim ordin într-o gamă de logici substructurale, de la cele mai slabe sisteme, la sisteme puternice precum (mathbf {R}).

În timp ce teoria dovezilor pentru cuantificatori pare bine comportată, generalizarea modelului teoretic pentru logica substructurală s-a dovedit dificilă. Richard Routley (1980) a arătat că adăugarea regulilor pentru cantificatori la un sistem foarte slab de logică substructurală (mathbf {B}) se potrivește corespunzător cu semantica relațională ternară, în care cantificatorii sunt interpretați ca fiind cuprinși pe un domeniu de obiecte, constant pe toate punctele din model. Acest fapt nu se aplică pentru logica mai puternică, în special, logica relevantă (mathbf {R}). Kit Fine (1989) a arătat că există o formulă complexă care conține toate modelele de cadre de domeniu constante pentru (mathbf {R}), dar care nu poate fi derivată din axiome. Detaliile argumentului lui Fine nu sunt importante pentru scopurile noastre,dar cauza de bază pentru nepotrivire este relativ simplă de explicat. În semantica de domeniu constant, generalizarea universală (forall x Fx) are exact aceleași condiții de adevăr - la fiecare punct al modelului - ca familia de instanțe (Fx_1), (Fx_2), (Fx_3, / ldots), (Fx_ / lambda, / ldots), unde obiectele domeniilor sunt enumerate de valorile termenilor (x_i). Deci, expresia cuantificată (forall x Fx) este indistinguibilă semantic de conjuncția (eventual infinită) (Fx_1 / land Fx_2 / land Fx_3 / land / cdots). Cu toate acestea, nicio conjuncție de instanțe (chiar una infinită) nu ar putea fi relevant echivalent cu revendicarea cuantificată universal (forall x Fx),pentru că instanțele ar putea fi adevărate într-o circumstanță (sau ar putea fi făcute adevărate de o circumstanță) fără a face, de asemenea, generalizare - dacă ar fi existat mai multe lucruri decât acestea. Deci, modelele de domenii constante par neadecvate proiectului unei teorii relevante a cuantificării.

Lucrările recente ale lui Goldblatt și Mares (2006) au arătat că există o alternativă și se pare că este elegantă și relativ simplă. Ideea crucială este de a modifica semantica relațională ternară doar puțin, astfel încât nu fiecare set de puncte trebuie să fie considerat ca o „propunere”. Adică, nu fiecare set de puncte este valoarea semantică posibilă pentru o propoziție. Deci, deși există un set de lumi determinat de conjuncția infinită de instanțe ale (forall xFx): (Fx_1 / land Fx_2 / land Fx_3 / land / cdots), este posibil ca setul de lumi să nu conteze ca o propunere. (Poate că nu există nicio modalitate de a desemna acele obiecte particulare în așa fel încât să le strângă în judecată.) Ceea ce putem spune este generalizarea (forall xFx) și aceasta este o propoziție care implică fiecare dintre instanțe (adică axioma de eliminare a cuantificatorului universal), iar dacă o propoziție implică fiecare instanță, aceasta implică generalizarea (care este regula de introducere), deci propoziția exprimată de (forall xFx) este cea mai slabă propoziție semantic care implică fiecare instanță Fa. Aceasta este tocmai condiția de modelare a cuantificatorului universal din modelele Goldblatt & Mares și se potrivește exact cu axiomele. Aceasta este tocmai condiția de modelare a cuantificatorului universal din modelele Goldblatt & Mares și se potrivește exact cu axiomele. Aceasta este tocmai condiția de modelare a cuantificatorului universal din modelele Goldblatt & Mares și se potrivește exact cu axiomele.

Bibliografie

Robert Wolff a pus la dispoziție o bibliografie cuprinzătoare despre logica relevantă și poate fi găsită în Anderson, Belnap și Dunn 1992. Bibliografia din Restall 2000 (vezi Alte resurse de internet) nu este la fel de cuprinzătoare ca Wolff, dar include materiale până la ziua de azi.

Cărți despre logica substructurală și introduceri în câmp

  • Anderson, AR, și Belnap, ND, 1975, Entailment: Logica relevanței și necesității, Princeton, Princeton University Press, volumul I.
  • Anderson, AR, Belnap, ND Jr. și Dunn, JM, 1992, Entailment, Volumul II, Princeton, Princeton University Press

    [Această carte și precedenta rezumă lucrarea în logică relevantă în tradiția Anderson-Belnap. Unele capitole din aceste cărți au alți autori, precum Robert K. Meyer și Alasdair Urquhart.]

  • Dunn, JM și Restall, G., 2000, „Logică de relevanță” în F. Guenthner și D. Gabbay (eds.), Handbook of Philosophical Logic a doua ediție; Volumul 6, Kluwer, pp. 1–136.

    [Un rezumat al lucrărilor în logică relevantă în tradiția Anderson-Belnap.]

  • Galatos, N., P. Jipsen, T. Kowalski și H. Ono, 2007, Residuated Lattices: An Algebraic Glimpse at Substructural Logics (Studies in Logic: Volume 151), Amsterdam: Elsevier, 2007.
  • Mares, Edwin D., 2004, Logica relevantă: o interpretare filosofică Cambridge University Press.

    [O introducere în logica relevantă, propunând o înțelegere teoretică informațională a semanticii relaționale ternare.]

  • Moortgat, Michael, 1988, Investigații categorice: Aspecte logice ale calculului Lambek Foris, Dordrecht.

    [O altă introducere în calculul Lambek.]

  • Morrill, Glyn, 1994, Tip Logical Grammar: Logical Categorial of Signs Kluwer, Dordrecht

    [O introducere în calculul Lambek.]

  • Paoli, Francesco, 2002, Logica

    substructurală: A Primer Kluwer, Dordrecht [O introducere generală a logicii substructurale.]

  • Citiți, S., 1988, Relevant Logic, Oxford: Blackwell.

    [O introducere în logica relevantă motivată de considerente în teoria sensului. Dezvoltă o teorie a probelor în stil Lemmon pentru logica relevantă (mathbf {R}).]

  • Restall, Greg, 2000, o introducere în logica substructurală, rutieră. (online précis)

    [O introducere generală în domeniul logicii substructurale.]

  • Routley, R., Meyer, RK, Plumwood, V. și Brady, R., 1983, Logica relevantă și rivalii lor, Volumul I, Atascardero, CA: Ridgeview.

    [Un alt relat distinctiv al logicii relevante, de data aceasta dintr-o perspectivă filosofică australiană.]

  • Schroeder-Heister, Peter și Došen, Kosta, (eds), 1993, Logica substructurală, Oxford University Press.

    [O colecție editată de eseuri pe diferite subiecte în logica substructurală, din diferite tradiții în domeniu.]

  • Troestra, Anne, 1992, Lectures on Linear Logic, Publications CSLI

    [O introducere rapidă, ușor de citit în logica liniară a lui Girard.]

Alte lucrări citate

  • Ackermann, Wilhelm, 1956, „Begründung Einer Strengen Implikation”, Journal of Symbolic Logic, 21: 113–128.
  • Avron, Arnon, 1988, „Semantica și dovedirea teoriei logicii liniare”, informatică teoretică, 57 (2–3): 161-184.
  • Gianluigi Bellin, Martin Hyland, Edmund Robinson și Christian Urban, 2006, „Teoria probelor categorice a calculului propozițional clasic”, Teoria informaticii, 364: 146–165.
  • Church, Alonzo, 1951, „The slab Theory of Implication”, în Kontrolliertes Denken: Untersuchungen zum Logikkalkül und zur Logik der Einzelwissenschaften, A. Menne, A. Wilhelmy și H. Angsil (eds.), Kommissions-Verlag Karl Alber, 22 -37.
  • Curry, Haskell B., 1977, Fundations of Mathematical Logic, New York: Dover (publicat inițial în 1963).
  • Dunn, JM, 1991, „Gaggle Theory: An Abstraction of Galois Connections and Residuation with Applications to Negation and Diverses Logical Operations”, în Logics in AI, Proceedings European Workshop JELIA 1990 (Note de prelegere în informatică, volumul 476), Berlin: Springer-Verlag.
  • Dunn, JM, 1993, „Star and Perp”, Perspective filozofice, 7: 331–357.
  • Fine, K., 1989, „Incompletenness for Logical Relevance Logics”, în J. Norman și R. Sylvan (eds.), Instrucțiuni în relevanță logică, Dordrecht: Kluwer, p. 205-225.
  • Geach, PT, 1955, „Despre Insolubilie”, Analiză, 15: 71–72.
  • Gentzen, Gerhard, 1935, „Untersuchungen über das logische Schließen”, Mathematische Zeitschrift, 39: 176-210 și 405-31. [O traducere engleză se găsește în Gentzen 1969.]
  • Gentzen, Gerhard, 1969, Documentele colectate ale lui Gerhard Gentzen, ME Szabo (ed.), Amsterdam: Olanda de Nord, 1969.
  • Goldblatt, R. și E. Mares, 2006, „An Alternative Semantics for Logical Relevant Logic”, Journal of Symbolic Logic, 71 (1): 163-187.
  • Girard, Jean-Yves, 1987, „Logica liniară”, informatică teoretică, 50: 1–101.
  • Lambek, Joachim, 1958, „Matematica structurii propozițiilor”, American Mathematical Monthly, 65: 154-170.
  • Lambek, Joachim, 1961, „On the Calculus of Syntactic Types”, în Structura limbajului și aspectele sale matematice (Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, XII), R. Jakobson (ed.), Providence, RI: American Mathematical Society.
  • Moh Shaw-Kwei, 1950, „Teoremele deducției și două noi sisteme logice”, Methodos, 2: 56–75.
  • Moortgat, Michael, 1995, „Inferență lingvistică multimodală”, Jurnalul logic al IGPL, 3: 371–401.
  • Ono, Hiroakira, 2003, „Logica substructurală și rețelele reziduate - o introducere”, în V. Hendricks și J. Malinowski (eds.), Tendințe în logică: 50 de ani de Studia Logica, Dordrecht: Kluwer, 2003, p. 193– 228.
  • Routley, R., 1980. „Probleme și soluții în semantică în logică relevantă cuantificată”, în A. Arruda, R. Chuaqui și NCA Da Costa (eds.), Logica matematică în America Latină, Amsterdam: Olanda de Nord, 1980, p. 305–340.

Instrumente academice

pictograma omului sep
pictograma omului sep
Cum se citează această intrare.
pictograma omului sep
pictograma omului sep
Previzualizați versiunea PDF a acestei intrări la Societatea Prietenii SEP.
pictograma inpho
pictograma inpho
Căutați acest subiect de intrare la Proiectul Ontologia Filozofiei pe Internet (InPhO).
pictograma documente phil
pictograma documente phil
Bibliografie îmbunătățită pentru această intrare la PhilPapers, cu link-uri către baza de date a acesteia.

Alte resurse de internet

  • Restall, Greg, 1994, Despre logică fără contracție, teza de doctorat, Universitatea din Queensland.
  • Slaney, John, 1995, MaGIC: Generator de matrice pentru Implicative Connectives, un pachet software pentru generarea de modele finite pentru logica substructurală.

Recomandat: