Geometria Secolului Al XIX-lea

Cuprins:

Geometria Secolului Al XIX-lea
Geometria Secolului Al XIX-lea

Video: Geometria Secolului Al XIX-lea

Video: Geometria Secolului Al XIX-lea
Video: Cultura în a doua jumătate a sec. al XIX-lea – înc. sec XX 2024, Martie
Anonim

Navigare la intrare

  • Cuprins de intrare
  • Bibliografie
  • Instrumente academice
  • Prieteni PDF Previzualizare
  • Informații despre autor și citare
  • Inapoi sus

Geometria secolului al XIX-lea

Publicat pentru prima dată luni 26 iulie 1999; revizuire de fond miercuri, 20 octombrie 2016

În secolul al XIX-lea, geometria, la fel ca majoritatea disciplinelor academice, a trecut printr-o perioadă de creștere în cataclism. În această perioadă, conținutul geometriei și diversitatea sa internă au crescut aproape dincolo de recunoaștere; metoda axiomatică, stăpânită încă din antichitate de admiratorii geometriei, a atins în sfârșit adevărata suficiență logică, iar terenul a fost pus la punct pentru a înlocui, în descrierea fenomenelor fizice, geometria standard a lui Euclid de sistemul minunat pliat de Riemann. Filozofii moderni de toate tendințele - Descartes și Hobbes, Spinoza și Locke, Hume și Kant - au considerat geometria euclidiană ca o paradigmă a certitudinii epistemice. Reducerea bruscă a geometriei euclidiene către o subspecie a vastei familii de teorii matematice ale spațiului a spulberat unele iluzii și a determinat schimbări importante în concepția filozofică a cunoașterii umane. Astfel, de exemplu, după aceste evoluții ale secolului al XIX-lea, filosofii care visează la o cunoaștere complet certă a dreptului și a greșii, asigurată de inferența logică din principii evidente, nu mai pot propune geometria euclidiană ca un exemplu în care un obiectiv similar s-a dovedit atins.. Prezentul articol trece în revistă aspectele geometriei secolului al XIX-lea care sunt de interes major pentru filozofie și indicii în trecere, la semnificația lor filozofică.filosofii care visează la o cunoaștere complet certă a dreptului și a greșii, asigurată de o inferență logică din principii evidente de sine, nu mai pot propune geometria euclidiană ca un exemplu în care un obiectiv similar s-a dovedit atins. Prezentul articol trece în revistă aspectele geometriei secolului al XIX-lea care sunt de interes major pentru filozofie și indicii în trecere, la semnificația lor filozofică.filosofii care visează la o cunoaștere complet certă a dreptului și a greșii, asigurată de o inferență logică din principii evidente de sine, nu mai pot propune geometria euclidiană ca un exemplu în care un obiectiv similar s-a dovedit atins. Prezentul articol trece în revistă aspectele geometriei secolului al XIX-lea care sunt de interes major pentru filozofie și indicii în trecere, la semnificația lor filozofică.

  • 1. Geometria lobachevskiană
  • 2. Geometrie proiectivă
  • 3. Programul Erlangen al lui Klein
  • 4. Axiomatice perfecționate
  • 5. Geometria diferențială a lui Riemann
  • 6. Grupuri de minciuni

    Supliment: O formulare modernă a teoriei lui Riemann

  • Bibliografie

    • Surse primare
    • Literatura secundară
  • Instrumente academice
  • Alte resurse de internet
  • Intrări conexe

1. Geometria lobachevskiană

Euclid (fl. 300 î.e.n.) a plasat în fruntea Elementelor sale o serie de „definiții” (de exemplu, „Un punct este cel care nu are nicio parte”) și „noțiuni comune” (de exemplu, „Dacă se adaugă egali la egali, sumele sunt egale”) și cinci„ cereri”. Se presupune că aceste articole transmiteau toate informațiile necesare pentru deducerea teoremelor și rezolvarea problemelor de geometrie, dar, de fapt, nu o fac. Cu toate acestea, cererile (aitemata) - numite în mod obișnuit „postulate” în limba engleză - trebuie oricum să fie acordate sau dovezile lui Euclid nu vor trece. Unele dintre ele sunt practic practice:

1. Pentru a trasa o linie dreaptă din orice punct în orice punct. 3. Pentru a desena un cerc cu orice centru și orice rază.

Cu toate acestea, al cincilea sună mai mult ca o afirmație de fapt. Textul lui Euclid poate fi redat în engleză după cum urmează: „Dacă o linie dreaptă [c] care se încadrează pe două linii drepte [a și b] face ca unghiurile interioare pe aceeași parte să fie mai mici de două unghiuri drepte, cele două linii drepte [a și b], dacă este produs la nesfârșit, întâlniți pe acea parte pe care sunt unghiurile mai mici decât cele două unghiuri drepte”(termenii între paranteze adăugate pentru claritate). Acest lucru sună îndepărtat. Cu toate acestea, poate fi ușor parafrazat ca rețetă pentru construirea triunghiurilor (Vezi figura 1.) Fiecare triunghi este format din trei linii drepte coplanare care se întâlnesc, pe perechi, în trei puncte. Având în vedere orice segment PQ, trasați o linie dreaptă a prin P și o linie dreaptă b prin Q, astfel încât a și b să se întindă pe același plan;verificați dacă unghiurile pe care a și b le realizează cu PQ pe una din cele două laturi ale PQ se adaugă la mai puțin de două unghiuri drepte; dacă această condiție este îndeplinită, ar trebui să se acorde că a și b se întâlnesc într-un punct R pe aceeași parte a PQ, formând astfel triunghiul PQR. Această solicitare este cunoscută sub numele de „Postulatul lui Euclid”. Dacă cererea este respinsă, spuneți, pentru că credem că lumea este finită și nu există nicio cameră în ea care să încadreze vertexul R dacă unghiurile interioare în cauză se ridică la foarte puțin decât două unghiuri drepte, atunci o mare parte din sistemul lui Euclid de geometria nu va trece.pentru că credem că lumea este finită și nu există nicio cameră în ea care să încadreze vertexul R dacă unghiurile interioare în cauză se ridică la foarte puțin de două unghiuri drepte, atunci o mare parte din sistemul de geometrie al lui Euclid nu va trece.pentru că credem că lumea este finită și nu există nicio cameră în ea care să încadreze vertexul R dacă unghiurile interioare în cauză se ridică la foarte puțin de două unghiuri drepte, atunci o mare parte din sistemul de geometrie al lui Euclid nu va trece.

figura 1

figura 1
figura 1

În epocile întunecate care au urmat, sentimentul lui Euclid de libertate matematică a fost pierdut, iar filozofii și matematicienii se așteptau ca geometria să se sprijine pe motive evidente. Acum, dacă a este perpendiculară și b este aproape perpendiculară cu PQ, a și b se apropie reciproc foarte lent de o parte a PQ și nu este de la sine înțeles că în cele din urmă trebuie să se întâlnească undeva pe acea parte. Până la urmă, hiperbola se apropie la nesfârșit de asimptotele sale și, totuși, demonstrabil, nu le întâlnește niciodată. De-a lungul secolelor, mai mulți autori au cerut - și au încercat - o dovadă a postulatului lui Euclid. John Wallis (b. 1616, d. 1703) a derivat din presupunerea că există poligoane de dimensiuni diferite care au aceeași formă. Dar atunci această presupunere are nevoie la rândul său de dovezi. Girolamo Saccheri (n. 1667, d. 1733) a încercat reductio. El a dedus o serie lungă de propoziții de la negația Postulatului lui Euclid, până când a ajuns la una pe care a pronunțat-o „respingătoare față de natura dreptei”. Înțelegerea lui Saccheri despre această „natură” își avea rădăcinile în geometria euclidiană și concluzia lui a pus întrebarea.

În anii 1820, Nikolai I. Lobachevsky (n. 1793, d. 1856) și Janos Bolyai (n. 1802, d. 1860) au abordat în mod independent această întrebare într-un mod radical nou. Lobachevsky a construit pe negarea Postulatului lui Euclid un sistem alternativ de geometrie, pe care l-a numit „imaginar” și a încercat în mod inconștient să testeze validitatea la scara astronomică calculând suma unghiurilor interne ale triunghiurilor formate de stele pe cer. Bolyai a excizat postulatul din sistemul lui Euclid; rampa rămasă este „geometria absolută”, care poate fi specificată suplimentar adăugându-i fie postulatul lui Euclid, fie negația acestuia. Începând din anii 1790, Carl Friedrich Gauss (n. 1777, d. 1855) lucra la acest subiect în aceeași direcție, dar s-a abținut de la publicare, de teamă să nu facă scandal. De vreme ce Lobachevsky a fost primul care a publicat,sistemul de geometrie bazat pe respectiva „geometrie absolută”, plus negația Postulatului lui Euclid se numește corect geometrie lobachevskiană.

Construcția introdusă mai sus pentru a explica postulatul lui Euclid poate fi folosită și pentru elucidarea negației sale. Desenați linia dreaptă a punctului P în unghi drept cu segmentul PQ. Dacă postulatul lui Euclid este refuzat, există nenumărate linii drepte prin Q, coplanare cu a, care fac unghiuri acute cu PQ, dar nu întâlnesc niciodată a. Luați în considerare setul de numere reale care sunt mărimile acestor unghiuri acute. Fie că cea mai mare legătură inferioară a acestui set să fie μ. Evident, μ> 0. Există exact două linii drepte prin Q, coplanare cu a, care fac un unghi de mărime μ cu PQ. (Vezi Figura 2.) Apelați-le b 1 și b 2. Nici b 1 nici b 2îndeplinește a, dar o îndeplinește fiecare linie prin Q care este coplanară cu a și face cu PQ un unghi mai mic decât μ. Gauss, Lobachevsky și Bolyai - necunoscute unul de altul - au coincis în apelarea b 1 și b 2 la paralelele de la Q până la Q. μ se numește unghiul de paralelism pentru segmentul PQ. Mărimea sa depinde de lungimea PQ și scade pe măsură ce acesta din urmă crește.

Figura 2

Figura 2
Figura 2

Să presupunem că unghiul de paralelism pentru PQ este o jumătate din unghiul drept. În acest caz, b 1 și b 2 formăm un unghi drept la Q și astfel avem două drepte reciproc perpendiculare pe același plan ca a, care nu reușesc să întâlnească a.

Geometria lui Lobachevsky abundă în teoreme surprinzătoare (multe dintre ele fiind deja găsite de Saccheri). Iată câteva: Cele trei unghiuri interioare ale unui triunghi se adaugă la mai puțin de două unghiuri drepte. Diferența sau „defectul” este proporțională cu aria triunghiului. Prin urmare, în geometria lobachevskiană, triunghiuri similare sunt congruente. Mai mult, dacă un triunghi este împărțit în triunghiuri mai mici, defectul întregului este egal cu suma defectelor pieselor. Deoarece defectul nu poate fi mai mare de două unghiuri drepte, aria triunghiurilor are un maxim finit. Dacă un patrulater, prin construcție, are trei unghiuri drepte, al patrulea unghi este neapărat acut. Astfel, în geometria lobachevskiană nu există dreptunghiuri.

Există o corespondență formală simplă între ecuațiile trigonometriei lobachevskiene și cele ale trigonometriei sferice standard. Bazându-se pe aceasta, Lobachevsky a argumentat că orice contradicție care apare în geometria lui ar fi inevitabil asociată cu o contradicție în geometria euclidiană. Acesta pare a fi cel mai timpuriu exemplu de dovadă a coerenței relative, prin care se arată că o teorie este consecventă, pentru ca o altă teorie - a cărei consistență să fie luată în mod obișnuit să fie considerată neconcordantă.

Geometria lobachevskiană a primit puțină atenție înainte de sfârșitul anilor 1860. Când filosofii au luat în seamă în cele din urmă, opiniile lor au fost împărțite. Unii au considerat-o ca un exercițiu formal de deducere logică, fără semnificații fizice sau filozofice, care au folosit cuvinte obișnuite - cum ar fi „drept” și „plan” - cu o semnificație ascunsă. Alții au salutat-o ca dovadă suficientă că, contrar tezei influente a lui Kant, geometria euclidiană nu transmite niciun premis al experienței umane și că structura geometrică a spațiului fizic este deschisă cercetării experimentale. Alții încă au convenit că geometriile non-euclidiene sunt alternative legitime, dar au subliniat că proiectarea și interpretarea experimentelor fizice presupune, în general, o geometrie certă și că acest rol a fost împiedicat de sistemul Euclid.

Indiferent ce ar spune filosofii, pentru matematicieni geometria lobachevskiană nu ar fi fost probabil decât o ciudată curiozitate, dacă nu ar fi fost găsită o nișă atât în geometrie proiectivă cât și diferențială, cele două curente principale ale cercetării geometrice din secolul al XIX-lea (§ § 2 și 5).

2. Geometrie proiectivă

Astăzi geometria proiectivă nu joacă un rol important în matematică, dar la sfârșitul secolului al XIX-lea a ajuns să fie sinonimă cu geometria modernă. Metodele proiective au fost folosite de Desargues (b. 1591, d. 1661) și Pascal (n. 1623, d. 1662), dar au fost ulterior eclipsate de metoda de coordonate a lui Descartes. Ele au prosperat, însă, după ce Jean-Victor Poncelet (n. 1788, d. 1867) a arătat că proprietățile proiective ale figurilor au furnizat motive de dovadă care au fost cel puțin la fel de puternice și, cu siguranță, mai intuitive și ostenibile convingătoare decât procedura carteziană a stabilirea și rezolvarea ecuațiilor între numere reprezentând puncte.

Proprietățile proiective sunt cele păstrate prin proiecții. Luăm, de exemplu, două planuri Γ și H și un punct P în afara lor. Fie any orice cifră pe Γ. Desenați drepte din P prin fiecare punct al lui Φ. Figura formată din punctele în care aceste linii se întâlnesc cu H este proiecția lui Φ pe H de la P. În general, această cifră va diferi de dimensiune și formă. Dar proiecția oricărui număr de linii drepte pe Γ care se întâlnesc între ele în anumite puncte constă, în general, dintr-un număr egal de linii drepte pe întâlnirea H, respectiv la proiecția punctelor respective. Ce se întâmplă, însă, dacă linia dreaptă care unește P cu un punct Q de of nu se întâlnește niciodată cu H, deoarece PQ se întâmplă să se întindă pe un plan paralel cu H? (Vezi figura 3.)

Figura 3

Figura 3
Figura 3

Pentru a evita astfel de excepții greoaie, geometria proiectivă a adăugat la fiecare linie dreaptă din spațiu un punct ideal, împărțit de fiecare linie paralelă cu aceasta. Continuitatea necesită atunci ca toate punctele ideale să se întindă pe un singur plan ideal, care întrunește fiecare familie de planuri paralele de-a lungul unei linii ideale diferite. Fundamentaliștii se pot zgudui la această înmulțire aparent de dorință a entităților. Cu toate acestea, a fost practicat în aritmetică de secole, deoarece stocul inițial al numerelor naturale 1, 2, 3, …, a fost completat cu zero, numerele întregi negative, raționalele neintegrale, iraționalele și așa-numitele imaginare numere.

Punctele unei linii drepte stau în relațiile reciproce de vecinătate și ordine. Pentru a vedea modul în care punctul ideal se încadrează în aceste relații, H să se rotească continuu pe linia dreaptă m unde se intersectează Γ. (Vezi figura 4.) Când H este paralelă cu PQ, în timp, t-proiecția Q pe H de la P este punctul ideal al dreptei prin P și Q. Chiar înainte de t proiecția menționată este un punct obișnuit al lui H, foarte departe de m. Imediat după t proiecția este din nou un punct obișnuit al lui H, foarte departe de m, dar la capătul opus al planului. Studiind deplasarea continuă a proiecției pe un interval de timp scurt înconjurător t, se ajunge la concluzia că dacă A și B sunt două puncte de H care stau, respectiv, de o parte și de alta a m, punctul ideal al dreptei prin A și B trebuie plasat între A și B. Prin urmare,în geometrie proiectivă, punctele unei linii drepte sunt ordonate ciclic, adică ca punctele unui cerc. Drept urmare, relațiile de vecinătate dintre punctele din spațiul proiectiv și pe planurile proiective diferă drastic de cele cunoscute de geometria standard și sunt extrem de contraintuitive. Este corect să spunem că geometria proiectivă a însemnat o revoluție mult mai profundă și de anvergură în gândirea umană decât simplul refuz al postulatului lui Euclid. Este corect să spunem că geometria proiectivă a însemnat o revoluție mult mai profundă și de anvergură în gândirea umană decât simplul refuz al postulatului lui Euclid. Este corect să spunem că geometria proiectivă a însemnat o revoluție mult mai profundă și de anvergură în gândirea umană decât simplul refuz al postulatului lui Euclid.

Figura 4

Figura 4
Figura 4

În noua setare, proprietățile proiective ale cifrelor pot fi definite în mod excepțional. o mapare f unu a spațiului proiectiv asupra sa este o colineare dacă trimite orice trei puncte colineare A, B și C, la trei puncte (A), (B) și (C), care sunt și colineare. Proprietățile (și relațiile) proiective sunt cele care sunt păstrate de colinații. Iată câteva exemple de proprietăți proiective. Din trei sau mai multe puncte: să se întindă pe aceeași linie dreaptă; să se întindă pe același plan. Din trei sau mai multe linii drepte: să se întâlnească în același punct; să se întindă pe același plan. Din trei sau mai multe planuri: să se intersecteze de-a lungul aceleiași linii drepte; pentru a împărtăși același punct. De curbe: a fi conic. A suprafețelor: a fi un cvadric.

3. Programul Erlangen al lui Klein

Într-o broșură eliberată la intrarea în facultatea de la Erlangen (1872), Felix Klein (n. 1849, d. 1925) a făcut bilanțul creșterii enorme și diversificării geometriei și a propus un punct de vedere din care numeroasele sale ramuri puteau fi organizate într-un sistem. Din acest punct de vedere, sarcina unei ramuri a geometriei poate fi declarată astfel:

Având în vedere o varietate și un grup de transformări ale colectorului, pentru a studia configurațiile varietății în raport cu acele caracteristici care nu sunt modificate de transformările grupului. (Klein 1893, p. 67)

În matematica secolului al XIX-lea, „mulțimea” desemna adesea ceea ce numim acum un set, dar aparent Klein avea ceva mai specific în minte:

Dacă se dau n variabile x 1,…, x n, sistemele de valori… pe care le obținem dacă lăsăm variabilele x să ia în mod independent valorile reale de la –∞ la + ∞ constituie ceea ce vom numi… o varietate de n dimensiuni. Fiecare sistem de valori particular (x 1,…, x n) este denumit element al galeriei. (Klein 1873, p. 116)

Dacă S este o varietate în ambele sensuri, printr-o transformare a lui S, ne referim la o mapare unu-unu a lui S în sine. Este clar că

  1. Dacă T 1 și T 2 sunt transformări ale S, maparea compozit T 2  ○ T 1, care constă din T 1, urmat de T 2, este, de asemenea, o transformare a S;
  2. compoziția transformărilor este asociativă, astfel încât, dacă T 1, T 2 și T 3 sunt transformări ale lui S, (T 3  ○ T 2) ○ T 1 = T 3  ○ (T 2  ○ T 1);
  3. maparea identității I care trimite fiecare punct al lui S în sine este o transformare a lui S astfel încât, pentru orice transformare T, T ○ I = I ○ T = T;
  4. pentru fiecare transformare T există o transformare T −1, inversa lui T, astfel încât T −1  ○ T = I (T −1 trimite fiecare punct de S înapoi de unde a fost adus de T).

În virtutea condițiilor (i) - (iv), transformările lui S formează un grup G S în sensul precis pe care acest termen îl are în algebră. G S include subgrupuri, adică subseturi care conțin I și îndeplinesc condițiile (i) și (iv). Dacă H este un subgrup de G S și Φ este o caracteristică a lui S, sau a elementelor sau părților sale, care nu este afectată de transformările lui Φ, spunem că Φ este H-invariabil. Singurul G S-invariant este cardinalitatea lui S (adică numărul de elemente din galerie). Pe de altă parte, grupul {I}, format doar din identitate, păstrează în mod banal orice trăsătură imaginabilă. Între aceste două extreme pot exista multe subgrupuri diferite, cu tot felul de invariante interesante, în funcție de structura grupului respectiv. Dacă S nu este un set arbitrar (fără structură), ci o varietate numerică descrisă de Klein, moștenește structura de la câmpul numerelor reale, ceea ce contribuie la caracterizarea diferitelor subgrupuri ale lui G S și ale invariantelor acestora. Astfel, grupul de transformări continue păstrează proprietățile topologice (relațiile de vecinătate), iar grupul de transformări liniare păstrează proprietățile proiective.

Proprietățile metrice pot fi fixate în acest fel? În mod tradițional, se definește distanța dintre două puncte (x 1,…, x n) și (y 1,…, y n) dintr-o varietate numerică drept rădăcina pătrată pozitivă a (x 1  - y 1) 2 +… + (x n  - y n) 2. Grupul de izometri constă din transformările care păstrează această funcție. Cu toate acestea, aceasta este doar o convenție, adoptată pentru a asigura că geometria este euclidiană. Folosind geometria proiectivă, Klein s-a gândit la ceva mai bun. Nicio funcție valorică reală a perechilor de puncte, definită pe tot spațiul proiectiv, nu este invariantă a grupului proiectiv, dar există o funcție a cvadruplelor punctiforme colineare, numite raportul încrucișat, care este un astfel de invariant. Pe baza lucrărilor lui Arthur Cayley (n. 1821, d. 1895), Klein (1871, 1873) a considerat raportul încrucișat al cvadruplurilor punct <P 1, P 2, P 3, P 4 >. astfel încât P 3 și P 4 aparțin unei conice given date pe un plan proiectiv, în timp ce P1 și P 2 se întind pe o regiune R care este delimitată sau fixată de altfel de κ. Deoarece P 3 și P 4 trebuie să fie punctele în care linia dreaptă prin P 1 și P 2 se întâlnește cu κ, raportul încrucișat menționat poate fi considerat ca o funcție a perechii de puncte <P 1, P 2 >. Colineările care mapează o conică dată pe sine formează un grup, iar funcția menționată este în mod clar un invariant al acestui grup. Klein a arătat că o anumită funcție a acestei funcții se comportă ca o funcție de distanță obișnuită pe R. Conform naturii conic κ, structura determinată de această funcție satisface fie (i) toate teoremele geometriei planului euclidian, fie (ii) toate cele ale geometriei planului lobachevskian sau (iii) cele ale unei a treia geometrii pe care Klein el însuși a descoperit și a poreclit „eliptic”. (În geometria eliptică, fiecare linie dreaptă se întâlnește între ele, iar cele trei unghiuri interne ale unui triunghi se adaugă întotdeauna la mai mult de două unghiuri drepte. Numele lui Klein pentru geometriile lui Euclid și Lobachevsky au fost „parabolice” și, respectiv, „hiperbolice”).

Așa funcționează abordarea lui Klein pentru geometria lobachevskiană în plan. Fie κ o conică reală - o conică care conține doar puncte reale - pe planul proiectiv. Fie G κ ansamblul tuturor colinațiilor care mapează κ asupra sa. G κ este un subgrup al grupului proiectiv. Luați în considerare acum raportul încrucișat al cvadruplurilor <P 1, P 2, P 3, P 4 > astfel încât P 3 și P 4 aparțin κ, în timp ce P 1 și P 2intervalul în interiorul Int (κ) al regiunii planului real delimitat cu κ. (P ∈ Int (κ) dacă și numai dacă P este un punct real și nicio tangentă reală cu κ trece prin P.) După cum sa menționat mai sus, alegerea punctelor P 1 și P 2 fixează P 3 și P 4, deci raportul încrucișat poate fi considerat doar o funcție a primei perechi de puncte, să zicem, f κ (P 1, P 2). Funcția f κ este clar G κ -invariantă. Pune d κ (P 1, P 2) = c log f κ (P 1, P 2)), unde c este o constantă arbitrară de valoare reală, diferită de 0 și log x semnifică valoarea principală a logaritmului natural al lui x. Klein a fost capabil să arate că d κ se comportă exact ca o funcție de distanță lobachevskiană pe Int (κ). Cu alte cuvinte, fiecare teoremă a geometriei lobachevskiene ține cifre adecvate formate din punctele lui Int (κ), dacă distanța dintre oricare dintre aceste două puncte este dată de funcția d κ. Luați în considerare, de exemplu, patru puncte P 1, P 2, P 3 și P 4 în Int (κ), astfel încât d κ (P 1, P 2) = d κ (P 2, P 3) = d κ (P 3, P 4) = d κ (P 4, P 1). Sunt vertexurile unui Q patrilater echilateral lobachevskian, care poate avea cel mult trei unghiuri drepte, caz în care al patrulea unghi interior al lui Q trebuie să fie acut. (În cazul în care „unghi drept” înseamnă, ca de obicei, un unghi egal cu unghiul său adiacent și două unghiuri în Int (κ) se spune a fi egale dacă unul este imaginea celuilalt printr-o transformare a grupului G κ).

Dacă κ reprezintă un alt tip de conic, nu unul obișnuit real, funcția d κ obținută prin procedura de mai sus se comportă pe regiuni definite corespunzător ale planului proiectiv ca o funcție de distanță euclidiană sau ca funcția de distanță a geometriei eliptice (aceasta depinde pe natura conicului κ). Astfel, în funcție de faptul dacă κ aparține unuia sau altuia dintre cele trei tipuri de conice, grupul de colinații care mapează κ cu sine este structural identic cu una dintre cele trei grupe de izometri lobachevskiene, euclidiene sau eliptice. Rezultate similare sunt valabile pentru cazul tridimensional, cu κ o suprafață pătrată.

Rezultatul lui Klein l-a determinat pe Bertrand Russell (n. 1873, d. 1970) să afirme, în cartea sa neo-kantiană pe fundamentele geometriei (1897), că „forma externă” generală ne este dezvăluită a priori în geometria proiectivă, dar structura sa metrică - care poate fi doar lobachevskiană, euclidiană sau eliptică - trebuie determinată a posteriori prin experiment. Henri Poincaré (n. 1854, d. 1912) a luat o poziție mai radicală: Dacă geometria nu este altceva decât studiul unui grup,

se poate spune că adevărul geometriei lui Euclid nu este incompatibil cu adevărul geometriei lui Lobachevsky, căci existența unui grup nu este incompatibilă cu cea a unui alt grup. (Poincaré 1887, p. 290)

Aplicarea la fizică este imediată: „Dintre toate grupurile posibile am ales unul în special, pentru a face referire la toate fenomenele fizice, la fel cum alegem trei axe de coordonate pentru a le referi la o figură geometrică” (ibid., p. 291). Alegerea acestui grup particular este motivată de simplitatea sa matematică, dar și de faptul că „există în natură unele corpuri remarcabile care se numesc solide, iar experiența ne spune că diferitele mișcări posibile ale acestor corpuri sunt legate unele de altele. în același mod ca operațiunile diferite ale grupului ales”(ibid.). Aceste observații ale lui Poincaré au semnalat începutul convenționalismului în filosofia științei și au furnizat motivația sa inițială.

Viziunea teoretică a grupului lui Klein despre geometrie s-a bucurat de multă favoare în rândul matematicienilor și filozofilor. Acesta a obținut un succes major atunci când Minkowski (1909) a arătat că aspectul esențial al teoriei speciale a lui Einstein a relativității a fost geometria (spațiu-timp) a grupului Lorentz, un rezultat esențial de care Klein (1911) a trăit să se bucure. Aceasta implică faptul că dezbaterea recentă asupra priorității cronogeometriei Minkowski asupra invarianței Lorentz sau viceversa este complet inactivă, deoarece acestea sunt echivalente din punct de vedere logic și, prin urmare, două părți ale aceleiași monede (așa cum a explicat Acuña (2016)). Cu toate acestea, programul lui Klein Erlangen nu a reușit să acopere geometria diferențială a lui Riemann (§5), pe care Einstein (1915, 1916) a plasat-o în centrul teoriei sale generale despre relativitate.

4. Axiomatice perfecționate

Potrivit lui Aristotel, cunoașterea științifică (episteme) trebuie exprimată în enunțuri care urmează deductiv dintr-o listă finită de enunțuri (axiomele) evidente și folosesc doar termeni definiți dintr-o listă finită de termeni înțelerați de sine (primitivi). Timp de peste două milenii s-a presupus, în general, că idealul lui Aristotel este realizat de fapt în Elementele lui Euclid. De fapt, există deja un decalaj logic în Euclid I.1 (soluția acestei probleme se bazează pe o asumare nedestinatată a continuității) și nu este clar că Euclid a considerat postulatele sale ca fiind de la sine înțeles (apelându-le ' cereri”a sugerat că nu). Ideea de a asigura cunoștințele prin deducție logică din principii indiscutabile a avut o fascinație puternică pentru oamenii de știință moderni, cum ar fi Galileo și Newton, ambii practicând cu drag axiomatica,în orice caz ca formă literară, precum Spinoza în Etica sa. Cu toate acestea, un caz cu adevărat satisfăcător și, dacă se poate spune, un caz serios de axiomatizare a unei ramuri a cunoașterii nu a fost disponibil pe tipărit până în 1882, când Moritz Pasch (n. 1843, d. 1930) și-a publicat Prelegerile despre geometria modernă.

Pasch a văzut geometria ca pe o știință naturală, a cărei utilizare reușită de către alte științe și în viața practică se bazează „exclusiv pe faptul că conceptele geometrice au fost de acord inițial exact cu obiectele empirice” (Pasch 1882, p. Iii). Geometria se distinge de celelalte științe naturale, deoarece obține doar foarte puține concepte și legi direct din experiență și are ca scop obținerea de la ele a legilor fenomenelor mai complexe prin mijloace pur deductive. Fundamentul empiric al geometriei a fost încapsulat de Pasch într-un nucleu de concepte de bază și enunțuri de bază sau axiome. Conceptele de bază se referă la forma și dimensiunea corpurilor și la pozițiile lor unele față de altele. Acestea nu sunt definite, pentru că nicio definiție nu ar putea înlocui „expoziția de obiecte naturale adecvate”, care este singurul drum către înțelegerea unui astfel de simplu,noțiuni ireductibile (ibid., p. 16). Toate celelalte concepte geometrice trebuie definite în cele din urmă în termeni de bază. Conceptele de bază sunt conectate între ele de axiomele, care „afirmă ceea ce a fost observat în anumite diagrame foarte simple” (p. 43). Toate celelalte enunțuri geometrice trebuie dovedite din axiome prin cele mai stricte metode deductive. Tot ceea ce este necesar pentru a le dovedi trebuie înregistrat, fără excepție, în axiome. Prin urmare, acestea trebuie să întruchipeze întregul material empiric elaborat de geometrie, astfel încât „după ce au fost stabilite, nu mai este necesar să recurgem la percepții de simț” (p. 17). „Fiecare concluzie care apare într-o dovadă trebuie să-și găsească confirmarea în diagramă, dar nu este justificată de diagrama, ci de o afirmație (sau definiție) anterioară bine definită” (p. 43). Pasch a înțeles clar implicațiile metodei sale. El scrie (p. 98):

Dacă geometria trebuie să fie cu adevărat deductivă, procesul inferenței trebuie să fie independent în toate părțile sale de sensul conceptelor geometrice, la fel cum trebuie să fie independent de diagrame. Tot ceea ce trebuie avut în vedere sunt relațiile dintre conceptele geometrice, înregistrate în enunțuri și definiții. În cursul deducției este permis și util să se țină cont de sensul conceptelor geometrice care apar în ea, dar nu este deloc necesar. Într-adevăr, atunci când este de fapt necesar, acest lucru arată că există un decalaj în probă și - dacă decalajul nu poate fi eliminat prin modificarea argumentului - că premisele sunt prea slabe pentru a-l susține.

Prelegerile lui Pasch despre geometria modernă au tratat geometria proiectivă. Prima axiomatizare a geometriei euclidiene care a fost conform standardelor lui Pasch - Fundațiile Geometriei de David Hilbert (n. 1862, d. 1943) a apărut în 1899 și a exercitat o influență enormă asupra matematicii și filozofiei secolului XX. Hilbert invită cititorul să ia în considerare trei colecții arbitrare de obiecte, pe care le numește „puncte”, „linii drepte” și „avioane” și cinci relații nedefinite între (i) un punct și o linie dreaptă, (ii) o linie dreaptă și un plan, (iii) trei puncte, (iv) două perechi de puncte („segmente”) și (v) două clase de echivalență a triplelor punctelor („unghiuri”). Condițiile prevăzute în Hilbert '20 de axiome - inclusiv Axiomul de completare adăugate în ediția a doua - sunt suficiente pentru a caracteriza obiectele și relațiile menționate până la izomorfism. Izomorfismul - adică echivalența structurală - poate ține totuși sisteme diferite de obiecte diferite, intuitiv disparate. Hilbert a profitat de această caracteristică a teoriilor axiomatice pentru studierea independenței unor axiome față de rest. Pentru a demonstra, el a propus instanțe (modele) reale ale structurii determinate de toate axiomele, dar de una, plus negația celei omise. Frege s-a plâns că axiomele geometrice păstrate în aceste exerciții ar putea fi aplicate modelelor îndepărtate ale lui Hilbert doar prin modificarea sensului natural al cuvintelor (vezi conversația lui Alice cu Humpty Dumpty). Hilbert a răspuns la 29 decembrie 1899:echivalența structurală poate ține, totuși, între diferite sisteme de obiecte diferite, intuitiv disparate. Hilbert a profitat de această caracteristică a teoriilor axiomatice pentru studierea independenței unor axiome față de rest. Pentru a demonstra, el a propus instanțe (modele) reale ale structurii determinate de toate axiomele, dar de una, plus negația celei omise. Frege s-a plâns că axiomele geometrice păstrate în aceste exerciții ar putea fi aplicate modelelor îndepărtate ale lui Hilbert doar prin modificarea sensului natural al cuvintelor (vezi conversația lui Alice cu Humpty Dumpty). Hilbert a răspuns la 29 decembrie 1899:echivalența structurală poate ține, totuși, între diferite sisteme de obiecte diferite, intuitiv disparate. Hilbert a profitat de această caracteristică a teoriilor axiomatice pentru studierea independenței unor axiome față de rest. Pentru a demonstra, el a propus instanțe (modele) reale ale structurii determinate de toate axiomele, dar de una, plus negația celei omise. Frege s-a plâns că axiomele geometrice păstrate în aceste exerciții ar putea fi aplicate modelelor îndepărtate ale lui Hilbert doar prin modificarea sensului natural al cuvintelor (vezi conversația lui Alice cu Humpty Dumpty). Hilbert a răspuns la 29 decembrie 1899:Pentru a demonstra, el a propus instanțe (modele) reale ale structurii determinate de toate axiomele, dar de una, plus negația celei omise. Frege s-a plâns că axiomele geometrice păstrate în aceste exerciții ar putea fi aplicate modelelor îndepărtate ale lui Hilbert doar prin modificarea sensului natural al cuvintelor (vezi conversația lui Alice cu Humpty Dumpty). Hilbert a răspuns la 29 decembrie 1899:Pentru a demonstra, el a propus instanțe (modele) reale ale structurii determinate de toate axiomele, dar de una, plus negația celei omise. Frege s-a plâns că axiomele geometrice păstrate în aceste exerciții ar putea fi aplicate modelelor îndepărtate ale lui Hilbert doar prin modificarea sensului natural al cuvintelor (vezi conversația lui Alice cu Humpty Dumpty). Hilbert a răspuns la 29 decembrie 1899:

Fiecare teorie este doar o schelă sau o schemă de concepte împreună cu relațiile lor reciproce necesare, iar elementele de bază pot fi concepute în orice fel doriți. Dacă îmi iau în considerare orice sistem de lucruri, de exemplu, sistemul de dragoste, lege, coș de fum,… și îmi asum doar toate axiomele ca relații între aceste lucruri, teoreme - de exemplu, teorema lui Pitagora - de asemenea ține aceste lucruri. … Această caracteristică a teoriilor nu poate fi niciodată un neajuns și este, în orice caz, inevitabilă.

Toate acestea decurg, desigur, din însăși natura axiomaticii, așa cum este explicat în pasajul citat din Pasch. Într-adevăr, astfel de permutări semantice care păstrează adevărul nu erau nicio noutate în geometrie după ce Gergonne (1771-1859) a atras atenția în 1825 asupra următorului principiu al dualității: Orice afirmație adevărată a geometriei planului proiectiv dă naștere unei alte afirmații la fel de adevărate, duble obținute de înlocuind „punct” cu „linie”, „colinear” cu „concomitent”, „întâlnire” pentru „alătura” și invers, oriunde aceste cuvinte apar în prima. (În geometria spațială proiectivă, dualitatea ține puncte și plane.) Același rezultat este asigurat, desigur, prin schimbarea nu a cuvintelor, ci a semnificațiilor lor.

5. Geometria diferențială a lui Riemann

Într-o prelegere „Cu privire la ipotezele care se află la temelia geometriei”, dată la Facultatea de Filosofie din Göttingen în 1854 și publicată postum în 1867, Bernhard Riemann (n. 1826, d. 1866) a prezentat câteva opinii radical inovatoare asupra acestui aspect contează. El a menționat că proprietățile măsurabile ale unei galerii discrete pot fi ușor determinate prin numărare. (Gândiți-vă la populația unei țări și la proporția creștinilor născuți din nou sau a cuplurilor care au divorțat în primul an de căsătorie.) Dar multiplele continue nu admit această abordare. În special, proprietățile măsurabile ale spațiului fizic, care fac obiectul geometriei, depind de forțele de legătură care acționează asupra lui. Distanța dintre două puncte în spațiu poate fi stabilită cu o tijă, o bandă sau cu mijloace optice,iar rezultatul depinde în esență de comportamentul fizic al instrumentelor utilizate. Până în prezent, proprietățile măsurabile ale spațiului au fost descrise cu succes, în conformitate cu geometria euclidiană. Cu toate acestea, „conceptele empirice pe care se bazează determinările metrice ale spațiului - conceptele unui corp rigid și ale unei raze de lumină - își pierd valabilitatea în infinit de mici; Prin urmare, este destul de probabil ca relațiile metrice ale spațiului în infinit de mici să nu fie de acord cu presupunerile geometriei și, de fapt, ar trebui să accepți acest lucru imediat ce fenomenele pot fi explicate într-un mod mai simplu”(Riemann 1854, p. 149). Pentru a pregăti fizicienii pentru această eventualitate, Riemann a propus o concepție mai generală a geometriei. Schema de bază a lui Riemann face alocație pentru o generalitate mult mai mare decât atinge de fapt; dar,în opinia sa, ar trebui să fie deocamdată suficientă caracterizarea geometriei colectoarelor continue, astfel încât să fie de acord optim cu geometria euclidiană pe un mic cartier al fiecărui punct.

Riemann extinde la n dimensiuni metodele folosite de Gauss (1828) în studiul său asupra geometriei intrinseci a suprafețelor curbe încorporate în spațiul euclidian (numită „intrinsecă”, deoarece descrie proprietățile metrice pe care suprafețele le afișează de la sine, independent de modul în care acestea se află în spațiu). Dacă ne uităm înapoi la opera lui Gauss, se simte mai bine intuiția conceptelor lui Riemann (vezi Torretti 1978, pp. 68–82). Cu toate acestea, din motive de concizie și perspicitate, este recomandabil să privim înainte și să ne folosim de anumite concepte introduse de matematicienii de mai târziu, în timp ce încercau să dea sens propunerii lui Riemann. Luați în considerare formularea modernă a teoriei lui Riemann în suplimentul O formulare modernă a teoriei lui Riemann.

În studiul său asupra suprafețelor curbate, Gauss a introdus o funcție de valoare reală, curbura Gaussiană, care măsoară abaterea locală a unei suprafețe de la planeitate în ceea ce privește geometria intrinsecă a suprafeței. Riemann a extins acest concept de curbură la n-manevrele Riemanniene. Folosind conceptul său extins de curbură, el a fost capabil să caracterizeze cu multă eleganță varietățile metrice în care toate figurile se pot deplasa liber fără a-și schimba dimensiunea și forma. Ele sunt multitudinea riemanniană de curbură constantă. Această idee poate fi combinată frumos cu clasificarea geometriei metrice a lui Klein. Considerat sub denumirea de 3-varietăți riemanniene, spațiul euclidian are o curbură zero constantă, spațiul lobachevskian are o curbură negativă constantă, iar spațiul eliptic are o curbură pozitivă constantă. În conformitate cu programul Erlangen,fiecare din aceste geometrii de curbură constantă se caracterizează prin propriul său grup de izometri. Dar concepția lui Klein este prea îngustă pentru a cuprinde toate geometriile riemanniene, care includ spații de curbură variabilă. Într-adevăr, în cazul general, grupul de izometri ale unui n-manier Riemannian este grupul banal format doar din identitate, a cărei structură nu transmite deloc informații despre geometria respectivă.

6. Grupuri de minciuni

Pentru un filozof, cea mai satisfăcătoare caracteristică a complicației extraordinare atinse de matematica din secolul al XIX-lea a fost poate promptitudinea cu care structurile matematice nou create (sau descoperite?) Și-au găsit drumul în știința empirică, permițând înțelegerea intelectuală și gestionarea fenomenelor reale. Vom încheia acest sondaj al geometriei secolului al XIX-lea, cu câteva observații ușoare asupra unei structuri deosebit de bogate și fructuoase, care are mândrie în fizica actuală, și anume grupurile de Lie, așa numite după Sophus Lie (1842-1899), norvegiana matematician care le-a studiat în profunzime după 1870. Un grup Lie este, desigur, un grup în sensul algebric pe care l-am întâlnit în §3, adică un set G astfel încât (i) fiecare pereche ordonată <x, y> ∈ G este asociat unui element unic x · y ∈ G (cunoscut sub numele de produs sau suma lui x și y);(ii) operația produsului este asociativă, adică (x · y) · z = x · (y · z), pentru fiecare x, y, z ∈ G; (iii) există un singur și un singur element 0 ∈ G astfel încât pentru fiecare x ∈ G, x · 0 = 0 · x = x (0 este elementul identitar sau neutru al lui G); (iv) pentru fiecare x ∈ G, există un singur element x−1 ∈ G astfel încât x · x −1 = 0 (x −1 este cunoscut ca inversul lui x). Dar un grup Lie este, de asemenea, o varietate lină, așa cum este descris în suplimentul A Modern Formulation of The Riemann’s Theory: setul G poate fi reprezentat în mod patchwise prin sisteme de valori reale (sau alternative complex-evaluate), legate reciproc de bine definite, transformări de coordonate diferențiate, oriunde se suprapun patch-urile respective. Structurile de grup și de colectare ale lui G sunt împletite împreună cu condiția ca funcționarea produsului să fie o mapare diferențiată a lui G × G în G.

Un exemplu simplu, dar important, al unui grup Lie este grupul SO (2), instanțiat de rotațiile planului în jurul unui punct fix arbitrar. Colectorul este compact topologic și, prin urmare, nu poate fi acoperit de o singură patch de coordonate, dar trei vor fi suficiente: una incluzând, să spunem, toate rotațiile în sensul acelor de ceasornic cu mai mult de trei radiani și mai puțin de patru, care pot fi coordonate în mod natural folosind numerele reale din interval deschis (3,4); un alt patch cuprinzând inversele primului, care poate fi mapat pe intervalul deschis (−4, −3) și un al treilea care acoperă toate rotațiile în sensul acelor de ceasornic cu mai puțin de două unghiuri drepte plus inversele lor în sensul acelor de ceasornic, care pot fi mapate pe interval deschis (−π, π). Într-adevăr, toate grupurile pe care le-am întâlnit în §3,pe care Klein a folosit-o pentru caracterizarea geometriei euclidiene a spațiului și a geometriei clasice non-euclidiene, sunt grupări Lie și structurile lor variate netede permit crearea de interesuri topologice. Astfel, izometriile euclidiene constituie o varietate deconectată, cu reflectarea oglinzilor care nu este inclusă în aceeași componentă ca subgrupul mișcărilor euclidiene.

Ca toate colecțiile netede, un grup G Lie are un spațiu vector tangent atașat la fiecare element. În special, spațiul tangent la elementul neutru 0 al lui G devine algebra Lie a lui G prin definiția așa-numitei paranteze de Lie, o mapare bilineară a lui T 0 G × T 0 G în T 0 G, care, pentru toți u, v, w în T 0 G îndeplinește condiția [u, u] = 0 și identitatea jacobie: [u, [v, w] + [v, [w, u] + [w, [u, v] = 0. Algebra Lie a lui G aruncă multă lumină asupra structurii lui G prin cartografierea homeomorfă („exponențială”) a unui cartier de 0 ∈ T 0 G într-un cartier de 0 ∈ G.

În suplimentul O formulare modernă a teoriei lui Riemann, atingem ideea unui pachet de fibre, format din două colectoare netede F și M, legate între ele printr-o cartografiere „proiecție” π din F pe M, care compartimentează galeria F în „fibre”, Mapat de π în diferitele puncte ale lui M. Un pachet de fibre <F, M, π> devine un pachet de fibre principal <F, M, π, G> dacă un grup G, cunoscut sub numele de grupul de structuri al pachetului, acționează asupra F astfel încât fiecare fibră de F să fie o orbită a acțiunii și alte câteva condiții sunt îndeplinite. De exemplu, grupul Lorentz este grupul de structuri al pachetului principal de fibre de tetradi (ortonormale 4-tupluri de vectori tangenți la fiecare punct) pe orice spațiu relativist, oricât de bizar. În astfel de moduri,Grupurile de minciuni oferă un mijloc de unificare a multor modele permise de o teorie fizică și de a introduce un anumit grad de omogenitate între ele.

În ultima treime a secolului XX, pachetele de fibre și grupurile lor de Lie au preluat practic fizica fundamentală. Acesta nu este locul în care să explicăm cum sau de ce, dar evoluția imparabilă a fizicii către reprezentări din ce în ce mai sofisticate din punct de vedere matematic, prima facie mai puțin simple ale subiectului său, merită atenția filosofilor. Este clar că conceptul de lucru stabil și stabil, care ar putea, cel puțin în principiu, să fie ținut și manipulat, nu mai este atât de util pentru noi, așa cum a fost odată pentru strămoșii noștri cioplitori.

Bibliografie

Surse primare

  • Bolyai, J., 1832. Scientia absoluta spatii. Apendice la Bolyai, F., Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae elementis ac sublimioris, metodo intuitivă, evidente huic propria, introduceendi, Tomus Primus. Maros Vasarhely: J. et S. Kali. (Traducere în limba engleză de GB Halsted tipărit ca supliment la Bonola 1955.)
  • Cayley, Arthur, 1859. „A șasea memorie asupra cuanticii”, Tranzacții filosofice ale Royal Society of London, 149: 61–90.
  • Ehresmann, Ch., 1957. „Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable”, în Colloque de Topologie (Espaces Fibrés), Bruxelles 1950, Paris: Masson, p. 29-55.
  • Einstein, A., 1915. „Die Feldgleichungen der Gravitation”, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (1915), p. 844–847.
  • Einstein, A., 1916. „Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie”, Annalen der Physik, 49: 769–822.
  • Euclides, Elementa, IL Heiberg (ed.), Leipzig: BG Teubner, 5 volume., 1883–88. (Pentru traducere în limba engleză, a se vedea mai jos la Heath).
  • Gauss, CF, 1828. Disquisitiones generales circa superficies curvas, Göttingen: Dieterich. (Traducere în engleză de A. Hiltebietel și J. Morehead: Hewlett, NY, Raven Press, 1965.)
  • Hilbert, D., 1899. „Die Grundlagen der Geometrie”, în Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber Denkmals, Leipzig: BG Teubner, pp. 3-92.
  • Hilbert, D., 1968. Grundlagen der Geometrie, mit Supplementen von P. Bernays. Zehnte Auflage. Stuttgart: Teubner. (A zecea ediție revizuită a lui Hilbert 1899.)
  • Klein, F., 1871. „Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie”, Mathematische Annalen, 4: 573–625.
  • Klein, F., 1872. Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Erlangen: A. Duchert.
  • Klein, F., 1873. „Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie (Zweiter Aufsatz)”, Mathematische Annalen, 6: 112–145.
  • Klein, F., 1893. „Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen”, Mathematische Annalen, 43: 63–100. (Versiunea revizuită a lui Klein 1872).
  • Klein, F., 1911. „Über die geometrischen Grundlagen der Lorentz-Gruppe”, Physikalische Zeitschrift, 12: 17–27.
  • Lie, S., 1888-1893. Theorie der Transformationsgruppen (3 volume), Unter Mitwirkung von F. Engel, Leipzig: Teubner.
  • Lobachevsky, NI, 1837. „Géométrie imaginaire”, Journal for die reine und angewandte Mathematik, 17: 295–320.
  • Lobachevsky, NI, 1840. Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, Berlin: F. Fincke. (Traducere în limba engleză de GB Halsted tipărit ca supliment la Bonola 1955.)
  • Lobachevsky, NI, 1856. Pangéométrie ou précis de géométrie fondée sur une théorie générale et rigoureuse des parallèles, Kazan: Universitet.
  • Locke, J., 1690. Un eseu privind înțelegerea umană (în patru cărți), Londra: Tipărit pentru Thomas Basset și vândut de Edward Mory. (Publicat anonim; numele autorului a fost adăugat la a doua ediție).
  • Minkowski, H., 1909. „Raum und Zeit”, Physikalische Zeitschrift, 10: 104–111.
  • Pasch, M., 1882. Vorlesungen über neueren Geometrie, Leipzig: Teubner.
  • Poincaré, H., 1887. „Sur les hipothèses fondamentales de la géométrie”, Bulletin de la Société Mathématique de France, 15: 203-216.
  • Poncelet, JV, 1822. Traité des propriétés projectives des figures, Paris: Bachelier.
  • Ricci, G. și T. Levi-Cività, 1901. „Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications”, Mathematische Annalen, 54: 125–201.
  • Riemann, B., 1854. „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen”, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1867): 133-152. (Pentru traducere în limba engleză, a se vedea mai jos la Spivak.)
  • Riemann, B., 1861. „Commentatio matematica, qua respondere tentatur quaestioni ab ilustrissima Acad. Parisiensi propositae”, în Bernhard Riemanns gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass, Leipzig: Teubner, 1876, p. 391–404.
  • Russell, B., 1897. Un eseu privind fundamentele geometriei, Cambridge: Cambridge University Press. (Reimprimare nealterată: New York, Dover, 1956.)
  • Saccheri, G. 1733. Euclides ab omni nævo vindicatus sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima ipsa universæ geometriæ principia, Mediolani: Ex Typographia Pauli Antonii Montani. (Reimprimare, cu traducere în limba engleză de GB Halsted: New York, Chelsea, 1986.)

Literatura secundară

  • Acuña, Pablo, 2016. „Minkowski spacetime and Lorentz invariance: Carul și calul sau două fețe ale unei monede unice?: 1–12.
  • Blumenthal, LM, 1961. O vedere modernă a geometriei, San Francisco: Freeman.
  • Boi, Luciano, 1995. Le problème mathématique de l’espace: Une quête d’intelligible, Berlin: Springer.
  • Bonola, R., 1955. Geometria non-euclidiană: studiu critic și istoric al dezvoltării sale. Traducere în engleză cu anexe suplimentare de HS Carslaw. New York: Dover.
  • Freudenthal, H., 1957. „Zur Geschichte der Grundlagen der Geometrie”, Nieuw Archief vor Wiskunde, 5: 105–142.
  • Freudenthal, H., 1960. „Die Grundlagen der Geometrie um die Wende des 19. Jahrhunderts,” Mathematisch-physikalische Semesterbericht, 7: 2–25.
  • Gallot, S., D. Hulin și J. Lafontaine, 2004. Riemannian Geometry, Berlin: Springer, ediția a III-a. (Un manual de text actualizat, cu soluții la exerciții cu numere impare. O secțiune este dedicată geometriei „pseudo” -Riemanniană folosită în teoria relativității.)
  • Giedymin, J., 1982. Știința și convenția: eseuri despre Filozofia științei și tradiția convenționalistă a lui Henri Poincaré, Oxford: Pergamon.
  • Greenberg, MJ, 2008. Geometrie euclidiene și non-euclidiene: dezvoltare și istorie, New York: Freeman, ediția a IV-a. (Un instrument excelent pentru auto-studiu la nivel de liceu sau de student la nivel de școlarizare.)
  • Heath, TL, 1956. Cele treisprezece cărți ale elementelor lui Euclid, traduse din textul lui Heiberg cu introducere și comentarii, New York: Dover, 3 volume, ediția a II-a, revizuită cu completări.
  • Magnani, L., 2001. Filozofie și geometrie: probleme teoretice și istorice, Dordrecht: Kluwer.
  • Nagel, E., 1939. „Formarea concepțiilor moderne ale logicii formale în dezvoltarea geometriei”, Osiris, 7: 142–224.
  • O'Neill, B., 1983. Geometria semi-riemanniană cu aplicații la relativitate, New York: Academic Press.
  • Nomizu, K., 1956. Grupuri de minți și geometrie diferențială, Tokyo: Societatea matematică din Japonia.
  • Ronan, M., 2008. „Lie Theory”, în T. Gowers (ed.), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 229–234.
  • Rosenfeld, BA, 1988. A History of Non-Euclidean Geometry: Evolution of the Concept of a Geometric Space, traducere de Abe Shenitzer, New York: Springer.
  • Spivak, M., 1979. O introducere cuprinzătoare a geometriei diferențiale (5 volume), Berkeley: Publish or Perish, ediția a II-a. (Conține o excelentă traducere în engleză, cu comentarii matematice, a prelegerii lui Riemann „Pe ipotezele care se află la fundamentul geometriei”; vezi Vol. 2, pp. 135ff.)
  • Torretti, R., 1978. Filosofia geometriei de la Riemann la Poincaré, Dordrecht: Reidel. (Reimprimare corectată: Dordrecht, Reidel, 1984).
  • Trudeau, RJ, 1987. Revoluția non-euclidiană, Boston: Birkhäuser.
  • Winnie, JW, 1986. „Invariante și obiectivitate: o teorie cu aplicații la relativitate și geometrie”, în RG Colodny (ed.), From Quarks to Quasars, Pittsburgh: Pittsburgh University Press, pp. 71–180.

Instrumente academice

pictograma omului sep
pictograma omului sep
Cum se citează această intrare.
pictograma omului sep
pictograma omului sep
Previzualizați versiunea PDF a acestei intrări la Societatea Prietenii SEP.
pictograma inpho
pictograma inpho
Căutați acest subiect de intrare la Proiectul Ontologia Filozofiei pe Internet (InPhO).
pictograma documente phil
pictograma documente phil
Bibliografie îmbunătățită pentru această intrare la PhilPapers, cu link-uri către baza de date a acesteia.

Alte resurse de internet

[Vă rugăm să contactați autorul cu sugestii.]

Recomandat: