Diagrame

Cuprins:

Diagrame
Diagrame

Video: Diagrame

Video: Diagrame
Video: DIAGRAME EXCEL 2024, Martie
Anonim

Navigare la intrare

  • Cuprins de intrare
  • Bibliografie
  • Instrumente academice
  • Prieteni PDF Previzualizare
  • Informații despre autor și citare
  • Inapoi sus

diagrame

Publicat pentru prima dată Tue 28 august 2001; revizuire de fond miercuri, 13 decembrie 2018

Cu toții ne implicăm și facem uz de raționamente valide, dar raționamentul pe care îl efectuăm de fapt diferă în diferite moduri de inferențele studiate de majoritatea logisticilor (formali). Raționamentul așa cum este efectuat de ființele umane implică de obicei informații obținute prin mai mult de un mediu. În schimb, logica formală s-a preocupat în primul rând de raționamente valide, care se bazează numai pe informații într-o singură formă, adică sub formă de propoziții. Recent, mulți filosofi, psihologi, logici, matematicieni și informaticieni au devenit din ce în ce mai conștienți de importanța raționamentului multimodal și, în plus, s-au întreprins multe cercetări în domeniul sistemelor de reprezentare, care nu sunt simbolice, în special diagramate. [1] Această intrare prezintă direcțiile generale ale acestei noi zone de cercetare și se concentrează pe starea logică a diagramelor în dovezi, funcția și adecvarea lor reprezentativă, diferite tipuri de sisteme diagrammatice și rolul diagramelor în cogniția umană.

  • 1. Introducere
  • 2. Diagrame ca sisteme reprezentative

    • 2.1 Diagrame Euler
    • 2.2 Diagrame Venn
    • 2.3 Extensia lui Peirce
    • 2.4 Diagrame ca sisteme formale
    • 2.5 Cercurile Euler revizuite
  • 3. Consecințele proprietăților spațiale ale diagramelor

    • 3.1 Limitări ale reprezentării și raționamentului diagramatic
    • 3.2 Eficiența diagramelor
  • 4. Sisteme diagrammatice în geometrie

    • 4.1 Vizualizări asupra diagramelor lui Euclid din secolul al IV- lea î. Hr. până în secolul XX
    • 4.2 Distincția exactă / co-exactă a mandantilor și problema generalității

      • 4.2.1 Distincția exactă / co-exactă
      • 4.2.2 Problema de generalitate a construcțiilor lui Euclid
    • 4.3 Sistemele formale FG și Eu
  • 5. Diagrame și cogniții, aplicații

    • 5.1 Alte sisteme diagrama
    • 5.2 Diagrame ca reprezentări mentale
    • 5.3 Rolul cognitiv al diagramelor
  • rezumat
  • Bibliografie

    • Referințe
    • Literatură relevantă
  • Instrumente academice
  • Alte resurse de internet
  • Intrări conexe

1. Introducere

Diagramele sau imaginile se clasează probabil printre cele mai vechi forme de comunicare umană. Acestea nu sunt utilizate doar pentru reprezentare, dar pot fi utilizate și pentru a realiza anumite tipuri de raționament și, prin urmare, joacă un rol particular în logică și matematică. Cu toate acestea, sistemele de reprezentare sentențială (de exemplu, logica de prim ordin) au fost dominante în istoria modernă a logicii, în timp ce diagramele au fost considerate în mare parte doar de interes marginal. Diagramele sunt de obicei adoptate ca instrument euristic în explorarea unei dovezi, dar nu ca parte a unei dovezi. [2] Este o mișcare destul de recentă între filozofi, logicieni, oameni de știință cognitivă și oameni de știință în calculatoare, care să se concentreze pe diferite tipuri de sisteme de reprezentare, iar multe cercetări au fost concentrate în special pe sistemele de reprezentare diagrama.

Contestând un prejudecat îndelungat împotriva reprezentării schematice, cei care lucrează la raționamentul multimodal au adoptat diferite tipuri de abordări pe care le putem clasifica în trei grupuri distincte. O ramură a cercetării poate fi găsită în filosofia minții și știința cognitivă. Întrucât limitele formelor lingvistice sunt clare pentru cei care au lucrat la reprezentarea mentală și raționamentul, unii filosofi și oameni de știință cognitivi au îmbrățișat această nouă direcție a raționamentului multimodal cu entuziasm și au explorat raționamentul uman și reprezentarea mentală implicând forme non-lingvistice (Cummins 1996; Chandrasekaran și colab., 1995). O altă direcție de lucru asupra raționamentului diagramatic arată că nu există nicio diferență intrinsecă între sistemele simbolice și cele diagrammatice în ceea ce privește statutul lor logic. Unii logici au prezentat studii de caz pentru a demonstra că sistemele diagramate pot fi solide și complete în același sens ca și sistemele simbolice. Acest tip de rezultat a respins direct o presupunere pe scară largă conform căreia diagramele sunt în mod înșelător înșelătoare și au eliminat obiecțiile teoretice cu privire la diagramele utilizate în dovezi (Shin 1994; Hammer 1995a). O a treia direcție în raționamentul multimodal a luat-o oamenii de informatică, al căror interes este mult mai practic decât cel al celorlalte grupuri. Nu este surprinzător faptul că cei care lucrează în multe domenii în domeniul informaticii, de exemplu, reprezentarea cunoștințelor, proiectarea sistemelor, programarea vizuală, designul GUI și, astfel, au găsit oportunități noi și interesante în acest nou concept de „sistem eterogen” și au pus în aplicare schema reprezentări în domeniile lor de cercetare.

Avem următoarele obiective pentru această intrare. În primul rând, am dori să facem cunoștință cititorului cu detaliile unor sisteme diagrammatice specifice. În același timp, intrarea va aborda probleme teoretice, prin explorarea naturii reprezentării și raționamentului diagrama în termeni de putere și corectitudine expresivă. Studiul de caz al celei de-a doua secțiuni nu numai că ne va satisface primul obiectiv, ci ne va oferi și materiale solide pentru discuțiile mai teoretice și generale din a treia secțiune. A patra secțiune prezintă un alt studiu de caz și îl consideră în lumina discuției generale a secțiunii a treia. După cum am menționat mai sus, subiectul diagramelor a atras multă atenție cu rezultate importante din mai multe domenii de cercetare diferite. Prin urmare,cea de-a cincea secțiune își propune să introducă diverse abordări ale raționamentului schematic, luate în diferite domenii.

Pentru discuții suplimentare, trebuie să clarificăm două utilizări legate, dar distincte, ale cuvântului „diagrama”: diagrama ca reprezentare mentală internă și diagrama ca reprezentare externă. Următorul citat din Chandrasekaran și colab. (1995: p. Xvii) rezumă succint distincția dintre reprezentările diagrammatice interne față de cele externe:

  • Reprezentări schematice externe: Acestea sunt construite de agent într-un mediu din lumea externă (hârtie, etc), dar sunt concepute ca reprezentări ale agentului.
  • Diagrame sau imagini interne: Acestea cuprind reprezentările (controversate) interne care sunt pozitive pentru a avea unele proprietăți picturale.

După cum vom vedea mai jos, logicienii se concentrează pe sisteme schematice externe, dezbaterea de imagini între filozofii minții și oamenii de știință cognitivă se referă în principal la diagrame interne, iar cercetarea asupra rolului cognitiv al diagramelor atinge ambele forme.

2. Diagrame ca sisteme reprezentative

Dominanța sistemelor de reprezentare sentențială în istoria logicii moderne a ascuns mai multe fapte importante despre sistemele diagramatice. Unul dintre ele este faptul că mai multe sisteme schematice bine-cunoscute au fost disponibile ca instrument euristic înainte de epoca logicii moderne. Cercurile Euler, diagramele Venn și pătratele lui Lewis Carroll au fost utilizate pe scară largă pentru anumite tipuri de raționament silogistic (Euler 1768; Venn 1881; Carroll 1896). O altă poveste interesantă, dar neglijată, este că un fondator al logicii simbolice moderne, Charles Peirce, nu numai că a revizuit diagramele Venn, dar a inventat și un sistem grafic, Graphical Existential, care s-a dovedit a fi echivalent cu un limbaj predicat (Peirce 1933; Roberts 1973; Zeman 1964).

Aceste diagrame existente au inspirat acei cercetători care ne-au atras recent atenția asupra reprezentării multimodale. Logicienii care participă la proiect au explorat subiectul în două moduri distincte. În primul rând, interesul lor s-a concentrat exclusiv pe sistemele de reprezentare desenate extern, spre deosebire de reprezentările mentale interne. În al doilea rând, scopul lor a fost să stabilească statutul logic al unui sistem, mai degrabă decât să-și explice puterea euristică, testând corectitudinea și puterea expresivă a sistemelor de reprezentare selectivă. Dacă un sistem nu reușește să-și justifice soliditatea sau dacă puterea sa expresivă este prea limitată, interesul unui logician pentru acest limbaj va dispărea (Sowa 1984; Shin 1994).

În această secțiune, examinăm dezvoltarea istorică a diagramelor Euler și Venn ca studiu de caz pentru a ilustra următoarele aspecte: În primul rând, acest proces ne va arăta cum intuiția simplă a unui matematician despre diagrama raționamentului silogistic a fost dezvoltată treptat într-un sistem de reprezentare formală. În al doilea rând, vom observa diferite sublinieri acordate diferitelor etape de extindere și modificare a unui sistem diagramatic. În al treilea rând și în mod asemănător, această dezvoltare istorică ilustrează o tensiune interesantă și o schimbare între puterea expresivă și claritatea vizuală a sistemelor diagramatice. Cel mai important, cititorul îi va asista pe logicieni să abordeze problema dacă există vreun motiv intrinsec că sistemele sentențiale, dar nu și sistemele diagrammatice, ne-ar putea oferi dovezi riguroase,și succesul lor în a răspunde la această întrebare în negativ.

Prin urmare, cititorul nu va fi surprins de următoarea concluzie extinsă de Barwise și Etchemendy, primii logici care au lansat o anchetă asupra unor dovezi diagrammatice în logică,

nu există o distincție de principiu între formalismele de inferență care folosesc textul și cele care folosesc diagrame. Se pot avea sisteme formale riguroase, logice (și complete) bazate pe diagrame. (Barwise & Etchemendy 1995: 214)

Această convingere a fost necesară pentru nașterea programului lor inovator de calculator Hyperproof, care adoptă atât limbaje de prim ordin, cât și diagrame (într-un sistem multimodal) pentru a preda cursuri de logică elementară (Barwise & Etchemendy 1993 și Barwise & Etchemendy 1994).

2.1 Diagrame Euler

Leonhard Euler, matematician din secolul al XVIII-lea, a adoptat curbe închise pentru a ilustra raționamentul silogistic (Euler 1768). Cele patru tipuri de propoziții categorice sunt reprezentate de el așa cum se arată în figura 1.

Patru cazuri: primul etichetat „Toate A sunt B” are un cerc interior etichetat „A” complet în interiorul unui cerc exterior etichetat „B”; al doilea etichetat „Nu A este B” are două cercuri care nu se suprapun, unul etichetat „A” și celălalt „B”; al treilea etichetat „Unii A este B” are două cercuri suprapuse, suprapunerea este etichetată „A” și bitul care nu se suprapune dintr-un cerc este etichetat „B”; al patrulea caz etichetat „Unele A nu este B” are două cercuri suprapuse, bitul care nu se suprapune unuia este etichetat „A” și bitul care nu se suprapune al celuilalt este etichetat „B”
Patru cazuri: primul etichetat „Toate A sunt B” are un cerc interior etichetat „A” complet în interiorul unui cerc exterior etichetat „B”; al doilea etichetat „Nu A este B” are două cercuri care nu se suprapun, unul etichetat „A” și celălalt „B”; al treilea etichetat „Unii A este B” are două cercuri suprapuse, suprapunerea este etichetată „A” și bitul care nu se suprapune dintr-un cerc este etichetat „B”; al patrulea caz etichetat „Unele A nu este B” are două cercuri suprapuse, bitul care nu se suprapune unuia este etichetat „A” și bitul care nu se suprapune al celuilalt este etichetat „B”

Figura 1: Diagrame Euler

Pentru cele două enunțuri universale, sistemul adoptă relații spațiale între cercuri într-un mod intuitiv: Dacă cercul etichetat „A” este inclus în cercul etichetat „B”, atunci diagrama reprezintă informația că toate A sunt B. Dacă nu există nicio parte care se suprapune între două cercuri, atunci diagrama transmite informația că nu A este B.

Această reprezentare este guvernată de următoarea convenție: [3]

Fiecare obiect x din domeniu i se atribuie o locație unică, să zicem l (x), în plan astfel încât l (x) să fie în regiunea R dacă și numai dacă x este un membru al setului pe care îl reprezintă regiunea R.

Puterea acestei reprezentări constă în faptul că un obiect care face parte dintr-un set este ușor conceptualizat ca obiect care se încadrează în interiorul setului, la fel cum se consideră că locațiile de pe pagină se încadrează în cercuri sau în exterior. Puterea sistemului constă, de asemenea, în faptul că nu este nevoie de convenții suplimentare pentru a stabili semnificațiile diagramelor care implică mai mult de un cerc: relațiile care se țin între mulțimi se afirmă prin intermediul acelorași relații deținute între cercurile care le reprezintă. Reprezentările celor două enunțuri universale, „Toate A sunt B” și „Nu A este B”, ilustrează această rezistență a sistemului.

Trecând la două enunțuri existențiale, această claritate nu se păstrează. Euler justifică diagrama „Unii A este B” spunând că putem deduce vizual că ceva din A este conținut și în B, deoarece o parte a zonei A este conținută în zona B (Euler 1768: 233). Evident, Euler însuși credea că același tip de relație vizuală de conținere între zone poate fi utilizat în acest caz, precum și în cazul enunțurilor universale. Cu toate acestea, credința lui Euler nu este corectă și această reprezentare ridică o ambiguitate dăunătoare. În această diagramă, nu numai că este parte a cercului A conținută în zona B (așa cum descrie Euler), dar sunt adevărate următoarele: (i) o parte a cercului B este conținută în zona A (ii) o parte a cercului A nu este conținută în cercul B (iii) o parte a cercului B nu este conținută în cercul A. Adică, a treia diagrama poate fi citită ca „Unele B este A,„„ Unele A nu sunt B”și„ Unele B nu sunt A”, precum și„ Unele A este B”. Pentru a evita această ambiguitate, trebuie să stabilim mai multe convenții.[4]

Exemplele proprii ale lui Euler ilustrează frumos punctele tari și punctele slabe ale sistemului său diagrama.

Exemplul 1. Toate A sunt B. Toate C sunt A. Prin urmare, toate C sunt B.

Trei cercuri concentrice, cel mai interior, etichetat „C”, următorul etichetat „A”, iar cel mai exterior, etichetat „B”
Trei cercuri concentrice, cel mai interior, etichetat „C”, următorul etichetat „A”, iar cel mai exterior, etichetat „B”

Exemplul 2. Nu A este B. Toate C sunt B. Prin urmare, niciun C nu este A.

În stânga, un cerc etichetat „A”, iar în dreapta două cercuri concentrice, interiorul etichetat „C”, iar cel exterior, etichetat „B”
În stânga, un cerc etichetat „A”, iar în dreapta două cercuri concentrice, interiorul etichetat „C”, iar cel exterior, etichetat „B”

În ambele exemple, cititorul poate deduce cu ușurință concluzia, iar aceasta ilustrează caracteristici vizibile puternice ale diagramelor Euler. Cu toate acestea, atunci când sunt reprezentate enunțuri existențiale, lucrurile devin mai complicate, așa cum am explicat mai sus. De exemplu:

Exemplul 3. Nu A este B. Unele C este A. Prin urmare, Unele C nu este B.

Nici o diagramă nu poate reprezenta cele două premise, deoarece relația dintre seturile B și C nu poate fi specificată complet într-o singură diagramă. În schimb, Euler sugerează următoarele trei cazuri posibile:

Trei cazuri: Cazul 1 are în stânga două cercuri suprapuse, suprapunerea este etichetată „C” și secțiunea care nu se suprapune din primul cerc este etichetată „A”; în dreapta și separat este un al treilea cerc cu eticheta „B”. Cazul 2 are trei cercuri, două dintre cercuri se suprapun iar secțiunea de suprapunere este etichetată „C” și secțiunea care nu se suprapune din primul cerc este etichetată „A”; în secțiunea care nu se suprapune din al doilea cerc se află al treilea cerc etichetat „B”. Cazul 3 este similar cu cazul 2, cu excepția celui de-al treilea cerc nu este complet în secțiunea care nu se suprapune din al doilea cerc; secțiunea celui de-al treilea cerc în afara celui de-al doilea cerc este etichetată „B”
Trei cazuri: Cazul 1 are în stânga două cercuri suprapuse, suprapunerea este etichetată „C” și secțiunea care nu se suprapune din primul cerc este etichetată „A”; în dreapta și separat este un al treilea cerc cu eticheta „B”. Cazul 2 are trei cercuri, două dintre cercuri se suprapun iar secțiunea de suprapunere este etichetată „C” și secțiunea care nu se suprapune din primul cerc este etichetată „A”; în secțiunea care nu se suprapune din al doilea cerc se află al treilea cerc etichetat „B”. Cazul 3 este similar cu cazul 2, cu excepția celui de-al treilea cerc nu este complet în secțiunea care nu se suprapune din al doilea cerc; secțiunea celui de-al treilea cerc în afara celui de-al doilea cerc este etichetată „B”

Euler susține că propoziția „Some C is not B” poate fi citită din toate aceste diagrame. Cu toate acestea, este departe de a fi clar clar modul în care primele două cazuri conduc un utilizator să citească această propunere, deoarece un utilizator ar putea citi „No C is B” din cazul 1 și „All B is C” din cazul 2.

Prin urmare, reprezentarea enunțurilor existențiale nu numai că ascunde claritatea vizuală a cercurilor Euler, dar ridică probleme grave de interpretare pentru sistem. Euler însuși părea să recunoască această problemă potențială și a introdus un nou dispozitiv sintactic, „*” (reprezentând lipsa de gol) ca o încercare de a repara acest defect (1768: scrisoarea 105).

Cu toate acestea, un dezavantaj mai grav este găsit atunci când acest sistem nu reușește să reprezinte anumite informații compatibile (adică consecvente) într-o singură diagrama. De exemplu, sistemul lui Euler ne împiedică să desenăm o singură diagramă reprezentând următoarele perechi de enunțuri: (i) „Toate A sunt B” și „Nu A este B” (care sunt consistente dacă A este un set gol). (ii) „Toate A sunt B” și „Toate B sunt A” (care sunt consistente atunci când A = B). (iii) „Unii A sunt B” și „Toți A sunt B”. (Să presupunem că am desenat o diagramă Euler pentru propunerea anterioară și încercăm să adăugăm o nouă informație compatibilă, adică, cea din urmă, la această diagramă existentă.) Acest neajuns este strâns legat de motivația lui Venn pentru propriul său sistem diagrama (vezi secțiunea 3.1 pentru alte neajunsuri ale sistemului Euler).

2.2 Diagrame Venn

Critica lui Venn asupra Euler Circles este rezumată în următorul pasaj:

Punctul slab al acestei [diagrame Euler] și în toate schemele similare constă în faptul că ele ilustrează doar în strictețe relația reală a claselor între ele, mai degrabă decât cunoașterea imperfectă a acestor relații pe care le putem avea sau poate doresc să transmită prin propoziție. (Venn 1881: 510)

Din cauza stricteții sale, sistemul Euler nu reușește uneori să reprezinte informații consistente într-o singură diagrama, așa cum se arată mai sus. În plus față de această limitare expresivă, sistemul Euler suferă și alte tipuri de limitări expresive în ceea ce privește seturile care nu sunt goale, din cauza restricțiilor topologice asupra figurilor plane (a se vedea secțiunea 3.1).

Noul sistem al lui Venn (1881) urma să depășească aceste limitări expresive, astfel încât informațiile parțiale să poată fi reprezentate. Soluția a fost ideea lui de „diagrame primare”. O diagramă primară reprezintă toate relațiile posibile de set-teoretic între o serie de seturi, fără a se angaja în vreun angajament existențial. De exemplu, figura 2 prezintă diagrama primară despre seturile A și B.

două cercuri suprapuse, primul etichetat „A” și al doilea etichetat „B”
două cercuri suprapuse, primul etichetat „A” și al doilea etichetat „B”

Figura 2: Diagrame primare ale lui Venn

Conform sistemului Venn, această diagramă nu transmite nicio informație specifică despre relația dintre aceste două seturi. Aceasta este diferența majoră între diagramele Euler și Venn.

Pentru reprezentarea enunțurilor universale, spre deosebire de relațiile de izolare spațială vizibile în cazul diagramelor Euler, soluția lui Venn este „să le umbrezi [zonele corespunzătoare] în afara” (Venn 1881: 122). Folosind acest dispozitiv sintactic, obținem diagrame pentru enunțuri universale, așa cum se arată în figura 3.

Două diagrame Venn. Primul este intitulat „Toate A sunt B” și este format din două cercuri suprapuse etichetate „A” și „B”, secțiunea A care nu se suprapune cu B este umbrită. Al doilea este intitulat „Nu A este B” și constă, de asemenea, din două cercuri suprapuse etichetate „A” și „B”, suprapunerea celor două cercuri este umbrită
Două diagrame Venn. Primul este intitulat „Toate A sunt B” și este format din două cercuri suprapuse etichetate „A” și „B”, secțiunea A care nu se suprapune cu B este umbrită. Al doilea este intitulat „Nu A este B” și constă, de asemenea, din două cercuri suprapuse etichetate „A” și „B”, suprapunerea celor două cercuri este umbrită

Figura 3: umbrire a lui Venn

Opțiunea de umbrire a lui Venn s-ar putea să nu fie absolut arbitrară, întrucât umbrirea ar putea fi interpretată ca o vizualizare a golului stabilit. Cu toate acestea, trebuie menționat că umbrirea este un dispozitiv sintactic nou pe care Euler nu l-a folosit. Această revizuire a oferit flexibilitate sistemului, astfel încât anumite informații compatibile pot fi reprezentate într-o singură diagramă. În cele ce urmează, diagrama din stânga combină două informații, „Toate A sunt B” și „Nu A este B”, pentru a transmite vizual informația „Nimic nu este A”. Diagrama din dreapta, care reprezintă atât „Toate A sunt B” cât și „Toate B sunt A”, arată clar că A este aceeași ca B:

Două diagrame Venn: prima are două cercuri suprapuse etichetate „A” și „B”; cercul A este umbrit. Al doilea este, de asemenea, două cercuri suprapuse etichetate „A” și „B”, ambele cercuri sunt umbrite, cu excepția cazului în care se suprapun
Două diagrame Venn: prima are două cercuri suprapuse etichetate „A” și „B”; cercul A este umbrit. Al doilea este, de asemenea, două cercuri suprapuse etichetate „A” și „B”, ambele cercuri sunt umbrite, cu excepția cazului în care se suprapun

De fapt, utilizarea diagramelor primare evită, de asemenea, unele alte probleme de expresivitate (în legătură cu proprietățile spațiale ale obiectelor diagramei) discutate mai jos, în secțiunea 3. În mod surprinzător, Venn a tăcut cu privire la reprezentarea enunțurilor existențiale, ceea ce reprezenta o altă dificultate a diagramelor Euler. Ne putem imagina doar că Venn ar fi putut introduce un alt tip de obiect sintactic reprezentând angajamentul existențial. Asta a făcut Charles Peirce aproximativ douăzeci de ani mai târziu.

2.3 Extensia lui Peirce

Peirce subliniază că sistemul lui Venn nu are cum să reprezinte următoarele tipuri de informații: enunțuri existențiale, informații disjunctive, probabilități și relații. Peirce urmărea să extindă sistemul lui Venn în puterea expresivă cu privire la primele două tipuri de propoziții, adică enunțuri existențiale și disjunctive. Această extensie a fost completată cu următoarele trei dispozitive. (i) Înlocuiți umbrirea lui Venn reprezentând goliciunea cu un nou simbol, „o”. (ii) Introduceți un simbol „x” pentru importul existențial. (iii) Pentru informații disjunctive, introduceți un simbol liniar '-' care conectează simbolurile 'o' și 'x'.

De exemplu, figura 4 reprezintă afirmația „Toate A sunt B sau unele A sunt B”, pe care nici sistemul lui Euler și nici Venn nu le pot reprezenta într-o singură diagrama.

Două cercuri suprapuse etichetate „A” și „B”; în interiorul suprapunerii se află o etichetă "x", iar în interiorul bitului care nu se suprapune din cercul A este o etichetă "o"; o linie conectează „x” la „o”
Două cercuri suprapuse etichetate „A” și „B”; în interiorul suprapunerii se află o etichetă "x", iar în interiorul bitului care nu se suprapune din cercul A este o etichetă "o"; o linie conectează „x” la „o”

Figura 4: O diagramă Peirce

Motivul pentru care Peirce a înlocuit umbrirea lui Venn pentru golire cu simbolul „o” pare a fi evident: nu ar fi ușor să conectăm umbrele sau umbrele și „x” pentru a reprezenta informații disjunctive. În acest fel, Peirce a mărit puterea expresivă a sistemului, dar această schimbare nu a fost fără costurile sale.

De exemplu, următoarea diagramă reprezintă propoziția „Fie toate A sunt B și unele A sunt B, sau nu A este B și unele B nu sunt A”:

două cercuri suprapuse etichetate „A” și „B”; în primul rând, în interiorul secțiunii care nu se suprapun din cercul A este o „o” conectată de o linie la o „o” în interiorul suprapunerii; al doilea, de asemenea, în secțiunea care nu se suprapune din cercul A este o altă „o” conectată de o linie la o „x” în secțiunea care nu se suprapune din cercul „B”; al treilea în secțiunea de suprapunere a celor două cercuri sunt un 'x și un' o 'conectate de o linie; al patrulea o „x” în secțiunea suprapusă conectată de o linie la o „x” în secțiunea care nu se suprapune din cercul B
două cercuri suprapuse etichetate „A” și „B”; în primul rând, în interiorul secțiunii care nu se suprapun din cercul A este o „o” conectată de o linie la o „o” în interiorul suprapunerii; al doilea, de asemenea, în secțiunea care nu se suprapune din cercul A este o altă „o” conectată de o linie la o „x” în secțiunea care nu se suprapune din cercul „B”; al treilea în secțiunea de suprapunere a celor două cercuri sunt un 'x și un' o 'conectate de o linie; al patrulea o „x” în secțiunea suprapusă conectată de o linie la o „x” în secțiunea care nu se suprapune din cercul B

Citirea acestei diagrame necesită mai mult decât citirea conținutului vizual între cercuri (ca în diagramele Euler) sau umbre (ca în diagramele Venn), dar necesită, de asemenea, convenții suplimentare pentru citirea combinațiilor dintre simbolurile „o, '' x, 'și linii. Noile convenții ale lui Peirce au sporit puterea expresivă a diagramelor unice, dar arbitrarul convențiilor sale și reprezentările mai confuze (de exemplu, diagrama de mai sus) au sacrificat claritatea vizuală de care se bucură sistemul original al lui Euler. În acest moment, Peirce însuși mărturisește că „există o mare complexitate în expresia esențială a sensului” (Peirce 1933: 4.365). Astfel, când revizuirea lui Peirce a fost finalizată, majoritatea ideilor originale ale lui Euler despre vizualizare au fost pierdute, cu excepția faptului că un obiect geometric (cercul) este folosit pentru a reprezenta seturi (eventual goale).

O altă contribuție importantă pe care Peirce a adus-o studiului diagramelor începe cu următoarea remarcă:

„Regula” este folosită aici în sensul în care vorbim despre „regulile” algebrei; adică ca o permisiune în condiții strict definite. (Peirce 1933: 4.361)

Peirce a fost probabil prima persoană care a discutat regulile de transformare într-un sistem de reprezentare non-sentențială. În același mod în care regulile algebrei ne spun ce transformări ale simbolurilor sunt permise și care nu, așa ar trebui să fie regulile de manipulare a diagramei. Unele dintre cele șase reguli ale lui Pierce aveau nevoie de mai multe clarificări și se dovedesc a fi incomplete - o problemă pe care Peirce însuși a anticipat-o. Cu toate acestea, mai important, Peirce nu a avut niciun instrument teoretic - o distincție clară între sintaxă și semantică - pentru a convinge cititorul că fiecare regulă este corectă sau pentru a determina dacă sunt necesare mai multe reguli. Adică, intuiția sa importantă (că ar putea exista reguli de transformare pentru diagrame) a rămas justificată.

2.4 Diagrame ca sisteme formale

Shin (1994) urmărește activitatea lui Peirce în două direcții. Unul este de a îmbunătăți versiunea lui Peirce a diagramelor Venn, iar celălalt este de a demonstra soliditatea și completitudinea acestui sistem revizuit.

Lucrarea lui Shin modifică modificările lui Peirce ale diagramelor Venn pentru a obține o creștere a puterii expresive, fără o pierdere atât de severă a clarității vizuale. Această revizuire se face în două etape: (i) Venn-I: păstrează umbrele lui Venn (pentru golire), „x” ale lui Peirce (pentru import existențial) și linia de conectare a lui Peirce între „x” (pentru informații disjunctive). (ii) Venn-II: Acest sistem, care s-a dovedit a fi logic echivalent cu logica predicatului monadic, este același ca Venn-I, cu excepția faptului că o linie de legătură între diagrame este recent introdusă pentru a afișa informații disjunctive.

Revenind la unul dintre exemplele lui Euler, vom vedea clar contrastul dintre aceste versiuni diferite:

Exemplul 3. Nu A este B. Unele C este A. Prin urmare, Unele C nu este B.

Euler admite că nici o diagramă Euler nu poate fi desenată pentru a reprezenta premisele, ci că trebuie să fie trase trei cazuri posibile. Sistemul lui Venn tace cu privire la afirmațiile existențiale. Acum, sistemele lui Peirce și Shin reprezintă aceste două premise într-o singură diagramă, după cum urmează:

Două diagrame ambele constând din trei cercuri suprapuse etichetate „A”, „B” și „C”. Prima diagrama, intitulată "Peirce", are în suprapunerea celor trei cercuri o "x" conectată la o "x" în suprapunerea numai a cercurilor A și C; are, de asemenea, în suprapunerea celor trei cercuri, o „o” și, de asemenea, un „o” în suprapunerea numai a cercurilor A și B. A doua diagramă, intitulată „Shin”, are în suprapunerea celor trei cercuri un „x” 'conectat la o' x 'în suprapunerea numai a cercurilor A și C; suprapunerea lui A și B este umbrită
Două diagrame ambele constând din trei cercuri suprapuse etichetate „A”, „B” și „C”. Prima diagrama, intitulată "Peirce", are în suprapunerea celor trei cercuri o "x" conectată la o "x" în suprapunerea numai a cercurilor A și C; are, de asemenea, în suprapunerea celor trei cercuri, o „o” și, de asemenea, un „o” în suprapunerea numai a cercurilor A și B. A doua diagramă, intitulată „Shin”, are în suprapunerea celor trei cercuri un „x” 'conectat la o' x 'în suprapunerea numai a cercurilor A și C; suprapunerea lui A și B este umbrită

În cazul diagramei lui Shin, convenția de umbrire a lui Venn, spre deosebire de „o” a lui Peirce, duce mult mai firesc cititorul la inferența „Some C nu este B” decât în cazul diagramei lui Peirce.

Cu toate acestea, Venn-I nu poate exprima informații disjunctive între enunțuri universale sau între enunțuri universale și existențiale. Păstrând puterea expresivă a lui Venn-I, Venn-II permite conectarea diagramelor printr-o linie. Diagrama confuză a lui Peirce de mai sus este echivalentă cu următoarea diagramă Venn-II:

Două dreptunghiuri conectate printr-o linie conținând fiecare două cercuri suprapuse; în primul dreptunghi, suprapunerea celor două cercuri conține o „x” și secțiunea care nu se suprapune din primul cerc este umbrită; în cel de-al doilea dreptunghi, secțiunea de suprapunere a celor două cercuri este umbrită și o „x” se află în secțiunea care nu se suprapune din al doilea cerc
Două dreptunghiuri conectate printr-o linie conținând fiecare două cercuri suprapuse; în primul dreptunghi, suprapunerea celor două cercuri conține o „x” și secțiunea care nu se suprapune din primul cerc este umbrită; în cel de-al doilea dreptunghi, secțiunea de suprapunere a celor două cercuri este umbrită și o „x” se află în secțiunea care nu se suprapune din al doilea cerc

În plus față de această revizuire, Shin (1994) a prezentat fiecare din aceste două sisteme ca un sistem de reprezentare formală standard, echipat cu sintaxa proprie și semantică. Sintaxa ne spune ce diagrame sunt acceptabile, adică care sunt bine formate și ce manipulări sunt permise în fiecare sistem. Semantica definește consecințele logice printre diagrame. Folosind aceste instrumente, este dovedit că sistemele sunt solide și complete, în același sens în care sunt unele logici simbolice.

Această abordare a reprezentat o provocare fundamentală pentru unele dintre ipotezele despre sistemele de reprezentare. De la dezvoltarea logicii moderne, concepte importante, de exemplu, sintaxă, semantică, inferență, consecință logică, validitate și completitudine, au fost aplicate numai sistemelor de reprezentare sentențială. Cu toate acestea, niciuna dintre acestea nu s-a dovedit a fi intrinsecă doar la aceste logici simbolice tradiționale. Pentru orice sistem de reprezentare, indiferent dacă este sentențial sau diagramatic, putem discuta două niveluri, unul sintactic și unul semantic. Ceea ce ne spun regulile de inferență este modul de manipulare a unei unități date, simbolică sau diagramă, către alta. Definiția consecinței logice este de asemenea lipsită de orice formă specifică a unui sistem de reprezentare. Același argument este valabil și pentru dovada de temeinicie și completitudine. Când un sistem este dovedit a fi bun,ar trebui să-l putem adopta în dovezi. De fapt, multe cercetări actuale explorează utilizarea diagramelor în teorema automatizată (vezi Barker-Plummer & Bailin 1997; și Jamnik et al. 1999).

2.5 Cercurile Euler revizuite

Este interesant și important să observăm că modificările treptate efectuate de la cercurile Euler prin sistemele lui Shin împărtășesc o temă comună: creșterea puterii expresive și logice a sistemului, astfel încât să fie sunet, complet și echivalent logic cu logica predicatului monadic.. Revizuirea principală de la diagramele Euler la Venn, introducând diagrame primare, ne permite să reprezentăm cunoștințe parțiale despre relațiile dintre seturi. Extensia de la diagramele Venn la Peirce se face astfel încât informațiile existențiale și disjunctive pot fi reprezentate mai eficient.

Atât Venn cât și Peirce au adoptat același fel de soluție pentru a realiza aceste îmbunătățiri: introducerea de noi obiecte sintactice, adică umbrele lui Venn și „x's”, o și liniile lui Peirce. Cu toate acestea, pe partea negativă, aceste sisteme revizuite suferă de o pierdere a clarității vizuale, așa cum s-a văzut mai sus, în principal din cauza introducerii mai multor convenții arbitrare. Modificările de la diagramele Peirce la Shin se concentrează pe restabilirea clarității vizuale, dar fără pierderea puterii expresive.

Hammer și Shin iau o cale diferită de aceste revizii: Reînvierea relației omomorfe a lui Euler între cercuri și conținerea seturilor între cercuri reprezintă relația de subset dintre seturi, iar neregularea regiunilor reprezintă relația disociată și, în același timp, să adopte Diagrame primare ale lui Venn în mod implicit. Pe de altă parte, acest sistem Euler revizuit nu este un instrument autosuficient pentru raționamentul silogistic, deoarece nu poate reprezenta enunțuri existențiale. Pentru mai multe detalii despre acest sistem revizuit, consultați (Hammer & Shin 1998).

Acest studiu de caz ridică o întrebare interesantă pentru cercetări ulterioare privind raționamentul diagrama. De-a lungul diferitelor evoluții ale diagramelor Euler, creșterea puterii expresive și îmbunătățirea clarității sale vizuale par a fi complementare între ele. În funcție de scopuri, trebuie să acordăm prioritate unul peste celălalt. Sistemul alternativ al lui Hammer și Shin oferă un model simplu pentru dezvoltarea altor sisteme de reprezentare non-sentențiale eficiente, un subiect care a primit o atenție din ce în ce mai mare în informatică și știință cognitivă.

3. Consecințele proprietăților spațiale ale diagramelor

Deși este adesea posibil să se permită diagramelor același statut logic ca formulele (așa cum s-a arătat mai sus), există încă diferențe importante (care pot avea ramificări pentru corectitudinea sistemului) între diagrame și calculele tradiționale liniare. Un punct important de reținut despre diagrame (a se vedea Russell 1923) este faptul că relațiile spațiale între obiecte dintr-o diagramă pot fi utilizate pentru a reprezenta relațiile între obiecte din alt domeniu. Limbile secvențiale (de exemplu, logica simbolică, limbajele naturale) folosesc, însă, doar relația de concatenare pentru a reprezenta relațiile dintre obiecte. Utilizarea reprezentativă particulară a relațiilor spațiale în cazul diagramelor este directă și intuitivă, așa cum se vede în dezvoltarea diagramelor Euler de mai sus, dar are și pericolele sale, după cum vom discuta. Restrângerile spațiale, fiind specifice sistemului sistematic,poate fi de așteptat să fie o sursă importantă atât a punctelor forte, cât și a celor slabe. Considerațiile psihologice referitoare la capacitățile umane de prelucrare vizuală a informațiilor și abilități în raționamentul spațial calitativ, au, de asemenea, ramificări pentru eficacitatea raționamentului cu diagrame, dar nu le vom examina aici.

O particularitate distinctivă a diagramelor este aceea că acestea respectă anumite constrângeri „nomice” sau „intrinseci” datorită folosirii suprafețelor plane ca mediu de reprezentare. Ideea este că limbajele sentențiale se bazează pe semnale acustice care sunt de natură secvențială, deci trebuie să aibă o sintaxă compensatorie complexă pentru a exprima anumite relații - în timp ce diagramele, fiind bidimensionale, sunt capabile să afișeze unele relații fără intervenția lui o sintaxă complexă (Stenning & Lemon 2001). Diagramele exploatează această posibilitate - utilizarea relațiilor spațiale pentru a reprezenta alte relații. Întrebarea este; cât de bine pot relațiile și obiectele spațiale să reprezinte alte (și mai abstracte) obiecte și relații?

Raționamentul logic cu diagrame este adesea efectuat în virtutea descrierii lor a tuturor modelelor posibile ale unei situații, până la echivalarea topologică a diagramelor (aceasta depinde, desigur, de sistemul diagramatic particular folosit). O diagramă unică este adesea o abstracție asupra unei clase de situații și, odată construită o diagramă adecvată, se pot citi pur și simplu inferențe din reprezentare fără alte manipulări. În unele sisteme diagrammatice (de exemplu, cercurile Euler), inferența este realizată prin construirea corectă a diagramelor și citirea informațiilor din ele. Complexitatea utilizării regulilor de inferență într-o logică simbolică este, în aceste cazuri, înlocuită de problema desenării corecte a diagramelor. [5]De exemplu, o diagramă Euler Circles se încumetă să capteze relații între seturi folosind relații topologice între regiunile plane, astfel încât să descrie toate modalitățile posibile de a putea fi adevărate o anumită colecție de enunțuri teoretice. Aceasta are două consecințe importante: (1) dacă nu poate fi trasată o anumită diagramă, atunci situația descrisă trebuie să fie imposibilă (denumită „coerență de sine”) și (2) dacă trebuie să se întocmească o anumită relație între obiectele diagramei, atunci relația poate fi dedusă ca validă logic. (Vezi numeroasele exemple din secțiunea 2.) Acest fenomen este adesea denumit „călătorie liberă” (Barwise & Shimojima 1995). Acest stil al raționamentului diagramatic este astfel dependent de o utilizare reprezentativă particulară a diagramelor - încât acestea reprezintă clase de modele. Dacă o anumită clasă de modele nu poate fi reprezentată de un sistem diagramatic, atunci acele cazuri nu vor fi luate în considerare în inferențele care folosesc sistemul și ar putea fi trase inferențe incorecte. Acest fapt face ca adecvarea reprezentativă a sistemelor diagramatice, restricționată de natura lor spațială, să fie extrem de importantă, așa cum vom explora acum.

3.1 Limitări ale reprezentării și raționamentului diagramatic

Utilizarea reprezentativă a relațiilor spațiale în plan constrânge reprezentarea diagrama, și deci raționarea cu diagrame, în anumite moduri importante. În special, există proprietăți topologice și geometrice (haideți să le împingem împreună ca „spațiale”) ale obiectelor și relațiilor diagrammatice care limitează puterea expresivă a sistemelor diagrammatice. De exemplu, în teoria graficului se știe că unele structuri simple nu pot fi desenate în plan. De exemplu, graficul K 5este graficul format din 5 noduri, fiecare unit la celălalt printr-un arc. Acest grafic este non-plan, ceea ce înseamnă că nu poate fi desenat fără cel puțin două dintre arcurile încrucișate. Aceasta este doar felul de constrângere pe diagrame posibile, care limitează puterea expresivă a sistemelor diagramatice. Acum, din moment ce raționamentul schematic poate apărea prin enumerarea tuturor modelelor posibile ale unei situații, această inadecvare reprezentativă (un tip de incompletitate) face ca multe sisteme schematice să fie incorecte dacă sunt utilizate pentru raționamentele logice (de exemplu, vezi critica lui Englebretsen 1992 în Lemon & Pratt 1998).

Poate că cel mai simplu exemplu în acest sens se datorează Lămâi și Pratt [6] (a se vedea, de exemplu, 1997). Luați în considerare cercurile Euler - unde regiunile convexe ale planului reprezintă seturi, iar suprapunerea regiunilor reprezintă o intersecție ne-goală a seturilor corespunzătoare. Un rezultat al topologiei convexe cunoscut sub numele de Teorema lui Helly (pentru cazul 2 dimensional) afirmă că dacă fiecare triplă din 4 regiuni convexe are o intersecție non-goală, atunci toate cele patru regiuni trebuie să aibă o intersecție non-goală.

Pentru a înțelege ramificările, luați în considerare următoarea problemă:

Exemplul 4. Folosind cercurile Euler, reprezintă următoarele premise:

  • A ∩ B ∩ C ≠ ∅
  • B ∩ C ∩ D ≠ ∅
  • C ∩ D ∩ A ≠ ∅

Rețineți că, din punct de vedere al teoriei seturilor, doar aceste consecințe nu au decât consecințe banale. Cu toate acestea, o diagramă a Euler a premiselor, cum ar fi figura 5, duce la concluzia incorectă că A ∩ B ∩ C ∩ D ≠ ∅ (datorită regiunii de suprapunere a cvadruplului din centrul diagramei):

Patru cercuri suprapuse etichetate „A”, „B”, „C” și „D”
Patru cercuri suprapuse etichetate „A”, „B”, „C” și „D”

Figura 5: O reprezentare a lui Euler Cercuri care prezintă teorema lui Helly

Cu alte cuvinte, un utilizator al Euler Circles este forțat [7] să reprezinte o relație între seturi care nu este logic necesară. Acest lucru înseamnă atât că există în mod logic situații posibile pe care sistemul nu le poate reprezenta, și că un utilizator ar face inferențe incorecte dacă s-ar baza pe sistem pentru motivare. Mai general, acest tip de rezultat poate fi generat pentru multe tipuri diferite de sistem diagramatic, în funcție de relațiile spațiale particulare și obiectele pe care le folosesc în reprezentare - un program de cercetare care este în desfășurare.

De exemplu, utilizarea regiunilor non-convexe (de exemplu, „blobs” în loc de cercuri) duce la o problemă similară, doar că sunt implicate grafice non-planare în loc de Teorema lui Helly. Un rezultat similar se referă la diagrame liniare pentru silogisme Englebretsen 1992, în care liniile sunt folosite pentru a reprezenta seturi, punctele reprezintă indivizi, intersecția dintre linie reprezintă punctul de membru și intersecția liniilor reprezintă intersecția set. Din nou, constrângerile de planificare restricționează puterea expresivă a sistemului și conduc la inferențe incorecte.

„Ipoteza de constrângere” a lui Atsushi Shimojima rezumă probabil la toate acestea:

Reprezentările sunt obiecte din lume și, ca atare, se supun anumitor constrângeri structurale care guvernează posibila lor formare. Variația potențialului inferențial al diferitelor moduri de reprezentare este în mare măsură atribuită diferitelor moduri în care aceste constrângeri structurale asupra reprezentărilor se potrivesc cu constrângerile asupra țintelor reprezentării (Shimojima 1996a, 1999).

3.2 Eficiența diagramelor

După cum s-a discutat mai sus, o mare parte din interesul pentru diagrame a fost generat de afirmația că acestea sunt cumva mai „eficiente” decât reprezentările logice tradiționale pentru anumite tipuri de sarcini. Cu siguranță, de exemplu, o hartă este un ajutor mai mare pentru navigare decât o descriere verbală a unui peisaj. Cu toate acestea, deși există cu siguranță avantaje psihologice de obținut prin utilizarea diagramelor, acestea sunt (ca în cazul cercurilor Euler) adesea ineficiente ca reprezentări ale obiectelor și relațiilor abstracte. Odată o noțiune pur intuitivă, afirmațiile non-psihologice despre „eficacitatea” sistemelor diagramatice pot fi examinate în termeni de proprietăți formale standard ale limbajelor (Lemon și colab., 1999). În special, multe sisteme diagrammatice sunt consecvente, incorecte și incomplete, iar complexitatea inferenței cu diagramele este NP-hard. Prin contrast, cele mai multe logici sentențiale, în timp ce sunt capabile să exprime inconsecvențe, sunt complete și corecte[8].

Pe de altă parte, neputând reprezenta contradicții ne-ar putea oferi informații interesante despre natura reprezentării diagrammatice. Dacă un obiectiv central al unei limbi este reprezentarea lumii sau a unei stări de fapt, atunci este reprezentată contradicția sau tautologiile. Nici contradicțiile, nici tautologiile nu fac parte din lume. Cum putem să desenăm o imagine sau să facem o poză cu contradicția că „plouă și nu plouă”? Ce zici de imaginea disjunctivă „plouă sau nu plouă”? Acum, par să fim mult mai apropiați de teoria clasică a imaginii Wittgenstein a limbajului (Wittgenstein 1921).

4. Sisteme diagrammatice în geometrie

Matematicienii au folosit și continuă să folosească diagrame pe scară largă. Comunicarea conceptelor și a dovezilor matematice - în manualele de lucru, pe tablele de tablă - nu este uniformă semențial. Cifrele și imaginile sunt comune. În conformitate cu concepția prevalentă a logicii ca esențial esențială, totuși, acestea nu sunt de obicei gândite să joace un rol în raționamentele matematice riguroase. Utilizarea lor se limitează la îmbunătățirea înțelegerii unei dovezi. Nu se crede în mod normal că fac parte din dovada în sine.

Atitudinea este bine ilustrată de evaluarea standard a metodologiei lui Euclid în Elemente. În niciun subiect matematic nu sunt diagrame mai proeminente decât în geometria elementară Euclid se dezvoltă în text. Dovada subiectului pare să fie într-un anumit sens cu privire la diagramele triunghiurilor și cercurilor care apar cu ele. Acesta este în special cazul dovezilor geometrice ale elementelor. Diagramele pentru Euclid nu sunt doar ilustrative. Unele dintre etapele sale de inferență depind de o diagramă construită în mod corespunzător. În povestea standard, acești pași indică lacune în dovezile lui Euclid. Acestea arată cum Euclid nu a realizat în totalitate proiectul de dezvoltare a geometriei axiomatic.

Ken Manders și-a propus să explodeze această poveste cu lucrarea sa „The Euclidean diagram” (2008 [1995]). Analiza sa asupra metodei de probă a Euclidului arată că Euclid folosește diagrame într-un mod controlat și sistematic. Astfel, se pune sub semnul întrebării evaluarea comună și negativă a rigorii elementelor. Mai mult, specificul analizei Manders sugerează că dovezile textului pot fi înțelese că aderă la o logică diagrama formală. Acest lucru a fost ulterior confirmat de dezvoltarea de sisteme schematice formale concepute pentru a caracteriza o astfel de logică. Primul dintre acestea a fost FG (prezentat în Miller 2007), urmat de sistemul Eu (Mumma 2010).

Această secțiune este dedicată explicării analizei Manders și a sistemelor formale care au apărut din ea. După o scurtă anchetă a modului în care diagramele lui Euclid au fost privite de-a lungul secolelor, este prezentată imaginea lui Manders cu privire la rolul lor în probele geometrice. Urmează o descriere a modului în care sistemele FG și Eu redau această imagine în termeni formali și caracterizează o logică a diagramelor euclidiene.

4.1 Vizualizări asupra diagramelor lui Euclid din secolul al IV- lea î. Hr. până în secolul XX

Geometria elementară a elementelor a fost considerată fundamentală la matematică de la începuturile ei în Grecia antică până în secolul al XIX- lea. În consecință, filozofii preocupați de natura matematicii s-au trezit obligați să comenteze dovezile diagrammatice ale textului. O problemă centrală, dacă nu problema centrală, a fost problema generalității. Diagrama care apare cu o dovadă euclidiană oferă o instantanee unică a tipului de configurații geometrice despre care este vorba. Cu toate acestea, proprietățile văzute deținute în diagramă sunt luate în considerare pentru toate configurațiile tipului dat. Ce justifică această săritură de la particular la general?

Ca ilustrare, luați în considerare dovada pentru propunerea 16 a cărții I a elementelor.

Propunerea este:

În orice triunghi, dacă se produce una dintre laturi, unghiul exterior este mai mare decât oricare dintre unghiurile interioare și cele opuse.

Dovada lui Euclid este:

Un triunghi ABC cu segmentul BC care se extinde până la punctul D și o linie BF care intersectează segmentul AC
Un triunghi ABC cu segmentul BC care se extinde până la punctul D și o linie BF care intersectează segmentul AC
  • Fie ABC un triunghi, iar o parte a lui BC să fie produsă în D;
  • Spun că unghiul ACD este mai mare decât unghiul interior și opus BAC.
  • Să fie bisectată AC la E [I, 10] și să fie unită și produsă în linie dreaptă către F;
  • lăsați EF să fie egal cu BE [I, 3] și să fie alăturată FC.
  • Apoi, întrucât AE este egal cu EC și BE este egal cu EF, cele două părți AE, EB sunt egale cu cele două părți CE, respectiv EF; iar unghiul AEB este egal cu unghiul FEC [I, 15].
  • Prin urmare, baza AB este egală cu baza FC și triunghiul ABE este egal cu triunghiul CFE [I, 4], prin urmare unghiul BAE este egal cu unghiul ECF (care este și unghiul ACF);
  • Dar unghiul ACD este mai mare decât unghiul ACF;
  • Prin urmare, unghiul ACD este mai mare decât BAE.

Dovada pare să se refere la părțile din diagrama dată cu dovada. Cu toate acestea, dovada nu intenționează să stabilească ceva doar triunghiul din diagramă, ci ceva despre toate triunghiurile. Schema servește astfel pentru a reprezenta, într-un fel, toate triunghiurile.

Rolul diagramelor ca reprezentări este remarcat de Aristotel în cartea A, capitolul 10 din Analiza posterioară:

Geometrul nu bazează nicio concluzie pe linia particulară pe care a tras-o fiind aceea pe care a descris-o, ci [se referă la] ceea ce este ilustrat de figuri. (Traducerea este de T. Heath, găsită în Euclid 1956: vol. I, p.119)

Aristotel nu se confruntă în pas cu modul în care geometrul folosește diagrame pentru a argumenta ceea ce ilustrează. Câteva secole mai târziu, Proclus face comentariile sale despre Elemente. Proclus afirmă că trecerea de la o anumită instanță la o concluzie universală este justificată deoarece geometrii

… utilizați obiectele prezentate în diagrama nu ca aceste figuri particulare, ci ca figuri asemănătoare cu altele de același fel. Nu este o dimensiune atât de mare, încât unghiul de dinaintea mea este bisectat, ci ca fiind rectiliniu și nimic mai mult … Să presupunem că unghiul dat este un unghi drept … dacă nu folosesc dreptul său și iau în considerare doar rectiliniu caracter, propoziția se va aplica în mod egal la toate unghiurile cu laturile rectiliniene. (Un comentariu la prima carte a elementelor lui Euclid, Morrow 1970: 207))

Locul diagramelor în geometrie a rămas o problemă în perioada modernă timpurie. Personaje filozofice majore din secolele al XVII-lea și al XVIII- lea au avansat poziții asupra sa. Anticipând viziunea modernă predominantă, Leibniz afirmă:

… nu sunt figurile care oferă dovada cu geometrii, deși stilul expunerii te poate face să gândești acest lucru. Forța demonstrației este independentă de figura desenată, care este atrasă doar pentru a facilita cunoașterea sensului nostru și pentru a fixa atenția; este propozițiile universale, adică definițiile, axiomele și teoremele deja demonstrate, care fac raționamentul și care l-ar susține deși figura nu ar exista. (1704 Eseuri noi: 403)

În introducerea Principiilor sale de cunoaștere umană (1710, secțiunea 16), Berkeley reiterează 13 secole mai târziu asumarea lui Proclus de problema generalității. Deși unul are întotdeauna un anumit triunghi „la vedere” atunci când lucrează printr-o demonstrație despre triunghiuri, nu există „cea mai mică mențiune” detaliile particulare ale triunghiului particular din demonstrație. Astfel, demonstrația dovedește, potrivit lui Berkeley, o propunere generală despre triunghiuri.

Cea mai dezvoltată și, probabil, cea mai complexă și mai dificilă, relatarea diagramelor geometrice din perioada modernă poate fi găsită în Kant. Kant a văzut ceva cu o semnificație epistemologică profundă în utilizarea de către un geometru a unei diagrame particulare pentru a argumenta un concept geometric. În motivarea în acest fel, geometrul

consideră conceptul în concreto, deși non-empiric, ci mai degrabă doar ca unul pe care l-a expus a priori, adică, construit și în care ceea ce rezultă din condițiile generale ale construcției trebuie să fie, de asemenea, în general obiectul conceptului construit. (1781, Critica rațiunii pure, A716 / B744.)

Pentru opinii contrastante despre ceea ce pasaje ca acestea relevă despre locul în care diagramele se încadrează în filosofia geometriei lui Kant, vezi Shabel 2003 și Friedman 2012.

În secolul al XIX- lea geometria și matematica în ansamblu au suferit o revoluție. Au apărut concepte mult mai abstracte și generale decât cele găsite în Elemente (de exemplu, geometriile non-euclidiene, seturi). Nu numai că întrebările referitoare la natura metodei schematice a lui Euclid și-au pierdut urgența, dar metoda a fost înțeleasă ca defectă din punct de vedere matematic. Cea din urmă viziune și-a găsit cea mai precisă expresie în lucrarea de ultimă generație a lui Moritz Pasch, care a furnizat prima axiomatizare modernă a geometriei elementare din Pasch (1882). În ea, Pasch a arătat cum subiectul ar putea fi dezvoltat fără referire la diagrame sau chiar la instantanee concepte geometrice. Norma metodologică care ghidează lucrarea este bine exprimată în următorul pasaj citat des:

De fapt, dacă geometria este cu adevărat deductivă, procesul de deducere trebuie să fie în toate privințele independent de sensul conceptelor geometrice, la fel cum trebuie să fie independent de figuri; ar trebui să fie luate în considerare doar relațiile stabilite între conceptele geometrice utilizate în propozițiile (respectiv definițiile) în cauză. (Pasch 1882: 98; accentul în original. Traducerea aici este din Schlimm 2010)

De atunci, norma s-a înrădăcinat atât în matematică, cât și în discuții filozofice despre matematică. Manders se opune în Manders 2008 [1995]. În contul pe care îl dezvoltă de geometrie veche, necesitatea consultării unei diagrame într-o dovadă nu indică un decalaj deductiv. Mai degrabă, diagrama și textul formează împreună o dovadă matematică riguroasă și deductivă.

4.2 Distincția exactă / co-exactă a mandantilor și problema generalității

4.2.1 Distincția exactă / co-exactă

Pentru a explica diviziunea muncii între text și diagramă în geometria antică, Manders face distincție între proprietățile exacte și co-exacte ale diagramelor geometrice din Manders 2008 [1995]. La baza distincției este o noțiune de variație. Condițiile co-exacte realizate de o diagramă „sunt acele condiții care nu sunt afectate de o anumită gamă a fiecărei variații continue a unei diagrame specificate.” În schimb, condițiile exacte sunt afectate odată ce diagrama este supusă celei mai mici variații. Aproximativ, proprietățile co-exacte ale unei diagrame cuprind modul în care părțile sale definesc un set finit de regiuni plane și relațiile de izolare între aceste regiuni. O relație exactă proeminentă este egalitatea a două mărimi într-o diagramă. De exemplu,doar cea mai mică modificare a poziției CF în diagrama pentru propunerea 16 este necesară pentru ca unghiurile BAE și ECF să fie inegale.

Observația cheie a mandantilor este că diagramele lui Euclid contribuie la dovezi doar prin proprietățile lor co-exacte. Euclid nu aduce niciodată o proprietate exactă dintr-o diagramă decât dacă rezultă direct dintr-o proprietate co-exactă. Relațiile dintre mărimile care nu sunt expuse ca o izolare sunt fie asumate de la bun început, fie sunt dovedite printr-un lanț de inferențe în text. Acest lucru poate fi confirmat cu ușurință cu dovada propoziției 16. Singura inferență care se bazează pe diagramă este a doua ultimă infernare a probei. Inferența, în mod specific, este că unghiul ACD este mai mare decât unghiul ACF. Acest lucru, în mod crucial, se bazează pe a vedea din diagramă că unghiul ACD conține unghiul ACF. Există multe alte relații afirmate pentru a susține dovada. Deși diagrama le instantanează, acestea sunt justificate în mod explicit în text. Și cu aceste relații,relata sunt mărimi spațial separate.

Nu este greu de ipotezat de ce Euclid s-ar fi restricționat într-un asemenea mod. Numai în capacitatea lor de a reprezenta proprietăți și relații co-exacte, diagramele par capabile să funcționeze eficient ca simboluri ale probei. Proprietățile exacte ale diagramelor sunt prea rafinate pentru a fi ușor reproductibile și pentru a susține judecăți determinate. După cum spune Manders

Practica are resurse pentru a limita riscul dezacordului asupra atribuțiilor (explicite) co-exacte dintr-o diagramă; dar îi lipsește astfel de resurse pentru atribuții exacte și, prin urmare, nu le-a putut permite fără a se dizolva într-o dezordine a unor hotărâri iremediabil contradictorii. (Manders 2008 [1995]: 91–92)

Perspectivele lui Manders conduc în mod natural la ideea că argumentele lui Euclid ar putea fi formalizate într-o manieră similară cu modul în care diagramele Venn au fost formalizate în Shin 1994. Informațiile co-exacte purtate de diagramele lui Euclid sunt discrete. Când este consultată o diagramă pentru aceste informații, ceea ce contează este modul în care liniile și cercurile sale repartizează o regiune plană delimitată într-un set finit de sub-regiuni. Aceasta deschide ușa conceptualizării diagramelor lui Euclid ca parte a sintaxei metodei dovedirii lui Euclid.

4.2.2 Problema de generalitate a construcțiilor lui Euclid

Realizarea acestei concepții într-un sistem formal de sume de dovezi, ca în Shin 1994, pentru a specifica sintaxa și semantica diagramelor. În ceea ce privește latura sintactică, aceasta înseamnă definirea precisă a diagramelor lui Euclid ca obiecte formale și oferirea regulilor prin care diagramele ca figură obiect formală în derivările propozițiilor lui Euclid. În ceea ce privește partea semantică, aceasta înseamnă specificarea modului în care expresiile derivabile trebuie interpretate geometric sau, cu alte cuvinte, cât de exact trebuie înțelese că reprezintă propunerile lui Euclid.

Situația semantică cu diagramele lui Euclid este astfel diferită de cea cu cea a lui Venn. Diagramele Venn sunt utilizate pentru a dovedi rezultate logice. Inferențele făcute cu ele sunt neutre din subiect. Diagramele lui Euclid pe de altă parte sunt folosite pentru a dovedi rezultate geometrice. Inferențele făcute cu ele sunt specifice subiectului. În special, deși obiectele geometriei euclidiene plane sunt abstracte (de exemplu, liniile geometrice sunt fără largime), ele sunt încă spațiale. În consecință, problemele legate de spațialitatea diagramelor și sfera reprezentativă nu apar cu diagramele lui Euclid așa cum se întâmplă, de exemplu, cu diagramele Euler. În cazul geometriei, de fapt, spațialitatea diagramelor contează în favoarea lor. Restricțiile spațiale cu privire la ceea ce este posibil cu configurațiile geometrice sunt, de asemenea, operative cu diagrame euclidiene spațiale.

Cu toate acestea, așa cum este recunoscut în comentariul filosofic asupra geometriei lui Euclide de la antichitate încoace, există cu diagrame euclidiene probleme de domeniu reprezentativ. Care este justificarea pentru tratarea proprietăților unei diagrame geometrice unice ca reprezentativă pentru toate configurațiile din gama unei probe? Cum poate o singură diagramă să dovedească un rezultat general? Distincția exactă / co-exactă a mandatarilor oferă baza unui răspuns parțial. Proprietățile co-exacte ale unei diagrame pot fi partajate de toate configurațiile geometrice din intervalul de probă, astfel încât în astfel de cazuri se justifică citirea proprietăților co-exacte din diagramă. Într-o dovadă despre triunghiuri, de exemplu, variația dintre configurațiile din gama probei este variația proprietăților exacte - de exemplu, măsura unghiurilor triunghiurilor,raporturile dintre laturile lor. Toate au aceleași proprietăți co-exacte - adică, toate sunt formate din trei regiuni liniare delimitate, care definesc împreună o zonă.

Acesta nu este un răspuns complet, deoarece dovezile lui Euclid implică de obicei construcții pe un tip de configurație inițială. Cu dovada propunerii 16, de exemplu, este specificată o construcție pe un triunghi cu o latură extinsă. În astfel de cazuri, o diagramă poate reprezenta în mod adecvat proprietățile co-exacte ale unei configurații inițiale. Dar rezultatul aplicării construcției unei dovezi pe diagrama nu poate fi presupus că reprezintă proprietățile co-exacte ale tuturor configurațiilor rezultate din construcție. Nu este necesar să avem în vedere situații geometrice complexe pentru a vedea acest lucru. Să presupunem, de exemplu, tipul inițial de configurare al unei probe este un triunghi. Apoi diagrama

un triunghi (un triunghi acut)
un triunghi (un triunghi acut)

servește pentru a reprezenta proprietățile co-exacte de acest tip. Să presupunem în plus că primul pas al construcției unei dovezi este de a arunca perpendiculara dintr-un vertex al triunghiului pe linia care conține latura opusă vertexului. Apoi rezultatul efectuării acestui pas în diagrama

același triunghi ca imaginea anterioară cu un perpendicular scăzut dintr-un vertex
același triunghi ca imaginea anterioară cu un perpendicular scăzut dintr-un vertex

încetează să mai fie reprezentativ. Că perpendiculara se încadrează în triunghiul din diagramă este o caracteristică co-exactă a acesteia. Există însă triunghiuri cu proprietăți exacte diferite de diagrama inițială, în care aplicarea etapei de construcție are ca rezultat o perpendiculară situată în afara triunghiului. De exemplu, cu triunghiul

Un triunghi obtuz
Un triunghi obtuz

rezultatul aplicării etapei de construcție este

Triange obtuz cu o cădere perpendiculară dintr-unul dintre unghiurile acute la extensia laturii opuse a triunghiului
Triange obtuz cu o cădere perpendiculară dintr-unul dintre unghiurile acute la extensia laturii opuse a triunghiului

4.3 Sistemele formale FG și Eu

Și astfel, realizarea unei construcții euclidiene pe o diagramă reprezentativă poate duce la o diagramă nereprezentativă. O sarcină centrală a formalizării probelor diagramatice ale lui Euclid este aceea de a contabiliza acest lucru, adică furnizarea cu regulile sale a unei metode pentru a distinge caracteristicile co-exacte generale de cele care nu sunt generale în reprezentările diagramatice ale construcțiilor. Sistemele FG și Eu adoptă două abordări diferite ale acestei sarcini.

Utilizând metoda FG, trebuie să se producă cu o diagramă fiecare caz care ar putea rezulta din construcție. O relație co-exactă generală a construcției este aceea care apare în fiecare caz. Cererea FG pentru ca fiecare caz să fie produs ar fi, desigur, de puțin interes dacă nu ar furniza, de asemenea, o metodă pentru a le produce pe toate. Metoda oferită de FG depinde de faptul că liniile și cercurile din diagramele sistemului sunt definite în termeni pur topologici. Flexibilitatea lor rezultată face posibilă formularea și implementarea într-un program de calculator a unei metode generale pentru generarea de cazuri. [9]

Liniile și cercurile diagramelor Eu nu sunt la fel de flexibile. În consecință, nu poate rezolva problema de generalitate prin analiza de caz, așa cum face FG. Ideea centrală a demersului său este de a permite diagramelor să dețină informații parțiale de la început. În cadrul unei derivări Eu, diagrama produsă de construcția unei dovezi are un conținut inițial constând în toate relațiile calitative din diagrama inițială a probei. Relațiile calitative referitoare la obiectele adăugate de construcție nu pot fi citite imediat din diagramă. Cele care pot fi citite în diagramă trebuie să fie derivate din regulile sistemului. [10]

Diferențele dintre abordările FG și Eu ale formalizării construcțiilor lui Euclid pot fi înțelese ca reprezentând concepții generale generale ale rolului diagramelor în matematică. FG întruchipează o concepție în care diagramele realizează concret o serie de posibilități matematice. Acestea susțin inferența matematică oferind acces direct la aceste posibilități. Eu, în schimb, întruchipează o concepție în care diagramele servesc pentru a reprezenta într-un singur simbol diversele componente ale unei situații matematice complexe. Ele susțin inferența matematică, permițând motivatorului matematic să ia în considerare toate aceste componente într-un singur loc și să se concentreze pe acele componente relevante pentru o dovadă.

5. Diagrame și cogniții, aplicații

În ciuda limitărilor formale ale unor sisteme diagrammatice menționate mai sus, multe sisteme diferite sunt utilizate în prezent într-o mare varietate de contexte; predarea logicii, raționamentul automat, specificarea programelor de calculator, raționarea situațiilor din fizică, interfețele grafice ale utilizatorilor cu programele de computer și așa mai departe. În general, nu se știe încă cât de eficiente (în sensul de mai sus) sunt multe dintre aceste sisteme diagrammatice. Acum oferim o scurtă anchetă a altor sisteme diagrammatice și a utilizărilor acestora, precum și problemele mai filozofice ridicate de dezbaterea cu privire la statutul raționamentului diagramatic.

5.1 Alte sisteme diagrama

De remarcat este faptul că mulți matematicieni și filozofi au propus sisteme de diagrama, adesea cu o motivație didactică. Unele sisteme, precum Lewis Carroll în „Jocul logicii” (1896) sunt variante la propunerile lui Euler și Venn. Alții, precum Frege (1879), au folosit mai degrabă linii decât regiuni plane. (Pentru o descriere a notării lui Frege, consultați secțiunea „Declarații complexe și generalitate” din intrarea de pe Gottlob Frege. A se vedea și Englebretsen 1992.) Sistemul Carroll înlocuiește Venn în sensul că complementele seturilor sunt reprezentate explicit ca regiuni ale diagramei, mai degrabă decât fiind lăsată ca regiune de fundal pe care apar cercurile. Aceasta înseamnă că sistemul Carroll este capabil să atragă inferențe cu privire la relațiile dintre complementele proprietăților, în detrimentul reprezentării unor proprietăți ca fiind disjuncte (adică,regiuni neconectate). Această deplasare reflectă îndeaproape schimbarea logicii de la argumentarea subiectului predicat la o reprezentare a funcției-argument (Stenning 1999).

Peirce, un fondator al logicii cuantificate moderne, a inventat, de asemenea, un sistem grafic, numit grafice existențiale, care este echivalent logic cu logica predicatelor. Alături de lucrarea de pionierat a lui Don Robert asupra graficelor existențiale și aplicarea creatoare a lui John Sowa a graficelor lui Peirce, recent un grup de cercetători diagrammatici a oferit abordări mai diverse ale graficelor existențiale într-un context teoretic mai larg (Shin 2003).

Pe o temă mai practică, cercetătorii AI, una dintre principalele sale preocupări este puterea euristică a sistemelor de reprezentare, pe lângă puterea lor expresivă, au dezbătut de zeci de ani despre diferite forme de reprezentare (Sloman 1971, 1985, 1995). Prin urmare, aceștia au salutat discuții despre rolul distinct al raționamentului vizual și au găzduit recent simpozioane interdisciplinare privind raționamentul diagrama la conferințele AI. [11] În același timp, realizând că ființele umane adoptă forme de reprezentare diferite în funcție de tipul de probleme cu care se confruntă, unii cercetători ai AI și teoreticieni de proiectare au practicat abordări specifice domeniului pentru a aduce forme de reprezentare adaptate la probleme. [12]

De exemplu, Harel (1988) a inventat higrafele pentru a reprezenta specificațiile sistemului în informatică. Această idee a fost preluată în aplicații industriale (de exemplu, UML, în Booch și colab., 1998). Barker-Plummer & Bailin (1997) prezintă un studiu de caz în dezvoltarea computerelor care poate realiza tipul de raționament analogic pe care îl realizează oamenii atunci când dovedesc anumite teoreme matematice. Mai recent, un rezultat interesant a fost prezentat de Mateja Jamnik din cadrul grupului de raționament matematic al lui Alan Bundy la Edinburgh (Jamnik 2001). Jamnik arată cum un sistem de dovadă formală semiautomatică poate efectua unele dintre inferențele perceptuale pe care oamenii le consideră atât de naturale. De exemplu, faptul că suma primelor n numere naturale impare este n pătrat se observă cu ușurință prin descompunerea unei grile n × n în „ells” (Jamnik et al. 1999).

Savanții de la Universitatea din Brighton au desfășurat proiecte interesante atât în dezvoltarea sistemelor diagrame, cât și în aplicarea instrumentelor vizuale în dezvoltarea de software, a se vedea link-ul din secțiunea Alte resurse Internet.

Trebuie menționat, de asemenea, că oamenii de știință precum chimiști și fizicieni folosesc de asemenea diagrame pentru a efectua anumite calcule. Diagramele Feynman, de exemplu, sunt utilizate pentru a efectua calcule în fizica sub-atomică. Mai recent, teoria raționamentelor formale a fost dezvoltată pentru teoria cuantică (Coecke & Kissinger 2017). În teoria nodurilor (care are aplicații în fizică, Kauffman 1991), cele trei Reidemeister Move sunt operațiuni diagrammatice care alcătuiesc un calcul complet pentru dovedirea nodurilor echivalente. Nu este surprinzător, diagramele Knot au atras interesul cercetătorilor (De Toffoli & Giardino 2014). Rolul crucial al diagramelor și raționamentului diagramatic în matematica abstractă a teoriei categoriilor a fost, de asemenea, investigat (Halimi 2012; De Toffoli 2017).

5.2 Diagrame ca reprezentări mentale

Reprezentările noastre mentale au entități asemănătoare diagramei sau ale imaginii ca componente? Această întrebare are o lungă istorie atât în filozofie, cât și în psihologie, independent unul de celălalt. Mai recent, însă, unii filosofi au participat la această „dezbatere imagistică”, una dintre cele mai onorate controverse în psihologie, iar unii psihologi cognitivi găsesc anumite teorii epistemologice în filozofie utile pentru a-și susține opiniile asupra acestei probleme.

Natura reprezentării mintale a fost unul dintre subiectele perene în filozofie și putem urmări cu ușurință discuțiile filozofice despre imagini și reprezentare mentală până în cele mai vechi timpuri. [13]Scrierile lui Hobbes, Locke, Berkeley și Hume se preocupă în mare parte de discursul mental, de semnificația cuvintelor, de imagini mentale, de idei particulare, de idei abstracte, de impresii etc. Binecunoscuta distincție a lui Descartes între a imagina și a concepe ceva a generat multe discuții despre rolul unic al imaginilor vizuale în reprezentările mentale. Dezvoltarea științei cognitive în secolul XX a adus în mod firesc un grup de filosofi și psihologi mai aproape și găsim o serie de autori ale căror lucrări aparțin cu ușurință ambelor discipline (bloc 1983; Dennett 1981; Fodor 1981).

Imagistica bazată pe introspecție a fost principalul accent în dezvoltarea timpurie a psihologiei până când abordarea comportamentală a devenit predominantă în disciplină. În perioada comportamentismului, orice legătură cu inspecția mentală, inclusiv imaginile, a fost exclusă din orice agendă serioasă de cercetare. În cele din urmă, când subiectul imaginilor mentale a revenit în psihologie în anii '60, cercetătorii au adoptat o agendă mai umilă pentru imagini mentale decât înainte: Nu toate reprezentările mentale implică imagini, iar imaginile reprezintă una dintre multe modalități de manipulare a informațiilor din minte. De asemenea, datorită influenței comportamentismului, se recunoaște că introspecția nu este suficientă pentru a explora imagini, dar o afirmație despre imagini mentale trebuie confirmată prin experimente pentru a arăta că externalizăm cu succes evenimentele mentale. Acesta este,dacă ceea ce ne spune o anumită introspecție mentală este autentic, atunci ar exista consecințe externe observabile ale acestei stări mentale.

Astfel, dezbaterea de imagini contemporane între oamenii de știință cognitivă este despre afirmația că imagini asemănătoare cu imagini există ca reprezentări mentale și despre modul în care interpretăm anumite experimente. [14]

Kosslyn (1980, 1994) și alți pictoriști (Shepard și Metzler 1971) prezintă date experimentale pentru a-și susține poziția că unele dintre imaginile noastre mentale sunt mai mult ca niște imagini decât o formă liniară de limbaj (de exemplu, limbaje naturale sau limbaje simbolice artificiale) în unele aspecte importante, chiar dacă nu toate imaginile și imaginile mentale vizuale sunt exact de același fel. În schimb, Pylyshyn (1981) și alți descriptoriști (Dennett 1981) ridică întrebări cu privire la starea asemănătoare a imaginilor mentale și susțin că imaginile mentale sunt formate din descrieri structurate. Pentru ei, imaginile mentale reprezintă modul de limbaj mai degrabă decât imaginile și, prin urmare, nu există imagini mentale vizuale asemănătoare unei imagini.

Ambele părți ale dezbaterii au folosit uneori o teorie filozofică ca factor de sprijin. De exemplu, pictorialiștii din dezbaterea imagistică au găsit teoria filozofică modernă a sensului în filozofie destul de aproape de punctul lor de vedere. În același timp, criticii teoriei sens-date au susținut că viziunea picturală greșită a imaginilor mentale apare în principal din confuzia noastră despre limbajul obișnuit și au susținut că imaginile mentale sunt epifenomene.

5.3 Rolul cognitiv al diagramelor

Fără a fi puternic implicați în dezbaterea imagistică, unii cercetători s-au concentrat pe un rol distinct, care diagramele sau imaginile - spre deosebire de formele tradiționale sentențiale - joacă în activitățile noastre cognitive. (Shin 2015; Hamami & J. Mumma 2013) Pe baza conjecturilor că oamenii adoptă reprezentări mentale interne schematice sau spațiale în raționamentul lor despre situații concrete sau abstracte (vezi Howell 1976; Sober 1976), unii oameni de știință cognitiv s-au concentrat pe funcțiile de imagini sau diagrame din diversele noastre activități cognitive, de exemplu, memorie, imaginație, percepție, navigare, inferență, rezolvarea problemelor și așa mai departe. Aici, natura distinctă a „informațiilor vizuale”, care se obține fie prin imagini mentale interne, fie prin diagrame desenate extern, a devenit un subiect principal al cercetării. Chiar dacă majoritatea acestor lucrări presupun că există imagini mentale (adică acceptă pretenția pictorialistilor), strict vorbind, nu trebuie să se angajeze în opinia că aceste imagini există ca unități de bază în cunoașterea noastră. Descrieriștii nu trebuie să elimine discuțiile despre funcțiile imaginilor, ci trebuie doar să adăugăm că aceste imagini nu sunt unități primitive stocate în memoria noastră, ci formate din descrieri structurate mai mult ca propozițiile unui limbaj (vezi Pylyshyn 1981).dar trebuie doar să adăugăm că aceste imagini nu sunt unități primitive stocate în memoria noastră, ci formate din descrieri structurate mai mult ca propozițiile unei limbi (vezi Pylyshyn 1981).dar trebuie doar să adăugăm că aceste imagini nu sunt unități primitive stocate în memoria noastră, ci formate din descrieri structurate mai mult ca propozițiile unei limbi (vezi Pylyshyn 1981).

O căutare a rolului distinct al diagramelor i-a determinat pe cercetători să exploreze diferențele dintre diferitele forme de reprezentări externe sau interne și, în principal, între reprezentările diagrammatice și cele sentimentale. Multe rezultate importante au fost produse în știința cognitivă. Plecând de la studiul de caz clasic al lui Larkin și Simon (1987), pentru a ilustra o diferență între echivalența informațională și de calcul între sistemele de reprezentare, lucrarea lui Lindsay localizează locul în care se află această diferență de calcul, pe care o numește o metodă „nedeductivă”. După cum s-a subliniat mai sus, acest proces de inferență este denumit „călătorie gratuită” de Barwise și Shimojiima (1995), adică de tipul unei inferențe în care concluzia pare citită automat din reprezentarea spațiilor. În Gurr, Lee și Stenning (1998) și Stenning și Lemon (2001),există o explicație a unicității inferenței schematice în termeni de un grad de „directitate” a interpretării și se susține că această proprietate este relativă și, prin urmare, că „unele călătorii sunt mai ieftine decât altele”. Având în vedere rolul graficelor, Wang și Lee (1993) prezintă un cadru formal ca ghid pentru limbajele vizuale corecte. În acest moment, suntem foarte apropiați de aspectele aplicate ale cercetării în teoria raționamentului multimodal și a cercetării AI, oferind aceste discipline suport de calcul pentru raționamentul vizual. Wang și Lee (1993) prezintă un cadru formal ca ghid pentru limbajele vizuale corecte. În acest moment, suntem foarte apropiați de aspectele aplicate ale cercetării în teoria raționamentului multimodal și a cercetării AI, oferind aceste discipline suport de calcul pentru raționamentul vizual. Wang și Lee (1993) prezintă un cadru formal ca ghid pentru limbajele vizuale corecte. În acest moment, suntem foarte apropiați de aspectele aplicate ale cercetării în teoria raționamentului multimodal și a cercetării AI, oferind aceste discipline suport de calcul pentru raționamentul vizual.

Legat de problema reprezentării mintale imagistice este examinarea semanticii diferitelor sisteme diagrammatice și a ceea ce ele ne pot învăța despre natura limbilor în general (de exemplu, Goodman 1968). De exemplu, Robert Cummins (1996), între altele, susține că s-a acordat prea puțină atenție reprezentărilor diagrammatice și că concentrarea pe noțiunea de „reprezentare structurală” mai asemănătoare cu reprezentarea diagramatică poate ajuta la explicarea naturii reprezentării. Considerăm că considerentele prezentate mai sus ne oferă o manieră empirică asupra acestui tip de revendicare cel puțin - în funcție de obiectele și relațiile imagistice utilizate, modelele de inferență incorectă ar trebui să fie previzibile și detectabile. Un articol important, dacă este puțin cunoscut, pe această temă este Malinas 1991. Aici Malinas explorează conceptele de reprezentare picturală și „adevărul în” o imagine prin intermediul noțiunii de asemănare și consideră diverse enigme semantice despre reprezentarea picturală. El dezvoltă „Teza centrală” a lui Peacocke a reprezentării (Peacocke 1987), unde similitudinile experimentate dintre proprietățile obiectelor pictoriale și referenții lor în câmpul vizual dau naștere relației de reprezentare. El continuă să ofere o semantică formală pentru imagini care este „analogă unei semantice pentru un limbaj ideal”.unde similitudinile experimentate dintre proprietățile obiectelor pictoriale și referenții lor în câmpul vizual dau naștere relației de reprezentare. El continuă să ofere o semantică formală pentru imagini care este „analogă unei semantice pentru un limbaj ideal”.unde similitudinile experimentate dintre proprietățile obiectelor pictoriale și referenții lor în câmpul vizual dau naștere relației de reprezentare. El continuă să ofere o semantică formală pentru imagini care este „analogă unei semantice pentru un limbaj ideal”.

rezumat

Am început motivând interesul filosofic al diagramelor, prin rolul lor în raționamentul uman și relația lor cu studiul limbajului în general și procesarea informațiilor multimodale. Am explicat apoi compromisul dintre puterea expresivă și claritatea vizuală a sistemelor diagrame, examinând dezvoltarea istorică a sistemelor de diagrame de la Euler și Venn, prin lucrarea lui Peirce, la lucrările recente ale lui Shin și Hammer. S-a susținut că sistemelor diagramate li se poate oferi același statut logic ca calculele tradiționale liniare de probă. Apoi am explicat unele dintre capcanele potențiale ale reprezentării și raționamentului diagrama, examinând constrângerile spațiale ale sistemelor diagrammatice și modul în care acestea pot afecta corectitudinea și puterea expresivă. Am închis verificând alte sisteme de diagrame,interesul pentru diagramele generate în informatică și știința cognitivă și a oferit o introducere în dezbaterea imagistică în filozofia minții.

Bibliografie

Referințe

  • Allwein, G. și J. Barwise (eds.), 1996, Logical Reasoning with Diagrams, Oxford: Oxford University Press.
  • Avigad, J. cu E. Dean și J. Mumma, 2009, „Un sistem formal pentru elementele lui Euclid”, Review of Symbolic Logic, 2: 700–768.
  • Barker-Plummer, D. și S. Bailin, 1997, „Rolul diagramelor în probe matematice”, Mașină GRAPHICS și VISION, 6 (1): 25–56. (Problemă specială privind reprezentarea și motivarea diagrama).
  • Barker-Plummer, D., D. Beaver, J. van Benthem și P. Scotto di Luzio, 2002, Cuvinte, dovezi și diagrame, Stanford: CSLI Publications.
  • Barwise, J., 1993, „Raționament eterogen”, în G. Mineau, B. Moulin și J. Sowa, (eds), ICCS 1993: Conceptual Graphs for Knowledge Representation (Lecture Notes in Artificial Intelligence: Volume 699), Berlin: Springer Verlag, p. 64–74.
  • Barwise, J. și J. Etchemendy, 1989, „Informații, informații și inferențe”, în Cooper, Mukai și Perry, (eds), Situația teoriei și aplicațiile sale, volumul 1, Stanford: CSLI Publications.
  • –––, 1991, „Informații vizuale și raționament valabil”, în Zimmerman și Cunningham, (eds), vizualizare în predarea și învățarea matematicii, paginile 9–24. Washington: Asociația Matematică din America.
  • –––, 1993, Limba logicii de prim ordin, Stanford: Publicații CSLI.
  • –––, 1994, Hyperproof, Stanford: Publicații CSLI.
  • –––, 1995, „Heterogene logic”, în J. Glasgow, N. Hari Narayanan și B. Chandrasekaran, (eds), Raționamentare diagrama: perspective cognitive și computationale, paginile 209–232. Cambridge, MA: AAAI Press / The MIT Press.
  • Barwise, J. și A. Shimojima, 1995, „Raționamentul surogat”, Studii cognitive: Buletinul Societății de Științe Cognitive din Japonia, 4 (2): 7–27.
  • Berkeley, G., 1710, Principiile cunoașterii umane, în David Armstrong (ed.), Berkeley Philosophical Writings, London: Macmillian, 1965.
  • Block, N., (ed.), 1981, Imagery, Cambridge, MA: MIT Press.
  • –––, 1983, „Imagini mentale și științe cognitive”, The Philosophical Review, 92: 499–541
  • Booch, G., J. Rumbaugh și I. Jacobson, 1999, Manualul de referință al limbajului modelat unificat, Lectură, masă.: Addison-Wesley.
  • Coecke, B. și Kissinger, A., 2017, Picturing Quantum Processes. A First Course in Quantum Theory and Diagrammatic Reasoning, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Carroll, L., 1896, Logic simbolic, New York: Dover.
  • Chandrasekaran, B., J. Glasgow și N. Hari Narayanan, (eds.), 1995, Raționamentare diagrama: Perspective cognitive și computationale, Cambridge, MA: AAAI Press / The MIT Press.
  • Cummins, R., 1996, Reprezentări, ținte și atitudini, Cambridge, MA: MIT Press.
  • De Toffoli, S., 2017, „Urmărirea diagramei - Utilizarea vizualizărilor în raționamentul algebric”, Revizuirea logicii simbolice, 10 (1): 158-186.
  • De Toffoli, S. și Giardino, V., 2014, „Forme and Roles of Diagrams in The Knot Theory”, Erkenntnis, 79 (4): 829–842.
  • Dennett, D., 1981, „Natura imaginilor și capcana introspectivă”, în Bloc 1981, p. 87–107.
  • Englebretsen, G., 1992, „Diagrame liniare pentru silogisme (cu relaționale)”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 33 (1): 37–69.
  • Euclid, Cele Treisprezece cărți ale elementelor (ediția a doua, Vols. I – III), New York, NY: Dover Publications, 1956. Tradus cu introducere și comentariu de Sir Thomas L. Heath, din textul lui Heiberg.
  • Euler, L., 1768, Lettres à une Princesse d’Allemagne, Sankt Petersburg; L’Academie Imperiale des Sciences.
  • Fodor, J., 1981, „Reprezentare imagistică”, în Bloc 1981, p. 63–86.
  • Frege, G., 1879, Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle am See: Louis Nebert
  • Friedman, M., 2012, „Kant pe geometrie și intuiție spațială”, Synthese, 186: 231–255.
  • Gardner, M., 1958, Logic Machines and Diagrams, Sussex: Harvester Press.
  • Goodman, N., 1968, Language of Art: o abordare la o teorie a simbolurilor, Londra: Oxford University Press.
  • Greaves, M., 2002, The Philosophical Status of Diagrams, Stanford: CSLI Publications.
  • Grigni, M., D. Papadias și C. Papadimitriou, 1995, „Inferența topologică”, în Conferința comună internațională privind inteligența artificială (IJCAI ’95), paginile 901–907, Cambridge, MA: AAAI Press.
  • Gurr, C., J. Lee și K. Stenning, 1998, „Teoriile raționamentului diagramatic: Distingerea problemelor componente”, Minds and Machines, 8: 533-557.
  • Halimi, B., 2012, „Diagramele ca schițe”, Synthese, 186 (1): 387–409.
  • Hamami Y. și Mumma J., 2013, „A Prolegomena to a Cognitive Investigation of Euclidean Diagrammatic Reasoning”, Journal of Language, Logic and Information, 22 (4): 421–448.
  • Hammer, E., 1995a, „Raționamentul cu propoziții și diagrame”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 35 (1): 73–87.
  • Hammer, E. și S. Shin, 1998, „Logica vizuală a lui Euler”, Istoria și filosofia logicii, 19: 1–29.
  • Harel, D., 1988, „Despre formalismele vizuale”, Comunicări ale ACM, 31 (5): 514–530.
  • Howell, R., 1976, „Poze obișnuite, reprezentări mentale și forme logice”, Synthese, 33: 149–174.
  • Jamnik, M., 2001, Raționamentul matematic cu diagrame, Stanford: Publicații CSLI.
  • Jamnik, M., A. Bundy și I. Green, 1999, „Despre automatizarea probelor diagrammatice a argumentelor aritmentice”, Journal of Logic, Language and Information, 8 (3): 297–321.
  • Kant, I., 1781, Critica rațiunii pure, tradusă și editată de P. Guyer și A. Wood, Cambridge: Cambridge University Press, 1998.
  • Kauffman, L. 1991, Knots and Physics, Singapore: World Scientific.
  • Kosslyn, S., 1980, Image and Mind, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1994, Image and Brain: rezolvarea dezbaterii de imagini, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Lambert, JH, 1764, Neues Organon, Berlin: Akademie Verlag, 1990.
  • Larkin, J. și H. Simon, 1987, „De ce o diagramă merită (uneori) 10.000 de cuvinte”, Știința cognitivă, 11: 65–99.
  • Leibniz, G., 1704, Eseuri noi privind înțelegerea umană, LaSalle: Open Court Publishing, 1949.
  • Lemon, O., 2002, „Compararea eficienței limbajelor vizuale”, în Barker-Plummer și colab. (eds.), 2002, p. 47–69.
  • Lemon, O., M. de Rijke și A. Shimojima, 1999, „Eficacitatea raționamentului diagramatic” (Editorial), Journal of Logic, Language and Information, 8 (3): 265–271.
  • Lemon, O. și I. Pratt, 1997, „Logica spațială și complexitatea raționamentului diagrama,” Machine Graphics and Vision, 6 (1): 89–108, 1997. (Special Issue on Diagrammatic Representation and Reasoning).
  • –––, 1998, „Cu privire la insuficiența diagramelor liniare pentru silogisme”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 39 (4): 573–580.
  • Malinas, G., 1991, „O semantică pentru imagini”, Canadian Journal of Philosophy, 21 (3): 275–298.
  • Manders, K., 2008 [1995], „Diagrama euclidiană”, în Philosophy of Mathematical Practice, P. Mancosu (ed.), Oxford: Clarendon Press, 2008, p. 112–183. (Prima dată a circulat ca manuscris în 1995.)
  • Miller, Nathaniel, 2007, Euclid și Rivalii săi din secolul al XX-lea: Diagrame în logica geometriei euclidiene, (Studii CSLI în teoria și aplicațiile diagramelor), Stanford: Publicații CSLI.
  • –––, 2006, „Complexitatea computațională a satisfacției diagramei în geometria euclidiană”, Journal of Complexity, 22: 250–74.
  • Morrow, G., 1970, Proclus: Un comentariu la prima carte despre elementele lui Euclid, Princeton: Princeton University Press, 1970.
  • Mumma, J., 2010, „Dovezi, poze și Euclide”, Synthese, 175 (2): 255–287.
  • Narayanan, N., 1993, „Luarea problemei / forumul: dezbaterea imagistică revizuită”, Intelligence Computational, 9 (4): 303–435.
  • Pasch, M., 1882, Vorlesungen über neuere Geometrie, Teubner: Leipzig.
  • Peacocke, C., 1987, „Depict”, The Philosophical Review, 96: 383–410
  • Peirce, CS, 1933, Collected Papers, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Pylyshyn, Z., 1981, „Imagerie și inteligență artificială”, în N. Block, (ed.), Lecturi în Filozofia psihologiei, volumul 2, paginile 170–196. Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Roberts, D., 1973, The Graphical Existential of Charles S. Peirce, Haga: Mouton.
  • Russell, B., 1923, „Vagueness”, în J. Slater, (ed.), Eseuri despre limbă, minte și materie: 1919–26 (Documentele colectate ale lui Bertrand Russell), paginile 145–154. Londra: Unwin Hyman.
  • Schlimm, D., 2010, „Filosofia lui Pasch a matematicii”, Review of Symbolic Logic, 3 (1): 93–118.
  • Shabel, L., 2003, Mathematics in Kritics Philosophy: Kant Reflections on Mathematical Practice, New York: Routledge.
  • Shepard, R. și J. Metzler, 1971, „Rotirea mentală a obiectelor tridimensionale”, Science, (171): 701–3.
  • Shimojima, A., 1996a, privind eficacitatea reprezentării, doctorat. teză, Universitatea Indiana.
  • –––, 1999, „Constraint-Preserving Representations”, în L. Moss, J. Ginzburg și M. de Rijke, (eds), Logic, Language and Computation: Volume 2, CSLI Lecture Notes # 96, pages 296– 317. Stanford: CSLI Publications.
  • Shin, S., 1994, The Logical Status of Diagrams, Cambridge: Cambridge University Press.
  • –––, 2003, Logica iconică a graficilor lui Peirce, Cambridge: MIT Press (Bradford).
  • –––, 2015, „Misterul Deducției și Aspectele Diagrammatice ale Reprezentării”, Revizuirea Filozofiei și Psihologiei: Reprezentare picturală și spațială, 6: 49-67.
  • Sloman, A., 1971, „Interacțiunea dintre filozofie și AI: rolul intuiției și raționamentul non-logic în inteligență”, în Proceedings A doua Conferință comună internațională privind inteligența artificială, Los Altos, Calif.: Morgan Kaufmann.
  • –––, 1985, „De ce avem nevoie de multe formalisme de reprezentare a cunoștințelor”, în M. Bramer, (ed.), Cercetare și dezvoltare în sisteme de experti, pagini 163-183.
  • –––, 1995, „Aflații asupra rolurilor reprezentărilor logice și nonlogice în inteligență”, în Chandrasekaran și colab., 1995, p. 7–32.
  • Sober, E., 1976, „Reprezentări mentale”, Synthese, 33: 101–148
  • Sowa, J., 1984, Structuri conceptuale: procesarea informațiilor în minte și mașină, Londra: Addison Wesley.
  • Stenning, K., 1999, „Review of Das Spiel der Logik, de Lewis Carrol”, Journal of Symbolic Logic, 64: 1368–1370.
  • Stenning, K. și O. Lemon, 2001, „Alinierea perspectivelor logice și psihologice asupra raționamentului diagrama), Artificial Intelligence Review, 15 (1–2): 29–62. (Reimprimat în Gândirea cu diagrame, Kluwer, 2001.)
  • Tye, M., 1991, The Imagery Debate, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Venn, J., 1881, Logic simbolic, Londra: Macmillan.
  • Wang, D. și J. Lee, 1993, „Visual Reasoning: its Semantics Formal and Applications”, Journal of Visual Language and Computing, 4: 327–356.
  • Wittgenstein, L., 1921, Tractatus Logico-Philosophicus, B. Pears and B. McGuinness (trans), London: Routledge & Kegan Paul, 1961
  • Zeman, J., 1964, Logica grafică a CS Peirce, doctorat. teză, Universitatea din Chicago.

Literatură relevantă

  • Barwise, J. și E. Hammer, 1994, „Diagrame și conceptul unui sistem logic”, în Gabbay, D. (ed.), Ce este un sistem logic? New York: Oxford University Press.
  • Hammer, E., 1995b, Informații logice și vizuale, Studii în logică, limbaj și calcul. Stanford: CSLI Publications and FoLLI.
  • –––, 1998, „Semantica pentru grafice existențiale”, Journal of Philosophical Logic, 27: 489–503
  • Hammer, E. și S. Shin, 1996, „Euler and the Role of Visualization in Logic”, în Seligman, J. și Westerståhl, D. (eds), Logic, Language and Computation: Volume 1, CSLI Lecture Notes # 58, paginile 271–286. Stanford: CSLI Publications.
  • Kneale, W., și Kneale, M., 1962, The Development of Logic, Oxford: Clarendon Press.
  • Lemon, O., 1997, „Review of Logic and Visual Information, by EM Hammer”, Journal of Logic, Language and Information, 6 (2): 213–216.
  • Roberts, D., 1992, „Graficele existențiale ale lui Charles S. Peirce”, Calculatoare și Matematică. Applic., (23): 639–663.
  • Shimojima, A., 1996b, „Limitările operaționale în raționamentul diagrama”, în J. Barwise și G. Allwein, (eds), Raționament logic cu diagrame, New York: Oxford University Press, paginile 27–48.
  • –––, 1996c, „Raționamentul cu diagrame și restricții geometrice”, în Seligman, J. și Westerståhl, D. (eds), Logică, limbaj și calcul: volum 1, CSLI Lecture Notes # 58, pagini 527–540. Stanford, Publicatii CSLI.
  • Shin, S., 1991, „O situație-relatare teoretică a raționării valide cu diagramele Venn”, în J. Barwise, J. Gawron, G. Plotkin și S. Tutiya, (eds), Teoria situației și aplicațiile sale: volum 2, Note de prelegere CSLI nr. 26, paginile 581–605. Stanford: CSLI Publications.
  • –––, 1999, „Reconstituirea graficelor beta într-un sistem eficient”, Journal of Logic, Language and Information, 8: 273–295.
  • –––, 2000, „Revigorarea iconicității graficelor beta”, în Anderson, Cheng și Haarslev, (eds), Teoria și aplicarea diagramelor, paginile 58-73. Springer-Verlag.
  • –––, 2002a, Logica iconică a graficilor lui Peirce, Cambridge, MA: MIT Press.
  • –––, 2002b, „Lecturi multiple ale graficelor alfanumerice ale lui Peirce”, în M. Anderson, B. Meyer și P. Olivier, (eds), Diagrammatic Representation and Reasoning, London: Springer-Verlag, pp. 297–314.
  • Sowa, J., 2000, Reprezentarea cunoștințelor: Logical, Philosophical, Computational Foundations, Belmont, CA: Brooks / Cole.
  • Stenning, K., 2002, Seeing Reason: image and language in learning to think, Oxford: Oxford University Press.
  • Stenning, K. și J. Oberlander, 1995, „O teorie cognitivă a raționamentului grafic și lingvistic: logică și implementare”, Știința cognitivă, 19 (1): 97–140.
  • Tufte, E., 1983, Display-ul vizual al informațiilor cantitative, Connecticut: Graphics Press.
  • –––, 1990, Envisioning Information, Connecticut: Graphics Press.

Instrumente academice

pictograma omului sep
pictograma omului sep
Cum se citează această intrare.
pictograma omului sep
pictograma omului sep
Previzualizați versiunea PDF a acestei intrări la Societatea Prietenii SEP.
pictograma inpho
pictograma inpho
Căutați acest subiect de intrare la Proiectul Ontologia Filozofiei pe Internet (InPhO).
pictograma documente phil
pictograma documente phil
Bibliografie îmbunătățită pentru această intrare la PhilPapers, cu link-uri către baza de date a acesteia.

Alte resurse de internet

  • Graficele existențiale (MS 514 de Peirce cu comentariu de John Sowa).
  • Ecranul vizual al lui Edward Tufte.
  • A Survey of Venn Diagrams (Universitatea din Victoria, Frank Ruskey).
  • Cercetători privind raționamentul diagrama, rezultatul căutării la Google Scholar.
  • Diagrame 2018, Conferință internațională privind teoria și aplicarea diagramelor.