Ipoteza Continuă

Cuprins:

Ipoteza Continuă
Ipoteza Continuă

Video: Ipoteza Continuă

Video: Ipoteza Continuă
Video: Biologie, cl. IX; "Poluarea apei și a solului" 2024, Martie
Anonim

Navigare la intrare

  • Cuprins de intrare
  • Bibliografie
  • Instrumente academice
  • Prieteni PDF Previzualizare
  • Informații despre autor și citare
  • Inapoi sus

Ipoteza continuă

Publicat pentru prima dată miercuri, 22 mai 2013

Ipotezele continuului (CH) sunt una dintre cele mai centrale probleme deschise în teoria seturilor, una importantă atât din motive matematice, cât și filosofice.

Problema a apărut odată cu nașterea teoriei de seturi; într-adevăr, în multe privințe a stimulat nașterea teoriei de seturi. În 1874, Cantor arătase că există o corespondență unu-la-unu între numerele naturale și numerele algebrice. Mai surprinzător, el a arătat că nu există o corespondență unu-la-unu între numerele naturale și numerele reale. Luând existența unei corespondențe unu la unu ca criteriu pentru când două seturi au aceeași dimensiune (lucru pe care a făcut-o cu siguranță până în 1878), acest rezultat arată că există mai mult de un nivel de infinit și, astfel, a dat naștere celui mai mare infinit în matematică. Cantor a încercat imediat să stabilească dacă există un număr infinit de numere reale care au dimensiuni intermediare, adicădacă există un set infinit de numere reale care nu puteau fi puse într-o corespondență unu-la-unu cu numerele naturale și nu puteau fi puse într-o corespondență unu-la-unu cu numerele reale. Ipoteza continuului (sub o formulare) este pur și simplu afirmația că nu există un astfel de set de numere reale. Prin încercarea sa de a demonstra această ipoteză, l-a determinat pe Cantor să dezvolte teoria seturilor într-o ramură sofisticată a matematicii.[1]

În ciuda eforturilor sale, Cantor nu a putut rezolva CH. Problema a persistat și a fost considerată atât de importantă de Hilbert încât a plasat-o pe prima sa faimoasă listă de probleme deschise cu care trebuie să se confrunte secolul XX. De asemenea, Hilbert s-a străduit să rezolve CH, din nou fără succes. În cele din urmă, această lipsă de progres a fost explicată de rezultatele combinate ale lui Gödel și Cohen, care au demonstrat împreună că CH nu poate fi rezolvată pe baza axiomelor pe care matematicienii le-au folosit; în termeni moderni, CH este independentă de teoria seturilor Zermelo-Fraenkel extinsă cu Axiom of Choice (ZFC).

Acest rezultat al independenței a fost urmat rapid de multe altele. Tehnicile de independență erau atât de puternice încât, în curând, teoreticienii s-au trezit preocupați de întreprinderea meta-teoretică de a demonstra că anumite afirmații fundamentale nu pot fi dovedite sau respinse în cadrul ZFC. Apoi a apărut întrebarea dacă există modalități de soluționare a declarațiilor independente. Comunitatea matematicienilor și filozofilor matematicii a fost divizată în mare măsură pe această întrebare. Pluraliștii (ca Cohen) au susținut că rezultatele independenței au soluționat efectiv întrebarea arătând că nu are niciun răspuns. În această privință, s-ar putea adopta un sistem în care,spun că CH era un axiom și se putea adopta un sistem în care ¬CH era o axiomă și care era sfârșitul problemei - nu exista nicio întrebare despre care dintre cele două extensii incompatibile era cea „corectă”. Non-pluraliștii (ca Gödel) au considerat că rezultatele independenței au indicat doar părerea mijloacelor noastre de a circumscrie adevărul matematic. În această privință, ceea ce era necesar au fost noi axiome, axiome care sunt atât justificate cât și suficiente pentru sarcină. Gödel a mers mai departe în a propune candidați pentru axiome noi - axiome cardinale mari - și a conjecturat că vor stabili CH. Gödel a mers mai departe în a propune candidați pentru axiome noi - axiome cardinale mari - și a conjecturat că vor stabili CH. Gödel a mers mai departe în a propune candidați pentru axiome noi - axiome cardinale mari - și a conjecturat că vor stabili CH.

Programul lui Gödel pentru axiomele cardinale mari s-a dovedit a fi remarcabil de reușit. Pe parcursul următorilor 30 de ani, s-a demonstrat că axiomele cardinale mari rezolvă multe dintre întrebările care s-au dovedit a fi independente în perioada independenței. Cu toate acestea, CH a fost lăsată neatinsă. Situația s-a dovedit a fi destul de ironică, deoarece la sfârșit s-a arătat (într-un sens care poate fi precizat) că, deși axiomele cardinale mari standard rezolvă efectiv toate problemele de complexitate strict sub cea a CH, acestea nu pot (prin rezultatele Levy și Solovay și alții) stabilesc CH în sine. Astfel, în alegerea CH ca un caz de test pentru programul său, Gödel a pus degetul tocmai pe punctul în care nu reușește. Din acest motiv, CH continuă să joace un rol central în căutarea de noi axiome.

În această intrare vom oferi o imagine de ansamblu asupra abordărilor majore de soluționare a CH și vom discuta unele dintre cadrele fundamentale majore care susțin că CH nu are un răspuns. Subiectul este unul de amploare și a trebuit să sacrificăm deplinitatea în două dimensiuni. În primul rând, nu am putut discuta despre problemele filozofice majore care se află în fundal. Pentru aceasta, cititorul este îndreptat către intrarea „Cardinalele mari și determinarea”, care conține o discuție generală a rezultatelor independenței, natura axiomelor, natura justificării și succesele axiomelor cardinale mari pe tărâmul „sub CH”. În al doilea rând, nu am putut discuta despre orice abordare a CH care există în literatura de specialitate. În schimb, ne-am limitat la acele abordări care par cele mai promițătoare din punct de vedere filosofic și în care matematica a fost dezvoltată într-o stare suficient de avansată. În abordări vom discuta - forțând axiomele, teoria modelului interior, cardinalele aproape mari - matematica a fost presată într-o etapă foarte avansată de-a lungul a 40 de ani. Iar acest lucru ne-a îngreunat sarcina. Am încercat să menținem discuția cât se poate de accesibilă și am plasat în nota finală elementele mai tehnice. Dar cititorul trebuie să țină cont de faptul că prezentăm o vedere a unei păsări și că, pentru o rezoluție mai mare, în orice moment, cititorul ar trebui să se afle în lecturile sugerate care apar la sfârșitul fiecărei secțiuni. În abordări vom discuta - forțând axiomele, teoria modelului interior, cardinalele aproape mari - matematica a fost presată într-o etapă foarte avansată de-a lungul a 40 de ani. Iar acest lucru ne-a îngreunat sarcina. Am încercat să menținem discuția cât se poate de accesibilă și am plasat în nota finală elementele mai tehnice. Dar cititorul trebuie să țină cont de faptul că prezentăm o vedere a unei păsări și că, pentru o rezoluție mai mare, în orice moment, cititorul ar trebui să se afle în lecturile sugerate care apar la sfârșitul fiecărei secțiuni. În abordări vom discuta - forțând axiomele, teoria modelului interior, cardinalele aproape mari - matematica a fost presată într-o etapă foarte avansată de-a lungul a 40 de ani. Iar acest lucru ne-a îngreunat sarcina. Am încercat să menținem discuția cât se poate de accesibilă și am plasat în nota finală elementele mai tehnice. Dar cititorul trebuie să țină cont de faptul că prezentăm o vedere a unei păsări și că, pentru o rezoluție mai mare, în orice moment, cititorul ar trebui să se afle în lecturile sugerate care apar la sfârșitul fiecărei secțiuni. Am încercat să menținem discuția cât se poate de accesibilă și am plasat în nota finală elementele mai tehnice. Dar cititorul trebuie să țină cont de faptul că prezentăm o vedere a unei păsări și că, pentru o rezoluție mai mare, în orice moment, cititorul ar trebui să se afle în lecturile sugerate care apar la sfârșitul fiecărei secțiuni. Am încercat să menținem discuția cât se poate de accesibilă și am plasat în nota finală elementele mai tehnice. Dar cititorul trebuie să țină cont de faptul că prezentăm o vedere a unei păsări și că, pentru o rezoluție mai mare, în orice moment, cititorul ar trebui să se afle în lecturile sugerate care apar la sfârșitul fiecărei secțiuni.[2]

Există într-adevăr două tipuri de abordări ale axiomelor noi - abordarea locală și abordarea globală. În abordarea locală, se caută axiome care să răspundă la întrebări referitoare la un fragment specific al universului, cum ar fi V ω + 1 sau V ω + 2, unde CH se află. În abordarea globală, se caută axiome care încearcă să lumineze întreaga structură a universului seturilor. Abordarea globală este în mod clar mult mai dificilă. În această intrare vom începe cu abordarea locală și spre final vom aborda pe scurt abordarea globală.

Iată o imagine de ansamblu a rubricii: Secțiunea 1 examinează rezultatele independenței în aritmetica cardinală, acoperind atât cazul cardinalelor obișnuite (unde se află CH), cât și cardinalele singulare. Secțiunea 2 ia în considerare abordările CH, unde se verifică succesiv o ierarhie a aproximărilor la CH, fiecare dintre ele fiind o versiune „eficientă” a CH. Această abordare a dus la descoperirea remarcabilă a lui Woodin că este posibil (în prezența unor cardinali mari) să aibă un eșec eficient al CH, arătând astfel, că eșecul efectiv al CH este la fel de intratabil (în raport cu axiomele cardinale mari) ca și CH în sine. Secțiunea 3 continuă cu evoluțiile care au rezultat din această descoperire. Elementul central al discuției este descoperirea unui model „canonic” în care CH eșuează. Aceasta a constituit baza unei rețele de rezultate care a fost prezentată colectiv de Woodin ca un caz pentru eșecul CH. Pentru a prezenta acest caz în cea mai simplă formă, introducem logica Ω-logică puternică. Secțiunea 4 prezintă opinia fundamentală concurentă potrivit căreia nu există soluție pentru CH. Această viziune este accentuată în ceea ce privește concepția generică a multiversului despre adevăr și această viziune este apoi examinată. Secțiunea 5 continuă evaluarea cazului pentru ¬CH prin investigarea unui caz paralel pentru CH. În cele două secțiuni rămase ne orientăm către abordarea globală a noilor axiome și aici vom fi mult mai buni. Secțiunea 6 discută abordarea prin teoria modelului interior. Secțiunea 7 discută abordarea prin axiome cardinale aproape mari. Pentru a prezenta acest caz în cea mai simplă formă, introducem logica Ω-logică puternică. Secțiunea 4 prezintă opinia fundamentală concurentă potrivit căreia nu există soluție pentru CH. Această viziune este accentuată în ceea ce privește concepția generică a multiversului despre adevăr și această viziune este apoi examinată. Secțiunea 5 continuă evaluarea cazului pentru ¬CH prin investigarea unui caz paralel pentru CH. În cele două secțiuni rămase ne orientăm către abordarea globală a noilor axiome și aici vom fi mult mai buni. Secțiunea 6 discută abordarea prin teoria modelului interior. Secțiunea 7 discută abordarea prin axiome cardinale aproape mari. Pentru a prezenta acest caz în cea mai simplă formă, introducem logica Ω-logică puternică. Secțiunea 4 prezintă opinia fundamentală concurentă potrivit căreia nu există soluție pentru CH. Această viziune este accentuată în ceea ce privește concepția generică a multiversului despre adevăr și această viziune este apoi examinată. Secțiunea 5 continuă evaluarea cazului pentru ¬CH prin investigarea unui caz paralel pentru CH. În cele două secțiuni rămase ne orientăm către abordarea globală a noilor axiome și aici vom fi mult mai buni. Secțiunea 6 discută abordarea prin teoria modelului interior. Secțiunea 7 discută abordarea prin axiome cardinale aproape mari. Secțiunea 5 continuă evaluarea cazului pentru ¬CH prin investigarea unui caz paralel pentru CH. În cele două secțiuni rămase ne orientăm către abordarea globală a noilor axiome și aici vom fi mult mai buni. Secțiunea 6 discută abordarea prin teoria modelului interior. Secțiunea 7 discută abordarea prin axiome cardinale aproape mari. Secțiunea 5 continuă evaluarea cazului pentru ¬CH prin investigarea unui caz paralel pentru CH. În cele două secțiuni rămase ne orientăm către abordarea globală a noilor axiome și aici vom fi mult mai buni. Secțiunea 6 discută abordarea prin teoria modelului interior. Secțiunea 7 discută abordarea prin axiome cardinale aproape mari.

  • 1 Independența în aritmetica cardinală

    • 1.1 Cardinali obișnuiți
    • 1.2 Cardinali singulari
  • 2 Versiuni definibile ale Ipotezei continue și a negației sale

    • 2.1 Trei versiuni
    • 2.2 Programul Foreman-Magidor
  • 3 Cazul pentru ¬CH

    • 3,1 ℙ max
    • 3.2 Ω-Logica
    • 3.3 Cazul
  • 4 Multiversul

    • 4.1 Vizualizări multiple la nivel multivers
    • 4.2 Multiversul generic
    • 4.3 Conjectura Ω și multiversul generic
    • 4.4 Există o cale de ieșire?
  • 5 Cazul local revizuit

    • 5.1 Cazul pentru ¬CH
    • 5.2 Cazul paralel pentru CH
    • 5.3 Evaluare
  • 6 Modelul interior final
  • 7 Teoria structurii lui L (V λ + 1)
  • Bibliografie
  • Instrumente academice
  • Alte resurse de internet
  • Intrări conexe

1. Independența în aritmetica cardinală

În această secțiune vom discuta despre rezultatele independenței în aritmetica cardinală. În primul rând, vom trata cazul cardinalelor obișnuite, în care CH se află și unde se determină foarte puțin în contextul ZFC. În al doilea rând, din motive de exhaustivitate, vom discuta despre cazul cardinalelor singulare, unde se pot stabili mult mai multe în contextul ZFC.

1.1 Cardinali obișnuiți

Adăugarea și înmulțirea numerelor cardinale infinite este banală: Pentru cardinalele infinite κ și λ,

κ + λ = κ ⋅ λ = max {κ, λ}.

Situația devine interesantă atunci când se apelează la exponențiere și la încercarea de a calcula κ λ pentru cardinali infiniti.

În zorii teoriei seturilor, Cantor a arătat că pentru fiecare cardinal κ,

2 κ > κ.

Nu există mister cu privire la dimensiunea de 2 n pentru n finit. Prima întrebare firească este aceea unde se află 2 0 în ierarhia aleph: Este ℵ 1, ℵ 2,…, ℵ 17 sau ceva mult mai mare?

Cardinalul 2 0 este important, deoarece este mărimea continuului (mulțimea numerelor reale). Faimoasa ipoteză a lui Cantor continuum (CH) este afirmația că 2 0 = ℵ 1. Acesta este un caz special al ipotezei continuum generalizate (GCH), care afirmă că pentru toate α, 2 α = ℵ α + 1. O virtute a GCH este aceea că oferă o soluție completă la problema calculului κ λ pentru cardinalii infiniti: Presupunând GCH, dacă κ ≤ λ atunci κ λ = λ +; dacă cf (κ) ≤ λ ≤ κ atunci κ λ = κ +; iar dacă λ <cf (κ) atunci κ λ = κ.

S-au înregistrat foarte puține progrese în ceea ce privește CH și GCH. De fapt, în epoca timpurie a teoriei de seturi, singura altă progresă dincolo de rezultatul lui Cantor a fost că 2 κ > κ (și rezultatul banal că dacă κ ≤ λ atunci 2 κ ≤ 2 λ) a fost rezultatul lui König care a se vedea (2 κ) > κ. Explicația lipsei de progres a fost oferită de rezultatele independenței din teoria seturilor:

Teorema 1.1 (Gödel 1938a, 1938b).
Presupunem că ZFC este consecvent. Apoi, ZFC + CH și ZFC + GCH sunt consecvente.

Pentru a demonstra acest lucru, Gödel a inventat metoda modelelor interioare - a arătat că CH și GCH au păstrat în modelul interior L minim de ZFC. Cohen a completat apoi acest rezultat:

Teorema 1.2 (Cohen 1963).
Presupunem că ZFC este consecvent. Atunci ZFC + ¬CH și ZFC + ¬GCH sunt consecvente.

A făcut acest lucru inventând metoda modelelor exterioare și arătând că CH a eșuat într-o extensie generică V B a V. Rezultatele combinate ale lui Gödel și Cohen demonstrează, așadar, că asumând consistența ZFC, în principiu este imposibil să se stabilească CH sau GCH în ZFC.

În toamna anului 1963, Easton a completat imaginea arătând că pentru cardinalele regulate infinite κ singurele constrângeri ale funcției κ ↦ 2 κ care sunt probabile în ZFC sunt constrângerea banală și rezultatele lui Cantor și König:

Teorema 1.3 (Easton 1963).

Presupunem că ZFC este consecvent. Să presupunem că F este o funcție (clasă definibilă) definită pe cardinale regulate infinite, astfel încât

  1. dacă κ ≤ λ atunci F (κ) ≤ F (λ),
  2. F (κ)> κ și
  3. cf (F (κ))> κ.
Apoi ZFC + „Pentru toate cardinalele regulate infinite κ, 2 κ = F (κ)” este consecvent.

Astfel, teoreticienii din grup au împins aritmetica cardinală a cardinalilor obișnuiți, în măsura în care a putut fi împins în limitele ZFC.

1.2 Cardinali singulari

Cazul aritmeticii cardinale pe cardinalele singulare este mult mai subtil. În scopul completării, ne oprim să discutăm pe scurt acest lucru înainte de a continua cu ipoteza continuum.

În general, s-a crezut că, ca în cazul cardinalilor obișnuiți, comportamentul funcției κ ↦ 2 κ ar fi relativ neconstruit în setarea ZFC. Dar atunci Silver a dovedit următorul rezultat remarcabil: [3]

Teorema 1.4 (argint 1974).
Dacă ℵ δ este un cardinal singular de cofinalitate incontestabilă, dacă GCH se menține sub ℵ δ, atunci GCH ține la holds δ.

Se dovedește că (printr-un rezultat profund al lui Magidor, publicat în 1977) GCH poate să eșueze mai întâi la ℵ ω (presupunând consistența unui cardinal supercompact). Teorema lui Silver arată că prima dată nu poate eșua la at ω 1 și acest lucru este demonstrat în ZFC.

Acest lucru ridică întrebarea dacă se poate „controla” mărimea de 2 δ δ cu o presupunere mai slabă decât cea ℵ δ este un cardinal singular de cofinalitate de necontestat, astfel încât GCH se menține sub ℵ δ. Ipoteza naturală de luat în considerare este că ℵ δ este un cardinal singular de cofinalitate incontestabilă, care este un cardinal limită puternic, adică acela pentru toți α <ℵ δ, 2 α <ℵ δ. În 1975, Galvin și Hajnal au dovedit (printre altele) că, sub această presupunere mai slabă, există într-adevăr o legătură:

Teorema 1.5 (Galvin și Hajnal 1975).

Dacă ℵ δ este un cardinal limită singular puternic de cofinalitate incontestabilă atunci

2 δ <ℵ (| δ | cf (δ)) +.

Este posibil să existe un salt de fapt, Woodin a arătat (asumând din nou cardinali mari) că este posibil ca pentru toți κ, 2 κ = κ ++. Teorema de mai sus arată că în ZFC există o legătură probabilă la cât de mare poate fi saltul.

Următoarea întrebare este dacă prevalează o situație similară cu cardinalele singulare de cofinalitate contabilă. În 1978, Shelah a arătat că acesta este într-adevăr cazul. Pentru a rezolva ideile, să ne concentrăm pe ℵ ω.

Teorema 1.6 (Shelah 1978).

Dacă ℵ ω este un cardinal limită puternic atunci

2 ω <ℵ (2 0) +.

Un dezavantaj al acestui rezultat este că legătura este sensibilă la dimensiunea reală de 2 0, care poate fi orice sub below ω. Remarcabil, Shelah a putut ulterior să remedieze acest lucru prin dezvoltarea teoriei sale de pcf (posibile cofinalități). Un rezultat foarte cotabil din această teorie este următorul:

Teorema 1.7 (Shelah 1982).

Dacă ℵ ω este un cardinal limită puternic atunci (indiferent de dimensiunea de 2 0)

2 ω <ℵ ω 4.

În rezumat, deși funcția continuă la cardinalii obișnuiți este relativ neconstruită în ZFC, funcția continuă la cardinali singulari este (probabil în ZFC) constrânsă în mod semnificativ de comportamentul funcției continue pe cardinalii mai mici.

Citire ulterioară: Pentru mai multe aritmetice cardinale vezi Jech (2003). Pentru mai multe despre cazul cardinalelor și teoriei pcf singulare, vezi Abraham & Magidor (2010) și Holz, Steffens & Weitz (1999).

2. Versiuni definibile ale ipotezei continue și a negației sale

Să revenim la funcția continuă pe cardinalele obișnuite și să ne concentrăm asupra celui mai simplu caz, dimensiunea de 2 0. Una dintre abordările originale ale lui Cantor în ceea ce privește CH a fost prin investigarea unor seturi „simple” de numere reale (a se vedea Hallett (1984), pp. 3–5 și §2.3 (b)). Unul dintre primele rezultate în această direcție este teorema Cantor-Bendixson conform căreia fiecare set infinit închis este numărabil sau conține un subset perfect, caz în care are aceeași cardinalitate ca și setul de realuri. Cu alte cuvinte, CH deține (în această formulare) atunci când se restricționează atenția cuiva la seturi închise de realități. În general, întrebările despre seturi de realități „definibile” sunt mai mult tratabile decât întrebările despre seturi arbitrare de realități și acest lucru sugerează să analizeze versiuni definibile ale ipotezei continuului.

2.1 Trei versiuni

Există trei formulări diferite ale ipotezei continuului - versiunea interpolantă, versiunea bine ordonată și versiunea suprapunere. Aceste versiuni sunt echivalente între ele în ZFC, dar vom impune o constrângere de definire și, în acest caz, pot exista diferențe interesante (discuția noastră urmează Martin (1976)). Există într-adevăr o ierarhie a noțiunilor de definibilitate, care se extind prin ierarhia Borel, ierarhia proiectivă, ierarhia în L (ℝ) și, mai general, ierarhia seturilor universale Baire, astfel încât fiecare din aceste trei versiuni generale este într-adevăr o ierarhie a versiunilor, fiecare corespunzând unui nivel dat al ierarhiei de definibilitate (pentru o discuție a ierarhiei de definibilitate a se vedea §2.2.1 și §4.6 din rubrica „Cardinalele mari și determinarea”).

2.1.1 Versiunea interpolantă

Prima formulare a CH este că nu există un interpolant, adică nu există un set infinit A de numere reale, astfel încât cardinalitatea lui A să fie strict între cea a numerelor naturale și a numerelor reale. Pentru a obține versiuni definibile, pur și simplu afirmăm că nu există un interpolant „definibil” și acest lucru duce la o ierarhie a versiunilor interpolabile definibile, în funcție de ce noțiune de definibilitate se folosește. Mai precis, pentru o anumită clasă punct Γ în ierarhia seturilor de realuri definibile, versiunea interpolantă definibilă a lui CH afirmă că nu există o interpolantă în Γ.

Teorema Cantor-Bendixson arată că nu există nicio interpolare în Γ în cazul în care Γ este punctul de clasă al seturilor închise, verificând astfel această versiune de CH. Aceasta a fost îmbunătățită de Suslin, care a arătat că această versiune de CH este valabilă pentru Γ unde Γ este clasa de Σ̰11 seturi. Nu se poate merge mult mai departe în cadrul ZFC - pentru a dovedi versiuni mai puternice, trebuie să aducem presupuneri mai puternice. Se dovedește că axiomele determinării definibile și axiomele cardinale mari realizează acest lucru. De exemplu, rezultatele lui Kechris și Martin arată că dacă Δ̰1 n -determinarea se menține, atunci această versiune de CH se menține pentru clasa punctelor de Σ̰1n + 1 seturi. Mergând mai departe, dacă presupune AD L (ℝ)atunci această versiune de CH este valabilă pentru toate seturile de numere reale care apar în L (ℝ). Întrucât aceste ipoteze pornesc de la axiomele cardinale mari, unul are și faptul că presupunerile cardinale mari mai puternice și mai puternice asigură versiuni mai puternice și mai puternice ale acestei versiuni a ipotezei efectului continuu. Într-adevăr, axiomele cardinale mari implică faptul că această versiune de CH este valabilă pentru toate seturile de realități din ierarhia de definire pe care o analizăm; mai precis, dacă există o clasă adecvată de cardinale din lemn, atunci această versiune de CH este valabilă pentru toate seturile universale de Baire.

2.1.2 Versiune pentru comandă bine

A doua formulare a lui CH afirmă că fiecare ordonare bine a realurilor are un tip de ordine mai mic decât ℵ 2. Pentru o anumită clasă punct Γ din ierarhie, versiunea corespunzătoare definită corespunzătoare de CH afirmă că fiecare comandă bine (codată de un set) în Γ are un tip de ordine mai mic decât ℵ 2.

Din nou, axiomele determinării definibile și axiomele cardinale mari implică această versiune a CH pentru noțiuni mai bogate de definibilitate. De exemplu, dacă AD L (ℝ) ține atunci această versiune de CH este valabilă pentru toate seturile de numere reale din L (ℝ). Și dacă există o clasă adecvată de cardinale din lemn, atunci această versiune de CH este valabilă pentru toate seturile universale de Baire.

2.1.3 Versiunea Surjection

Cea de-a treia versiune de formulare a lui CH afirmă că nu există nici o injecție ρ: ℝ → ℵ 2 sau, în mod echivalent, că nu există o preordineare a ℝ de lungime ℵ 2. Pentru o anumită clasă punct Γ în ierarhia definibilității, versiunea suprapunerii corespunzătoare a lui CH afirmă că nu există nici o supunere ρ: ℝ → ℵ 2 astfel încât (codul pentru) ρ să fie în Γ.

Aici situația este mai interesantă. Axiomele determinării definibile și axiomele cardinale mari au o influență asupra acestei versiuni, întrucât se limitează la cât timp pot fi pre-ordonări definibile. Fie δ̰1 n supremul lungimilor Σ̰1 n -preordonările realelor și să fie Θ L (ℝ) supremul lungimilor pre-ordonărilor realelor în care preordinarea este definibilă în sensul de a fi în L (ℝ). Rezultatul clasic este δ̰11 = ℵ 1. Martin a arătat că δ̰12 ≤ ℵ 2 și că dacă există un cardinal măsurabil, atunci δ̰13 ≤ ℵ 3. Kunen și Martin au mai arătat sub PD, δ̰14 ≤ ℵ 4 și Jackson a arătat că sub PD, pentru fiecare n <ω, δ̰1 n <ℵ ω. Astfel, presupunând că există infinit de mulți cardinali din lemn, aceste limite se mențin. Mai mult decât atât, limitele continuă să mențină indiferent de mărimea de 2 0. Desigur, întrebarea este dacă aceste limite pot fi îmbunătățite pentru a arăta că precomandările sunt mai scurte decât ℵ 2. În 1986, Foreman și Magidor au inițiat un program pentru a stabili acest lucru. În forma cea mai generală, aceștia au urmărit să arate că axiomele cardinale mari presupuneau că această versiune a CH deținea toate seturile reale de Baire universal.

2.1.4 Rulmentul potențial pe CH

Observați că în contextul ZFC, aceste trei ierarhii ale versiunilor CH sunt toate aproximări succesive ale CH și în cazul limită, unde Γ este punctul de clasă al tuturor seturilor de realuri, ele sunt echivalente cu CH. Întrebarea este dacă aceste aproximări pot oferi informații despre CH în sine.

Există o asimetrie subliniată de Martin și anume că un contraexemplu definitoriu pentru CH este un contraexemplu real, în timp ce oricât de departe a procedat la verificarea versiunilor definibile ale CH în nici o etapă nu va fi atins CH în sine. Cu alte cuvinte, abordarea de definibilitate ar putea respinge CH, dar nu a putut demonstra acest lucru.

Cu toate acestea, s-ar putea argumenta că, deși abordarea de definibilitate nu poate dovedi CH, ar putea furniza unele dovezi pentru aceasta. În cazul primelor două versiuni, acum știm că CH are în vedere toate seturile definibile. Aceasta oferă dovezi de CH? Martin a subliniat (înainte de a se cunoaște rezultatele complete) că acest lucru este extrem de îndoielnic, deoarece în fiecare caz, avem de-a face cu seturi atipice. De exemplu, în prima versiune, la fiecare etapă, se asigură versiunea definibilă a CH, arătând că toate seturile din clasa de definabilitate au proprietatea setului perfect; totuși, astfel de seturi sunt atipice prin faptul că presupunând alternativitatea AC este ușor de arătat că există seturi fără această proprietate. În cea de-a doua versiune, în fiecare etapă, se arată nu numai că fiecare ordonare bine a realelor din clasa de definabilitate are ordertype mai mică de ℵ 2, dar și că are ordertype mai mică de ℵ 1. Deci niciuna dintre aceste versiuni nu luminează cu adevărat CH.

A treia versiune are de fapt un avantaj în această privință, deoarece nu toate seturile cu care se ocupă sunt atipice. De exemplu, în timp ce toate seturile Σ̰11 au lungimea mai mică decât ℵ 1, există Π̰11-seturi de lungime ℵ 1. Desigur, s-ar putea dovedi că, chiar dacă programul Foreman-Magidor ar avea succes, seturile ar putea dovedi atipice într-un alt sens, caz în care ar arunca puțin lumină asupra CH. Mai interesantă este însă posibilitatea ca, spre deosebire de primele două versiuni, să ofere efectiv un contraexemplu pentru CH. Desigur, acest lucru ar necesita eșecul programului Foreman-Magidor.

2.2 Programul Foreman-Magidor

Scopul programului Foreman-Magidor a fost să arate că axiomele cardinale mari implicau, de asemenea, că a treia versiune de CH a fost ținută pentru toate seturile din L (ℝ) și, mai general, pentru toate seturile Baire universal. Cu alte cuvinte, obiectivul a fost să arate că axiomele cardinale mari presupuneau că Θ L (ℝ) ≤ ℵ 2 și, mai general, că Θ L (A, ℝ) ≤ ℵ 2 pentru fiecare set universal Baire A.

Motivația a venit din rezultatele celebre ale lui Foreman, Magidor și Shelah pe Max’s Martin (MM), care au arătat că asumarea axiomelor cardinale mari se poate întotdeauna forța să obțină un ideal precipitat pe ℵ 2 fără a se prăbuși ℵ 2 (vezi Foreman, Magidor și Shelah (1988)). Programul a implicat o strategie în două părți:

  1. Consolidarea acestui rezultat pentru a arăta că asumarea axiomelor cardinale mari se poate forța întotdeauna să obțină un ideal saturat pe ℵ 2 fără a se prăbuși ℵ 2.
  2. Arătați că existența unui astfel de ideal saturat implică faptul că Θ L (ℝ) ≤ ℵ 2 și, mai general, că Θ L (A, ℝ) ≤ ℵ 2 pentru fiecare set universal Baire A.

Acest lucru ar arăta că arată că that L (ℝ) ≤ ℵ 2 și, mai general, că Θ L (A, ℝ) ≤ ℵ 2 pentru fiecare set universal Baire A. [4]

În decembrie 1991, următorul rezultat a stârnit speranțele acestui program.

Teorema 2.1 (Woodin).
Presupunem că idealul non-staționar pe ℵ 1 este saturat și că există un cardinal măsurabil. Atunci δ̰12 = ℵ 2.

Ideea este că ipoteza acestei teoreme poate fi întotdeauna forțată să-și asume cardinali mari. Astfel, este posibil să avem Θ L (ℝ) > ℵ 2 (de fapt, δ̰13> ℵ 2).

Unde a mers programul greșit? Foreman și Magidor au avut o aproximare la (B) și la final s-a dovedit că (B) este adevărat.

Teorema 2.2 (Woodin).
Presupunem că există o clasă adecvată de cardinale din lemn și că există un ideal saturat pe ℵ 2. Atunci pentru fiecare A ∈ Γ , Θ L (A, ℝ) ≤ ℵ 2.

Deci problema este cu (A).

Acest lucru ilustrează un contrast interesant între cele trei versiuni ale ipotezei efectului continuu și anume faptul că acestea se pot despărți. Căci, în timp ce cardinalii mari exclud contraexemplele definibile de primele două tipuri, ele nu pot exclude contraexemple de trei tipuri definibile. Dar din nou trebuie să subliniem că nu pot dovedi că există astfel de contraexemple.

Există însă un punct important: presupunerea axiomelor cardinale mari (AD L (ℝ) este suficientă), deși se pot produce modele exterioare în care δ̰13> ℵ 2 nu se știe în prezent cum se produc modele exterioare în care δ̰13> ℵ 3 sau chiar Θ L (ℝ) > ℵ 3. Astfel, este o posibilitate deschisă ca din ZFC + AD L (ℝ) să se poată dovedi Θ L (ℝ) ≤ ℵ 3. Dacă s-ar întâmpla acest lucru, ar rezulta că, deși cardinali mari nu pot exclude eșecul definit al CH, ei pot exclude eșecul definibil al 2 0 = ℵ 2. Aceasta ar putea oferi o perspectivă asupra dimensiunii continuului, subliniind centralitatea lui ℵ 2.

Lectură suplimentară: Pentru mai multe despre cele trei versiuni eficiente ale CH, vezi Martin (1976); pentru mai multe despre programul Foreman-Magidor, a se vedea Foreman & Magidor (1995) și introducerea la Woodin (1999).

3. Cazul pentru ¬CH

Rezultatele de mai sus l-au condus pe Woodin la identificarea unui model „canonic” în care CH eșuează și acest lucru a stat la baza argumentului său potrivit căruia CH este fals. În secțiunea 3.1 vom descrie modelul și în restul secțiunii vom prezenta cazul pentru eșecul CH. În secțiunea 3.2 vom introduce logica Ω și celelalte noțiuni necesare pentru a face cazul. În secțiunea 3.3 vom prezenta cazul.

3,1 ℙ max

Scopul este de a găsi un model în care CH să fie fals și care să fie canonic în sensul că teoria acesteia nu poate fi modificată prin forțarea forței în prezența unor cardinali mari. Motivația de fundal este aceasta: În primul rând, știm că în prezența axiomelor cardinale mari teoria aritmeticii de ordinul doi și chiar întreaga teorie a lui L (ℝ) este invariabilă sub forțarea setată. Importanța acestui lucru este că demonstrează că principalele noastre tehnici de independență nu pot fi folosite pentru a stabili independența întrebărilor despre aritmetica de ordinul doi (sau despre L (ℝ)) în prezența unor cardinali mari. Al doilea,experiența a arătat că marile axiome cardinale în cauză par să răspundă la toate problemele deschise majore cunoscute despre aritmetica și L (ℝ) de ordinul secundar și teoremele de forțare a invarianței oferă conținut precis afirmației că aceste axiome sunt „complet complete”.[5]

Rezultă că dacă ℙ este orice ordine parțială omogenă în L (ℝ), atunci extensia generică L (ℝ) moștenește absolutitatea generică a lui L (ℝ). Preluc a descoperit că există o ordine parțială foarte specială ℙ max care are această caracteristică. Mai mult, modelul L (ℝ) max satisface ZFC + ¬CH. Caracteristica cheie a acestui model este aceea că este „maximă” (sau „saturată”) în ceea ce privește propozițiile care au o anumită complexitate și care se poate dovedi a fi consecvent prin setarea forțată asupra modelului; cu alte cuvinte, dacă aceste propoziții pot ține (setând forțarea asupra modelului), atunci ele țin în model. Pentru a afirma acest lucru mai precis, va trebui să introducem câteva noțiuni destul de tehnice.

Există două moduri de stratificare a universului seturilor. Primul este în termeni de ⟨V α | α ∈ Pe⟩, a doua este în termeni de ⟨H (κ) | κ ∈ Card⟩, unde H (κ) este mulțimea tuturor seturilor care au cardinalitate mai mică de κ și ai căror membri au cardinalitate mai mică decât κ și ai căror membri ai cardinalității sunt mai mici decât κ, etc. De exemplu, H (ω) = V ω și teoriile structurilor H (ω 1) și V ω + 1sunt interpretabile reciproc. Această din urmă structură este structura aritmeticii de ordinul doi și, așa cum am menționat mai sus, axiomele cardinale mari ne oferă o înțelegere „completă” a acestei structuri. Ar trebui să fim în aceeași poziție în ceea ce privește fragmentele mai mari și mai mari ale universului, iar întrebarea este dacă trebuie să procedăm în ceea ce privește prima sau a doua stratificare.

A doua stratificare este potențial mai fină. Presupunând că CH se consideră că teoriile lui H (ω 2) și V ω + 2 sunt interpretabile reciproc și presupunând că fragmente mai mari și mai mari ale GCH această corespondență continuă în sus. Dar dacă CH este falsă, atunci structura H (ω 2) este mai puțin bogată decât structura V ω 2. În acest caz, ultima structură surprinde aritmetica completă de al treilea ordin, în timp ce prima captează doar un mic fragment de aritmetică de ordinul al treilea, dar este totuși suficient de bogată pentru a exprima CH. Având în vedere acest lucru, în încercarea de a înțelege universul seturilor lucrând prin el nivel la nivel, este sensibil să folosești stratificarea potențial mai fină.

Următorul nostru pas este așadar să înțelegem H (ω 2). Se dovedește că vom putea înțelege puțin mai mult și acest lucru este oarecum tehnic. Vom fi preocupat cu structura ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A G ⟩ ⊧ φ, unde NS este idealul nestaționară pe ω 1 și A G este interpretarea (reprezentarea canonică a) un set de realuri A în L (ℝ). Detaliile nu vor fi importante, iar cititorului i se cere să se gândească doar la H (ω 2) împreună cu unele „chestii suplimentare” și să nu-și facă griji despre detaliile referitoare la lucrurile suplimentare. [6]

Acum suntem în poziția de a declara principalul rezultat:

Teorema 3.1 (Woodin 1999).

Presupunem ZFC și că există o clasă adecvată de cardinali din lemn. Să presupunem că A ∈ P (ℝ) ∩ L (ℝ) și φ este o Π 2 -sentență (în limbajul extins cu două predicate suplimentare) și există un set care să forțeze extensia V [G] astfel încât

⟨H (ω 2), ∈, I NS, A G ⟩ ⊧ φ

(unde A G este interpretarea lui A în V [G]). Apoi

L (ℝ) max ⊧ „⟨H (ω 2), ∈, I NS, A⟩ ⊧ φ”.

Există două puncte cheie: În primul rând, teoria lui L (ℝ) max este „complet completă”, în sensul că este invariabilă sub forțarea setată. În al doilea rând, modelul L (ℝ) max este „maxim” (sau „saturat”) în sensul că satisface toate Π 2 -sentențele (despre structura relevantă) pe care le poate ține (în sensul că pot fi arătate să fie consecvent prin stabilirea forțării asupra modelului).

Unul ar dori să se ocupe de teoria acestei structuri prin axiomatizarea ei. Axioma relevantă este următoarea:

Definiția 3.2 (Woodin 1999).
Axioma (∗): AD L (ℝ) ține și L (P (ω 1)) este o extensie ℙ max -generică a lui L (ℝ).

În sfârșit, această axiomă stabilește CH:

Teorema 3.3 (Woodin 1999).
Presupunem (∗). Atunci 2 ω = ℵ 2.

3.2 Ω-Logica

Acum vom reformula rezultatele de mai sus în termeni de logică puternică. Vom folosi pe deplin axiomele cardinale mari și, în acest cadru, suntem interesați de logici care sunt „bine purtate”, în sensul că întrebarea a ceea ce implică ceea ce nu este radical independent. De exemplu, este bine știut că CH este expresibilă în logica deplină de ordinul doi. Rezultă că, în prezența unor cardinali mari, se poate folosi întotdeauna forțarea setată pentru a reda valoarea de adevăr a unei presupuse validități logice a unei logici complete de ordinul doi. Cu toate acestea, există logici puternice, precum ω-logica și β-logica - care nu au această caracteristică - sunt bine comportate în sensul că, în prezența axiomelor cardinale mari, se pune problema a ceea ce implică ceea ce nu poate fi modificat de set. forțând. Vom introduce o logică foarte puternică care are această caracteristică-logică Ω. De fapt,logica pe care o vom introduce poate fi caracterizată ca cea mai puternică logică cu această caracteristică (a se vedea Koellner (2010) pentru discuții suplimentare despre logici puternice și pentru o precizare precisă a acestui rezultat).

3.2.1 Ω-logică

Definiția 3.4.
Să presupunem că T este o teorie contabilă în limbajul teoriei de set și φ este o propoziție. Apoi

T ⊧ Ω φ

dacă pentru toate algebrele booleane B complete și pentru toate ordinele α,

dacă VB α ⊧ T atunci VB α ⊧ φ.

Spunem că o afirmație φ este satisfăcătoare dacă există o α ordinală și o algebră Booleană completă B astfel încât VB α ⊧ φ și spunem că φ este valabilă dacă ∅ ⊧ Ω φ. Deci, teorema de mai sus spune că (în conformitate cu ipotezele noastre de fond), afirmația „φ este satisfăcătoare Ω” este în general genial invariabilă și în termeni de validitate Ω aceasta este pur și simplu următoarea:

Teorema 3.5 (Woodin 1999).
Presupunem ZFC și că există o clasă adecvată de cardinali din lemn. Să presupunem că T este o teorie contabilă în limbajul teoriei de set și φ este o propoziție. Apoi pentru toate algebrele booleane B complete,

T ⊧ Ω φ iff V B ⊧ „T ⊧ Ω φ.”

Astfel, această logică este puternică prin faptul că întrebarea a ceea ce implică ceea ce este invariabil sub forțarea setată.

3.2.2 Conjectura Ω

Corespunzător relației semantice ⊧ Ω există o relație de probă cvasi-sintactică ⊢ Ω. „Dovada” sunt anumite seturi robuste de realități (universal seturi de realități Baire), iar structurile de testare sunt modele care sunt „închise” în conformitate cu aceste dovezi. Noțiunile precise de „închidere” și „dovadă” sunt oarecum tehnice și astfel le vom trece în liniște. [7]

Ca și relația semantică, această relație de probă cvasi-sintactică este puternică în baza ipotezelor cardinale mari:

Teorema 3.6 (Woodin 1999).
Presupunem ZFC și că există o clasă adecvată de cardinali din lemn. Să presupunem că T este o teorie contabilă în limbajul teoriei de seturi, φ este o propoziție, iar B este o algebră booleană completă. Apoi

T ⊢ Ω φ iff V B ⊧ 'T ⊢ Ω φ'.

Astfel, avem o relație de consecință semantică și o relație de probă cvasi-sintactică, ambele fiind robuste sub asumarea axiomelor cardinale mari. Este firesc să ne întrebăm dacă teoremele solidității și completitudinii păstrează aceste relații. Teorema de soliditate este cunoscută pentru:

Teorema 3.7 (Woodin 1999).
Presupunem ZFC. Să presupunem că T este o teorie contabilă în limbajul teoriei de set și φ este o propoziție. Dacă T ⊢ Ω φ atunci T ⊧ Ω φ.

Este deschis dacă există teorema de completare corespunzătoare. Conceptura Ω este pur și simplu afirmația pe care o face:

Conjectură 3.8Conjectură).
Presupunem ZFC și că există o clasă adecvată de cardinali din lemn. Apoi pentru fiecare propoziție φ,

∅ ⊧ Ω φ iff ∅ ⊢ Ω φ.

Avem nevoie de o formă puternică a acestei conjecturi pe care o vom numi Conjectură puternică Ω. Este oarecum tehnic și așa vom trece peste el în tăcere. [8]

3.2.3 Ω-Teorii complete

Reamintim că o virtute esențială a axiomelor cardinale mari este aceea că „soluționează eficient” teoria aritmeticii de ordinul doi (și, de fapt, teoria lui L (ℝ) și altele), în sensul că, în prezența unor cardinali mari nu poate folosi metoda de forțare a stabilirii independenței în raport cu declarațiile despre L (ℝ). Această noțiune de invarianță sub forțare setată a jucat un rol esențial în secțiunea 3.1. Acum putem reformula această noțiune în termeni de logică Ω.

Definiția 3.9.
O teorie T este Ω- completă pentru o colecție de propoziții Γ dacă pentru fiecare φ ∈ Γ, T ⊧ Ω φ sau T ⊧ Ω ¬φ.

Invarianța teoriei lui L (ℝ) sub forțare setată poate fi actualizată astfel:

Teorema 3.10 (Woodin 1999).
Presupunem ZFC și că există o clasă adecvată de cardinali din lemn. Apoi, ZFC este Ω -complet pentru colectarea de propoziții sub forma „L (ℝ) ⊧ φ”.

Din nefericire, dintr-o serie de rezultate provenite din lucrarea lui Levy și Solovay, axiomele cardinale mari tradiționale nu dau teorii complete Ω la nivelul de 21, întrucât se poate folosi întotdeauna o forțare „mică” (și deci o conservare cardinală mare). pentru a modifica valoarea de adevăr a CH.

Teorema 3.11.
Presupunem că L este un axiom cardinal standard. Atunci ZFC + L nu este Ω -complet pentru Σ21.

3.3 Cazul

Cu toate acestea, dacă unul suplimentează axiomele cardinale mari, teoriile complete Ω sunt viitoare. Acesta este elementul central al cazului împotriva CH.

Teorema 3.12 (Woodin).
Presupunem că există o clasă adecvată de cardinale din lemn și că Conjectura puternică Ω ține.
  1. Există un axiom A astfel încât

    1. ZFC + A este satisfăcător Ω și
    2. ZFC + A este Ω-complet pentru structura H (ω 2).
  2. Orice astfel de axiom A are caracteristica care

    ZFC + A ⊧ Ω 'H (ω 2) ⊧ ¬CH'.

Să ne reformulăm acest lucru după cum urmează: Pentru fiecare A care satisface (1), să fie

T A = {φ | ZFC + A ⊧ Ω 'H (ω 2) ⊧ ¬φ'}.

Teorema spune că, dacă există o clasă corespunzătoare de cardinale din Wood și conținutul Ω conține, atunci există teorii (non-triviale) Ω-complete T A de H (ω 2) și toate aceste teorii conțin ¬CH.

Este firesc să ne întrebăm dacă există o mai mare înțelegere între teoriile uj completă T A. În mod ideal, ar exista doar unul. Un rezultat recent (bazat pe Teorema 5.5) arată că dacă există o astfel de teorie, există multe astfel de teorii.

Teorema 3.13 (Koellner și Woodin 2009).
Presupunem că există o clasă adecvată de cardinale din lemn. Să presupunem că A este o axiomă astfel

i. ZFC + A este satisfăcător Ω și

ii. ZFC + A este Ω-complet pentru structura H (ω 2).

Atunci există un axiom B astfel încât

I“. ZFC + B este Ω-satisfăcător și

ii '. ZFC + B este complet Ω pentru structura H (ω 2)

și T A ≠ T B.

Cum se poate alege unul dintre aceste teorii? Munca lui Woodin în acest domeniu depășește cu mult teorema 5.1. Pe lângă izolarea unui axiom care satisface (1) teorema 5.1 (presupunând o satisfacție Ω), el izolează un astfel de axiom foarte special, și anume, axioma (star) („stea”) menționată anterior.

Acest axiom poate fi exprimat în termeni de (noțiunea de probabilitate) Ω-logică:

Teorema 3.14 (Woodin).
Presupunem ZFC și că există o clasă adecvată de cardinali din lemn. Apoi, următoarele sunt echivalente:
  1. (∗).
  2. Pentru fiecare Π 2 -sentență φ în limbajul pentru structură

    ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩

    dacă

    ZFC + „⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ"

    atunci este Ω-constant

    ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ.

Rezultă că din diferitele teorii T A implicate în Teorema 5.1, există una care iese în evidență: Teoria T (∗) dată de (∗). Această teorie maximizează teoria Π 2 a structurii ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩.

Ipoteza continuum eșuează în această teorie. Mai mult, în teoria maximă T (∗) dată de (∗) mărimea continuului este ℵ 2. [9]

Pentru a rezuma: Presupunând conjectura puternică Ω, există o teorie „bună” a lui H (ω 2) și toate aceste teorii implică faptul că CH eșuează. Mai mult, (din nou, presupunând Conjectura puternică Ω) există o astfel de teorie maximă și în această teorie 2 0 = ℵ 2.

Citire ulterioară: Pentru matematica referitoare la ℙ max vezi Woodin (1999). Pentru o introducere în Ω-logică, a se vedea Bagaria, Castells și Larson (2006). Pentru mai multe despre teoriile incompatibile Ω-complete, consultați Koellner & Woodin (2009). Pentru mai multe despre cazul împotriva CH, a se vedea Woodin (2001a, b, 2005a, b).

4. Multiversul

Cazul de mai sus pentru eșecul CH este cel mai puternic caz local cunoscut pentru axiomele care soluționează CH. În această secțiune și următoarea vom schimba părțile și vom lua în considerare argumentele pluraliste în sensul că CH nu are un răspuns (în această secțiune) și în sensul că există un caz la fel de bun pentru CH (în secțiunea următoare). În ultimele două secțiuni vom cerceta scenarii globale optimiste care oferă speranță de soluționare a problemei.

Pluralistul susține că rezultatele independenței rezolvă eficient întrebările nedecise, arătând că nu au niciun răspuns. O modalitate de a oferi un cadru de bază pentru o astfel de perspectivă este în termenii multiversului. Din acest punct de vedere, nu există un singur univers al teoriei seturilor, ci mai mult un multivers de candidați legitimi, dintre care unii pot fi preferați altora în anumite scopuri, dar despre care nu se poate spune că este „universul” adevărat. Concepția multiversului despre adevăr este părerea că o afirmație a teoriei seturilor poate fi spusă ca fiind adevărat simplificator numai dacă este adevărată în toate universurile multiversului. În sensul acestei discuții, vom spune că o afirmație este nedeterminată în conformitate cu concepția multivers, dacă nu este nici adevărată, nici falsă în conformitate cu concepția multivers. Cât de radicală este o astfel de perspectivă depinde de lățimea concepției multiversului.

4.1 Vizualizări multiple la nivel multivers

Pluralistul este în general un non-pluralist despre anumite domenii ale matematicii. De exemplu, un finitist strict ar putea fi un non-pluralist despre PA, dar un plural despre teoria seturilor și unul ar putea fi un non-pluralist despre ZFC și un plural despre axiomele cardinale mari și afirmații precum CH.

Există o formă de pluralism radical care pledează pentru pluralism în ceea ce privește toate domeniile matematicii. Din acest punct de vedere, orice teorie consistentă este un candidat legitim, iar modelele corespunzătoare de astfel de teorii sunt candidați legitimi pentru domeniul matematicii. Să numim aceasta cea mai largă viziune multivers. Există o dificultate în articularea acestei concepții, care poate fi prezentată după cum urmează: Pentru a începe, trebuie să alegeți o teorie de fundal în care să discutați diferitele modele și acest lucru duce la o dificultate. De exemplu, conform concepției multiverse, deoarece PA nu poate dovedi Con (PA) (prin al doilea teorem de incompletitudine, presupunând că PA este consistentă), există modele de PA + ofCon (PA) și aceste modele sunt candidați legitimi, este, sunt universuri în cadrul multiversului larg. Acum, pentru a ajunge la această concluzie, trebuie (în teoria de fundal) să fie în măsură să dovedească Con (PA) (deoarece această presupunere este necesară pentru a aplica a doua teoremă de incompletitudine în acest caz particular). Astfel, din perspectiva teoriei de fundal obișnuite să susțină că modelele de mai sus sunt candidați legitimi, modelele în cauză satisfac o propoziție falsă de 01, și anume ¬Con (PA). Pe scurt, există o lipsă de armonie între ceea ce se ține la meta-nivel și ceea ce se ține la nivelul obiectului. Pe scurt, există o lipsă de armonie între ceea ce se ține la meta-nivel și ceea ce se ține la nivelul obiectului. Pe scurt, există o lipsă de armonie între ceea ce se ține la meta-nivel și ceea ce se ține la nivelul obiectului.

Singura cale de ieșire din această dificultate ar fi să considere fiecare punct de vedere - fiecare articulare a concepției multiversului - provizoriu și, atunci când este apăsat, să îmbrățișezi pluralismul în ceea ce privește teoria fundalului. Cu alte cuvinte, ar trebui să adopți o concepție multiversă a multiversului, o concepție multiversă a concepției multiverse a multiversului și așa mai departe, până la infinit. Rezultă că o astfel de poziție nu poate fi niciodată complet articulată - de fiecare dată când se încearcă articularea concepției multiverse largi, trebuie să se folosească o teorie de fundal, dar întrucât este pluralist despre acea teorie de fundal, această trecere în utilizarea multiversului larg pentru a articula concepția o face nu face concepția dreptate deplină. Astfel, poziția este dificil de articulat. Se poate lua cu siguranță poziția pluralist și să încerce să gesticuleze sau să prezinte părerea pe care o intenționează, stabilindu-se provizoriu pe o anumită teorie de fond, dar apoi să pledezi pentru pluralism cu privire la asta. Astfel, punctul de vedere este un „obiectiv în mișcare”. Vom trece acest punct de vedere în tăcere și ne vom concentra asupra opiniilor care pot fi articulate într-un cadru de bază.

În consecință, vom analiza opiniile care cuprind non-pluralismul cu privire la o anumită întindere a matematicii și din motive de spațiu și, deoarece aceasta este o intrare în teoria seturilor, vom trece peste dezbaterile lungi referitoare la finitism strict, finitism, predicativism și vom începe cu opinii care îmbrățișează non-pluralismul în ceea ce privește ZFC.

Fie multiversul larg (bazat pe ZFC) să fie colecția tuturor modelelor de ZFC. Concepția largă a multitudinii despre adevăr (bazată pe ZFC) este atunci pur și simplu ideea că o afirmație a teoriei de seturi este adevărată simplificatoare dacă este probabilă în ZFC. Din acest punct de vedere, declarația Con (ZFC) și alte declarații ec01 nedecise sunt clasificate ca nedeterminate. Astfel, această părere se confruntă cu o dificultate paralelă cu cea menționată mai sus, referitoare la pluralismul radical.

Acest lucru motivează trecerea la opinii care restrâng clasa de universuri din multivers folosind o logică puternică. De exemplu, ne putem restrânge la universuri care sunt modele β, modele β (adică bine-completate), etc. Din punctul de vedere al unei modele ω, afirmația Con (ZFC) este clasificată drept adevărată (deși aceasta este sensibilă) la teoria de fundal), dar afirmația PM (toate seturile proiective pot fi măsurate cu Lebesgue) este clasificată ca nedeterminată.

Pentru cei care sunt convinși de argumentele (examinate în rubrica „Cardinalele mari și determinarea”) pentru axiomele cardinale mari și axiomele determinării definibile, chiar și aceste concepții multivers sunt prea slabe. Vom urma acest traseu. Pentru restul acestei intrări, vom cuprinde non-pluralismul referitor la axiomele cardinale mari și axiomele determinării definibile și ne vom concentra asupra întrebării CH.

4.2 Multiversul generic

Motivația din spatele multiversului generic este de a acorda cazul pentru axiomele cardinale mari și determinarea definibilă, dar neagă faptul că afirmații precum CH au o valoare de adevăr determinată. Pentru a fi specifici asupra teoriei de fundal, să luăm ZFC + „Există o clasă adecvată de cardinali Woodin” și amintim că această presupunere cardinală mare asigură axiomele determinării definibile, cum ar fi PD și AD L (ℝ).

Fie multiversul generic ? rezultatul închiderii V sub extensii și rafinări generice. O modalitate de a formaliza acest lucru este luând o perspectivă externă și începeți cu un model tranzitoriu contabil M. Multiversul generic bazat pe M este apoi cel mai mic set ? M astfel încât M ∈ ? M și, pentru fiecare pereche de modele tranzitive numărabile (N, N [G]), astfel încât N ⊧ ZFC și G ⊆ ℙ sunt N-generice pentru o anumită ordine parțială în ℙ ∈ N, dacă oricare dintre N sau N [G] este în ? M atunci ambele N și N [G] sunt în ? M.

Permiteți concepției generice a multiversului despre adevăr să fie părerea că o afirmație este adevărată simplificatoare, dacă este adevărată în toate universurile generice. Vom numi o astfel de afirmație un adevăr generic multivers. Se afirmă că o afirmație este nedeterminată în funcție de concepția generică de multivers, dacă nu este nici adevărată, nici falsă în conformitate cu concepția generică multivers. De exemplu, acordând ipotezele noastre cardinale mari, o astfel de vedere consideră PM (și PD și AD L (ℝ)) adevărate, dar consideră CH nedeterminat.

4.3 Conjectura Ω și multiversul generic

Este concepția generică a multiversului despre adevăr durabilă? Răspunsul la această întrebare este strâns legat de subiectul logicii Ω. Conexiunea de bază între adevărul multivers generic și logica Ω este încorporată în următoarea teoremă:

Teorema 4.1 (Woodin).
Presupunem ZFC și că există o clasă adecvată de cardinali din lemn. Apoi, pentru fiecare Π 2- declarație φ următoarele sunt echivalente:
  1. φ este un adevăr generic multivers.
  2. φ este valid Ω.

Reamintim că, după Teorema 3.5, în conformitate cu ipotezele noastre de fond, validitatea Ω este generic invariabilă. Rezultă că, având în vedere teoria noastră de fond, noțiunea de adevăr generic multivers este robustă în ceea ce privește Π 2- declarații. În special, pentru declarațiile- 2, afirmația „φ este nedeterminată” este ea însăși determinată în conformitate cu concepția generică a multiversului. În acest sens, concepția despre adevăr nu este „auto-subminare” și nu este trimisă într-o spirală descendentă, unde trebuie să înfrânți multiversele multiverselor. Deci trece primul test. Indiferent dacă trece un test mai dificil depinde de Concepția Ω.

Conceptura Ω are consecințe profunde asupra concepției generice a multiversului despre adevăr. Lăsa

? Ω = {φ | ∅ ⊧ Ω φ}

și, pentru orice cardinal specificabil, let

? Ω (H (κ +)) = {φ | ZFC ⊧ Ω „H (κ +) ⊧ φ”},

unde amintim că H (κ +) este colecția de seturi de cardinalitate ereditară mai mică decât κ +. Astfel, presupunând ZFC și că există o clasă corespunzătoare de cardinale din lemn, mulțimea ? Ω este Turing echivalentă cu mulțimea de Π 2 adevăruri generice multivers și multimea ? Ω (H (κ +)) este exact setul multiversului generic adevărurile lui H (κ +).

Pentru a descrie influența concepției Ω asupra concepției generice-multiverse a adevărului, introducem două principii de transcendență care servesc ca constrângeri la orice concepție tenabilă a adevărului în teoria seturilor - o constrângere a adevărului și o constrângere de definire.

Definiția 4.2 (Limitarea Adevărului).
Orice concepție multidisciplinabilă a adevărului în teoria seturilor trebuie să fie astfel încât Π 2 -truths (conform acestei concepții) din universul seturilor să nu fie recursive în adevărurile despre H (κ) (conform acestei concepții), pentru orice specific cardinal.

Această constrângere este în spiritul acelor principii ale teoriei seturilor - în special, principii de reflecție - care urmăresc să surprindă ideea pretheoretică că universul seturilor este atât de bogat încât nu poate fi „descris de jos”; mai precis, acesta afirmă că orice concepție temeinică a adevărului trebuie să respecte ideea că universul seturilor este atât de bogat încât adevărul (sau chiar doar Π 2- truf) nu poate fi descris într-un fragment specificabil. (Observați că, prin teorema lui Tarski cu privire la indefinibilitatea adevărului, constrângerea adevărului este satisfăcută trivial de concepția standard a adevărului în teoria seturilor, care duce multiversul să conțină un singur element, și anume, V.)

Există, de asemenea, o constrângere legată de definirea adevărului. Pentru un cardinal iable specificat, setul Y ⊆ ω este definit în H (κ +) pe multivers, dacă Y este definibil în structura H (κ +) a fiecărui univers al multiversului (eventual prin formule care depind de universul părinte).

Definiția 4.3 (Limitarea definiției).
Orice concepție multidisciplină a adevărului în teoria seturilor trebuie să fie astfel încât Π 2 -truths (conform acestei concepții) din universul seturilor să fie definite în H (κ) în universul multivers, pentru orice cardinal specific κ.

Observați din nou că prin teorema lui Tarski privind indefinabilitatea adevărului, constrângerea de definire este într-o manieră satisfăcută de concepția degenerată a multiversului care ia multiversul pentru a conține unicul element V. (Observați, de asemenea, că dacă se modifică constrângerea de definire prin adăugarea cerinței ca definiția să fie uniformă pe multivers, atunci constrângerea va fi automat îndeplinită.)

Răspunsul Concepției Ω asupra tenabilității concepției generice-multiverse despre adevăr este conținut în următoarele două teoreme:

Teorema 4.4 (Woodin).
Presupunem ZFC și că există o clasă adecvată de cardinali din lemn. Să presupunem că Ω Conjectura ține. Atunci ? Ω este recursiv în ? Ω (H (δ + 0)), unde δ 0 este cel mai puțin cardinal Woodin.
Teorema 4.5 (Woodin).
Presupunem ZFC și că există o clasă adecvată de cardinali din lemn. Să presupunem că Ω Conjectura ține. Atunci ? Ω este definit în H (δ + 0), unde δ 0 este cel mai puțin cardinal Woodin.

Cu alte cuvinte, dacă există o clasă adecvată de cardinale Woodin și dacă Conjectura Ω păstrează, concepția generică a multiversului despre adevăr încalcă atât constrângerea Adevărului (la δ 0), cât și constrângerea de definire (la δ 0).

Există versiuni mai clare ale rezultatelor de mai sus care implică H (c +) în locul lui H (δ + 0).

Teorema 4.6 (Woodin).
Presupunem ZFC și că există o clasă adecvată de cardinali din lemn. Să presupunem că Ω Conjectura ține. Atunci ? Ω este recursiv în ? Ω (H (c +)).
Teorema 4.7 (Woodin).
Presupunem ZFC și că există o clasă adecvată de cardinali din lemn. Să presupunem că Ω Conjectura ține și că AD + Conjectura ține. Atunci ? Ω este definit în H (c +).

Cu alte cuvinte, dacă există o clasă adecvată de cardinale Woodin și dacă Conjectura Ω păstrează, atunci concepția generică-multiversală despre adevăr încalcă constrângerea Adevărului la nivelul aritmeticii de ordinul al treilea și dacă, în plus, conjectura AD + deține, apoi concepția generică-multiversă a adevărului încalcă constrângerea de definire la nivelul aritmeticii de ordinul al treilea.

4.4 Există o cale de ieșire?

Se pare că există patru modalități prin care avocatul multiversului generic ar putea rezista criticilor de mai sus.

În primul rând, s-ar putea susține că Conjectura Ω este la fel de problematică ca CH și, prin urmare, ca CH, trebuie considerată ca nedeterminată în funcție de concepția generică-multiversală a adevărului. Dificultatea cu această abordare este următoarea:

Teorema 4.8 (Woodin).
Presupunem ZFC și că există o clasă adecvată de cardinali din lemn. Apoi, pentru orice algebră booleană completă ?,

V ⊧ Ω-conjectură iff V ? ⊧ Ω-conjectură.

Astfel, spre deosebire de CH, concepția Ω nu poate fi arătată a fi independentă de ZFC + „Există o clasă adecvată de cardinale din lemn” prin forțarea setată. În ceea ce privește concepția generică a multiversului despre adevăr, putem pune acest punct în acest sens: în timp ce concepția generică-multiversă despre adevăr consideră CH ca fiind nedeterminată, nu consideră că Concepția Ω este nedeterminată. Deci răspunsul de mai sus nu este disponibil pentru avocatul concepției generice-multiverse despre adevăr. Avocatul acestei concepții consideră deja că concepția Ω este determinată.

În al doilea rând, s-ar putea acorda că Concepția Ω este determinată, dar să se susțină că este falsă. Există modalități prin care s-ar putea face acest lucru, dar asta nu scade argumentul de mai sus. Motivul este următorul: Pentru început, există o afirmație strânsă related 2, pe care o putem substitui Conjecturii Ω în argumentele de mai sus. Aceasta este afirmația conform căreia Conjectura Ω este (nu trivial) Ω-satisfăcătoare, adică afirmația: Există un ordinal α și un univers V 'al multiversului, astfel încât

V ' α ⊧ ZFC + "Există o clasă adecvată de cardinale din lemn"

și

V ' α ⊧ „Concepția Ω”.

Această declarație Σ 2 este invariabilă sub forțarea setată și, prin urmare, este una care aderă la concepția generică a multiversului despre adevăr trebuie să fie determinată. Mai mult, argumentele cheie de mai sus trec cu această declarație Σ 2 în loc de Conjectura Ω. Persoana care ia această a doua linie de răspuns va trebui, de asemenea, să susțină că această afirmație este falsă. Există însă dovezi substanțiale că această afirmație este adevărată. Motivul este că nu există nici un exemplu cunoscut de o Σ 2-declarare care este invariabilă sub forțarea setată în raport cu axiomele cardinale mari și care nu poate fi soluționată de axiome cardinale mari. (O astfel de afirmație ar fi un candidat pentru o declarație absolut nedecidabilă.) Deci este rezonabil să ne așteptăm ca această afirmație să fie rezolvată de mari axiomi cardinali. Cu toate acestea, recentele progrese în teoria modelului interior - în special, cele din Woodin (2010) - furnizează dovezi că niciun axiom cardinal nu poate respinge această afirmație. Împreună totul: este foarte probabil ca această afirmație să fie adevărată; deci această linie de răspuns nu este promițătoare.

În al treilea rând, s-ar putea respinge restricția Adevărului sau Restrângerea definitivității. Problema este că dacă cineva respinge constrângerea Adevărului, atunci din acest punct de vedere (presupunând Concepția Ω) truth 2 adevărul în teoria seturilor este reductibil în sensul Turing reducibilității la adevăr în H (δ 0) (sau, presupunând Conjectura puternică Ω, H (c +)). Și dacă se respinge constrângerea Definibilității, atunci din această perspectivă (presupunând Concepția Ω) truth 2 adevărul în teoria seturilor este reductibil în sensul definibilității la adevăr în H (δ 0) (sau, presupunând Conjectura puternică Ω, H (c +)). Din orice punct de vedere, reducerea este în tensiune odată cu acceptarea non-pluralismului în ceea ce privește teoria de fundal ZFC + „Există o clasă corespunzătoare de cardinale din lemn”.

În al patrulea rând, s-ar putea îmbrățișa critica, respinge concepția generică a multiversului despre adevăr și admite că există unele afirmații despre H (δ + 0) (sau H (c +), acordând, în plus, Conjectura AD +) care sunt adevărat simplificator, dar nu este adevărat în sensul generic-multivers, și totuși continuă să mențină că CH este nedeterminat. Dificultatea este că orice astfel de propoziție φ este calitativă la fel ca CH, întrucât poate fi forțată să țină și forțată să eșueze. Provocarea avocatului acestei abordări constă în modificarea concepției generice-multiverse despre adevăr, astfel încât aceasta să fie considerată ca determinată și să considere CH ca fiind nedeterminată.

În rezumat: Există dovezi că singura cale de ieșire este cea de-a patra cale de ieșire și asta pune sarcina înapoi pe pluralist - pluralistul trebuie să vină cu o versiune modificată a multiversului generic.

Citire ulterioară: Pentru mai multe despre conexiunea dintre Ω-logică și multiversul generic și critica de mai sus a multiversului generic, a se vedea Woodin (2011a). Pentru rezultatele recente ale teoriei modelelor interioare privind starea Conjecturii Ω a se vedea Woodin (2010).

5. Cazul local revizuit

Să ne întoarcem acum la un al doilea mod prin care s-ar putea rezista în cazul local pentru eșecul CH. Aceasta implică un caz paralel pentru CH. În secțiunea 5.1 vom analiza principalele caracteristici ale cazului pentru ¬CH pentru a-l compara cu cazul paralel pentru CH. În secțiunea 5.2 vom prezenta cazul paralel pentru CH. În secțiunea 5.3 vom evalua comparația.

5.1 Cazul pentru ¬CH

Reamintim că există două etape de bază în cazul prezentat în secțiunea 3.3. Primul pas implică completarea Ω (iar acest lucru dă ¬CH), iar cel de-al doilea pas implică maximalitate (iar acest lucru este cel mai puternic 2 0 = ℵ 2). Pentru o ușurință de comparație, vom repeta aceste caracteristici aici:

Primul pas se bazează pe următorul rezultat:

Teorema 5.1 (Woodin).
Presupunem că există o clasă adecvată de cardinale din lemn și că Conjectura puternică Ω ține.
  1. Există un axiom A astfel încât

    1. ZFC + A este satisfăcător Ω și
    2. ZFC + A este Ω-complet pentru structura H (ω 2).
  2. Orice astfel de axiom A are caracteristica care

    ZFC + A ⊧ Ω „H (ω 2) ⊧ ¬CH”.

Să ne reformulăm acest lucru după cum urmează: Pentru fiecare A care satisface (1), să fie

T A = {φ | ZFC + A ⊧ Ω „H (ω 2) ⊧ ¬φ”}.

Teorema spune că, dacă există o clasă corespunzătoare de cardinale din lemn și conținerea puternică Ω, atunci există teorii (non-triviale) Ω-complete T A de H (ω 2) și toate aceste teorii conțin ¬CH. Cu alte cuvinte, în conformitate cu aceste presupuneri, există o teorie „bună” și toate teoriile „bune” implică ¬CH.

Al doilea pas începe cu întrebarea dacă există o mai mare înțelegere între teoriile uj completă T A. În mod ideal, ar exista doar unul. Totuși, nu este cazul.

Teorema 5.2 (Koellner și Woodin 1999).
Presupunem că există o clasă adecvată de cardinale din lemn. Să presupunem că A este o axiomă astfel

i. ZFC + A este satisfăcător Ω și

ii. ZFC + A este Ω-complet pentru structura H (ω 2).

Atunci există un axiom B astfel încât

I“. ZFC + B este Ω-satisfăcător și

ii '. ZFC + B este complet Ω pentru structura H (ω 2)

și T A ≠ T B.

Acest lucru ridică problema modului în care se poate alege dintre aceste teorii? Se dovedește că există o teorie maximă printre T A și aceasta este dată de axioma (∗).

Teorema 5.3 (Woodin).
Presupunem ZFC și că există o clasă adecvată de cardinali din lemn. Apoi, următoarele sunt echivalente:
  1. (∗).
  2. Pentru fiecare Π 2 -sentență φ în limbajul pentru structură

    ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩

    dacă

    ZFC + „⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ"

    atunci este Ω-constant

    ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ.

Deci, dintre diferitele teorii T A implicate în Teorema 5.1, există una care iese în evidență: Teoria T (∗) dată de (∗). Această teorie maximizează teoria Π 2 a structurii ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩. Rezultatul fundamental este că în această teorie maximă

2 0 = ℵ 2.

5.2 Cazul paralel pentru CH

Cazul paralel pentru CH are, de asemenea, doi pași, primul care implică completarea Ω și al doilea implicând maximalitate.

Primul rezultat în primul pas este următorul:

Teorema 5.4 (Woodin 1985).
Presupunem ZFC și că există o clasă adecvată de cardinali de lemn măsurabili. Apoi ZFC + CH este Ω -complet pentru Σ21.

Mai mult, până la echivalența Ω, CH este afirmația unică Σ21 care este Ω-completă pentru Σ21; adică, lăsând T A să fie teoria Ω-completă dată de ZFC + A unde A este Σ21, toate aceste T A sunt echivalente Ω cu T CH și, prin urmare, (trivial), toate T A conțin CH. Cu alte cuvinte, există o teorie „bună” și toate teoriile „bune” implică CH.

Pentru a finaliza primul pas, trebuie să stabilim dacă acest rezultat este robust. Căci s-ar putea întâmpla ca atunci când se ia în considerare nivelul următor, Σ22 (sau niveluri suplimentare, cum ar fi aritmetica de ordinul al treilea) CH nu mai face parte din imagine, adică poate cardinali mari implică existența unui axiom A astfel încât ZFC + A este complet Ω pentru Σ22 (sau, mergând mai departe, toată aritmetica de ordinul al treilea) și totuși, nu toate acestea A au un T A asociat care conține CH. Trebuie să excludem acest lucru pentru a asigura primul pas.

Cel mai optimist scenariu de-a lungul acestor linii este acesta: Scenariul este că există un axiom cardinal L mare și axiome A → astfel încât ZFC + L + A → este complet pentru toate aritmetica de ordinul al treilea și toate aceste teorii sunt Ω -equivalent și implică CH. Mergând mai departe, poate pentru fiecare fragment specificat V λ din universul seturilor există un axiom cardinal L mare și axiome A → astfel încât ZFC + L + A → să fie complet pentru întreaga teorie a lui V λ și, în plus, că astfel de teorii sunt echivalente Ω și implică CH. Dacă acest lucru ar fi cazul, ar însemna că pentru fiecare astfel de λ există o imagine unică Ω-completă a lui V λși am avea o înțelegere unică completă a fragmentelor arbitrar de mari din universul seturilor. Acest lucru ar face un caz puternic pentru axiomele noi care completează axiomele ZFC și axiomele cardinale mari.

Din păcate, acest scenariu optimist nu reușește: Presupunând existența unei astfel de teorii se poate construi o alta care diferă de CH:

Teorema 5.5 (Koellner și Woodin 2009).
Presupunem ZFC și că există o clasă adecvată de cardinali din lemn. Să presupunem că V λ este un fragment specificabil al universului (care este suficient de mare) și să presupunem că există un axiom cardinal L mare și axiome A →

ZFC + L + A → este Ω-complet pentru Th (V λ).

Apoi există axiome B → astfel încât

ZFC + L + B → este complet Ω pentru Th (V λ)

iar prima teorie Ω -implifică CH dacă și numai dacă a doua teorie Ω -implifică ¬CH.

Acest lucru ne lasă în continuare cu problema existenței, iar răspunsul la această întrebare este sensibil la Conjectura Ω și la AD +:

Teorema 5.6 (Woodin).
Presupunem că există o clasă adecvată de cardinale din lemn și că Ω Conjectura ține. Atunci nu există o teorie recursivă A → astfel încât ZFC + A → să fie Ω-completă pentru teoria lui V δ 0 +1, unde δ 0 este cel mai puțin cardinal Woodin.

De fapt, sub o presupunere mai puternică, scenariul trebuie să eșueze la un nivel mult mai vechi.

Teorema 5.7 (Woodin).
Presupunem că există o clasă adecvată de cardinale din lemn și că Ω Conjectura ține. Presupunem că AD + Conjectura ține. Atunci nu există o teorie recursivă A → astfel încât ZFC + A → să fie Ω-completă pentru teoria lui Σ23.

Este deschis dacă poate exista o astfel de teorie la nivelul lui Σ22. Se presupune că ZFC + ◇ este complet Ω (presupunând axiome cardinale mari) pentru Σ22.

Să presupunem că este răspuns pozitiv și revenim la întrebarea unicității. Pentru fiecare astfel de axiom A, să fie T A teoria Σ22 calculată de ZFC + A în logica Ω. Întrebarea despre unicitate se pune pur și simplu dacă T A este unică.

Teorema 5.8 (Koellner și Woodin 2009).
Presupunem că există o clasă adecvată de cardinale din lemn. Să presupunem că A este o axiomă astfel

i. ZFC + A este satisfăcător Ω și

ii. ZFC + A este completat Ω pentru Σ22.

Atunci există un axiom B astfel încât

I“. ZFC + B este Ω-satisfăcător și

ii '. ZFC + B este complet Ω pentru for22

și T A ≠ T B.

Aceasta este paralela teoremei 5.2.

Pentru a finaliza cel paralel ar avea nevoie ca CH este printre toate T A. Acest lucru nu se știe. Dar este o conjectură rezonabilă.

Conjectură 5.9.
Presupune axiome cardinale mari.
  1. Există un axiom A such22 astfel încât

    1. ZFC + A este satisfăcător Ω și
    2. ZFC + A este complet Ω pentru Σ22.
  2. Orice astfel de axiom A Σ22 are caracteristica care

    ZFC + A ⊧ Ω CH.

Dacă această conjectură se menține, ar oferi un adevărat analog al teoremei 5.1. Aceasta ar completa paralela cu primul pas.

Există, de asemenea, o paralelă cu cel de-al doilea pas. Reamintim că pentru a doua etapă din subsecțiunea anterioară am avut că, deși diferitele T A nu au fost de acord, toate conțineau ¬CH și, în plus, dintre ele există una care iese în evidență, și anume teoria dată de (∗), deoarece această teorie maximizează teoria Π 2 a structurii ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ P (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩. În contextul actual al CH, din nou (presupunând conjectura) avem, deși T Anu sunt de acord, toate conțin CH. Se dovedește că, din nou, dintre aceștia se află unul care iese în evidență, și anume, cel maxim. Pentru că se știe (prin rezultatul lui Woodin în 1985), dacă există o clasă adecvată de cardinale Woodin măsurabile, atunci există o extensie forțată care satisface toate cele 22 de propoziții φ astfel încât ZFC + CH + φ să fie satisfăcătoare Ω (vezi Ketchersid, Larson, & Zapletal (2010)). Rezultă că dacă întrebarea existenței este răspunsă pozitiv cu o A care este Σ22, atunci T A trebuie să fie această teorie maximă maximum22 și, prin urmare, toți T A sunt de acord atunci când A este Σ22. Deci, presupunând că există un T A unde A este Σ22, atunci, deși nu toate T A de acord (când A este arbitrar) există una care iese în evidență și anume cea care este maximă pentru sentences22 de propoziții.

Astfel, dacă conjectura de mai sus se menține, atunci cazul lui CH este paralel cu cel al ¬CH, abia acum Σ22 ia locul teoriei lui H (ω 2).

5.3 Evaluare

Presupunând că conjectura ține cazul lui CH paralel cu cel de ¬CH, abia acum Σ22 ia locul teoriei lui H (ω 2): În ipotezele de fundal avem:

    1. există A astfel încât ZFC + A să fie Ω-complet pentru H (ω 2)
    2. pentru fiecare astfel de A, T A asociat conține ¬CH și
    3. există un T A care este maxim, și anume T (∗) și această teorie conține 2 0 = ℵ 2.
    1. există xi22-axiome A, astfel încât ZFC + A este Ω-complet pentru Σ22
    2. pentru fiecare astfel de A, T A asociată conține CH și
    3. există un T A care este maxim.

Cele două situații sunt paralele în ceea ce privește maximalitatea, dar în ceea ce privește nivelul de completare Ω, prima este mai puternică. Căci în primul caz nu obținem doar o completitate Ω în ceea ce privește teoria Π 2 a lui H (ω 2) (cu predicatele suplimentare), mai degrabă obținem o completitate Ω în ceea ce privește toate H (ω 2). Acesta este, probabil, un argument în favoarea cazului pentru ¬CH, chiar acordând conjectura.

Dar există un punct mai puternic. Există dovezi care provin din teoria modelului interior (despre care vom discuta în secțiunea următoare) în sensul că conjectura este de fapt falsă. În cazul în care acest lucru ar fi cazul, aceasta ar rupe paralela, consolidând cazul pentru ¬CH.

Cu toate acestea, s-ar putea contracara acest lucru: Gradul mai mare de completare Ω în cazul ¬CH este într-adevăr iluzoriu, deoarece este un artefact al faptului că, sub (∗) teoria lui H (ω 2) este de fapt reciproc interpretabil cu cel al lui H (ω 1) (printr-un rezultat profund al lui Woodin). Mai mult, acest ultim fapt este în conflict cu spiritul Principiilor de transcendență discutate în secțiunea 4.3. Aceste principii au fost invocate într-un argument în sensul că CH nu are un răspuns. Astfel, atunci când toată praful soluționează importul real al lucrărilor lui Woodin pe CH (deci este argumentul) nu este faptul că CH este fals, ci mai degrabă că CH are un răspuns.

Pare corect să spunem că, în această etapă, starea abordărilor locale de soluționare a CH este oarecum neluată. Din acest motiv, în restul acestei intrări ne vom concentra pe abordările globale de soluționare a CH. Vom discuta foarte pe scurt două astfel de abordări - abordarea prin teoria modelului interior și abordarea prin axiome cardinale cvasi-mari.

6. Modelul interior final

Teoria modelelor interioare urmărește să producă modele „asemănătoare L” care conțin axiome cardinale mari. Pentru fiecare axiom cardinal mare Φ la care s-a ajuns prin teoria modelului interior, unul are o axiomă de forma V = L Φ. Acest axiom are virtutea că (la fel ca în cazul cel mai simplu al lui V = L) oferă o soluție „complet completă” cu privire la întrebările despre L Φ (care, prin presupunere, este V). Din păcate, se dovedește că axioma V = L Φ este incompatibilă cu axiomele cardinale mari mai puternice Φ '. Din acest motiv, axiomele acestei forme nu au fost niciodată considerate candidați plauzibili pentru axiome noi.

Dar evoluțiile recente ale teoriei modelelor interioare (datorate lui Woodin) arată că totul se schimbă la nivelul unui cardinal supercompact. Aceste evoluții arată că dacă există un model interior N care „moștenește” un cardinal supercompact de la V (în modul în care ne-am putea aștepta, având în vedere traiectoria teoriei modelului interior), atunci există două consecințe remarcabile: în primul rând, N este aproape de V (în, de exemplu, în sensul că pentru cardinali singulari suficient de mari λ, N calculează corect λ +). În al doilea rând, N moștenește toate cardinalele mari cunoscute care există în V. Astfel, spre deosebire de modelele interioare care au fost dezvoltate până acum, un model interior la nivelul unui supercompact i-ar oferi un axiom care nu poate fi respins prin presupuneri cardinale mari mai puternice.

Problema, desigur, este dacă se poate avea un model „asemănător L” (unul care dă o axiomă „complet completă”) la acest nivel. Există motive pentru a crede că se poate. Acum există un model L Ω candidat care produce un axiom V = L Ω cu următoarele caracteristici: În primul rând, V = L Ω este „complet complet”. În al doilea rând, V = L Ω este compatibil cu toate axiomele cardinale mari. Astfel, în acest scenariu, teoria finală ar fi teoria (deschisă) ZFC + V = L Ω + LCA, unde LCA este o schemă care stă la baza „axiomelor cardinale mari”. Axiomele cardinale mari vor prinde cazuri de independență Gödelian și axiomul V = L Ωva capta cazurile rămase de independență. Această teorie ar implica CH și ar soluționa declarațiile rămase nedecise. Independența ar înceta să mai fie o problemă.

Totuși, se dovedește că există și alte axiome candidate care împărtășesc aceste caracteristici și astfel reapare spectrul pluralismului. De exemplu, există axiome V = L Ω S și V = L Ω (∗). Aceste axiome ar fi, de asemenea, „complet complete” și compatibile cu toate axiomele cardinale mari. Cu toate acestea, ei ar rezolva diferite întrebări diferit de axiomul V = L Ω. De exemplu, axioma, V = L Ω (∗) ar implica ¬CH. Atunci, cum este să se pronunțe între ele?

Lectură suplimentară: Pentru o introducere în teoria modelelor interioare, a se vedea Mitchell (2010) și Steel (2010). Pentru mai multe despre evoluțiile recente la nivelul unui supercompact și nu numai, a se vedea Woodin (2010).

7. Teoria structurii lui L (V λ + 1)

Aceasta ne aduce la a doua abordare globală, una care promite să selectăm axioma corectă dintre V = L Ω, V = L Ω S, V = L Ω (∗) și variantele lor. Această abordare se bazează pe o remarcabilă analogie între teoria structurii lui L (ℝ) sub presupunerea AD L (ℝ) și teoria structurii lui L (V λ + 1) sub presupunerea că există o încorporare elementară de la L (V λ + 1) în sine cu punctul critic sub λ. Această presupunere de încorporare este cea mai puternică axiomă cardinală mare care apare în literatura de specialitate.

Analogia dintre L (ℝ) și L (V λ + 1) se bazează pe observația că L (ℝ) este pur și simplu L (V ω + 1). Astfel, λ este analogul lui ω, λ + este analogul lui ω 1 și așa mai departe. Ca exemplu al paralelei dintre teoria structurii lui L (ℝ) sub AD L (ℝ) și teoria structurii lui L (V λ + 1) sub axiomul de înglobare, să menționăm că în primul caz, ω 1 este un cardinal măsurabil în L (ℝ) și, în cel de-al doilea caz, analogul lui ω 1 -nume, λ + -este un cardinal măsurabil în L (V λ + 1). Acest rezultat se datorează lui Woodin și este doar un exemplu dintre numeroasele exemple de paralelă care sunt conținute în opera sa.

Acum, avem o mulțime de informații despre teoria structurii L (ℝ) sub AD L (ℝ). Într-adevăr, așa cum am menționat mai sus, acest axiom este „complet complet” în ceea ce privește întrebările despre L (ℝ). În schimb, axiomul de încorporare nu este suficient pentru a presupune că L (V λ + 1) are o teorie a structurii care este în paralel complet cu cea a lui L (ℝ) sub AD L (ℝ). Cu toate acestea, existența unei paralele deja bogate este o dovadă a faptului că paralela se extinde și putem suplimenta axiomul de încorporare adăugând unele componente cheie. Când face acest lucru, se întâmplă ceva remarcabil: axiomele suplimentare devin fragile. Aceasta înseamnă că au potențialul de a șterge independența și de a furniza informații non-banale despre V λ + 1. De exemplu, aceste axiome suplimentare ar putea stabili CH și multe altele.

Dificultatea de a investiga posibilitățile pentru teoria structurii lui L (V λ + 1) este că nu am avut lentile adecvate prin care să o vizualizăm. Problema este că modelul L (V λ + 1) conține o bucată mare din univers - și anume, L (V λ + 1) - iar teoria acestei structuri este radical nedeterminată. Rezultatele discutate mai sus ne oferă lentile adecvate. Pentru că se poate examina teoria structurii L (V λ + 1) în contextul modelelor interioare ultime precum L Ω, L Ω S, L Ω (∗) și variantele lor. Ideea este că aceste modele pot găzdui axiomul de încorporare și, în cadrul fiecăruia, unul va putea calcula teoria structurii L (V λ + 1).

Aceasta oferă un mijloc de a selecta axiomul corect dintre V = L Ω, V = L Ω S, V = L Ω (∗) și variantele acestora. Se uită pur și simplu la L (V λ + 1) al fiecărui model (unde se află axiomul de încorporare) și se verifică care are adevăratul analog al teoriei structurilor L (ℝ) sub presupunerea AD L (ℝ). Se știe deja că anumite piese din teoria structurii nu pot ține în L Ω. Dar este deschis dacă pot ține în L Ω S.

Să luăm în considerare un astfel de scenariu (foarte optimist): Adevăratul analog al teoriei structurii lui L (under) sub AD L (ℝ) reține L (V λ + 1) lui L Ω S, dar nu al oricăreia dintre variantele sale. Mai mult, această teorie a structurii este „complet completă” pentru teoria lui V λ + 1. Presupunând că există o clasă corespunzătoare de λ unde axiomul de încorporare ține, aceasta oferă o teorie „complet completă” a V. Și, în mod remarcabil, o parte a acestei teorii este că V trebuie să fie L Ω S. Acest scenariu (în mod cert foarte optimist) ar constitui un caz foarte puternic pentru axiome care rezolvă toate afirmațiile nedecise.

Nu ar trebui să punem prea multă greutate în acest scenariu particular. Este doar unul dintre mulți. Ideea este că suntem acum în situația de a scrie o listă de întrebări definite cu următoarele caracteristici: În primul rând, întrebările din această listă vor avea răspunsuri - independența nu este o problemă. În al doilea rând, dacă răspunsurile converg, atunci vom avea dovezi puternice pentru axiome noi care soluționează afirmațiile nedecise (și, prin urmare, non-pluralismul despre universul seturilor); în timp ce răspunsurile oscilează, vom avea dovezi că aceste afirmații sunt „absolut nedecidabile” și acest lucru va consolida cazul pluralismului. În felul acesta, întrebările „nedecidabilității absolute” și pluralismului sunt date cu tracțiune matematică.

Citire ulterioară: Pentru mai multe despre teoria structurii L (V λ + 1) și paralela cu determinarea, a se vedea Woodin (2011b).

Bibliografie

  • Abraham, U. și M. Magidor, 2010, „Aritmetica cardinală”, în Foreman și Kanamori 2010.
  • Bagaria, J., N. Castells și P. Larson, 2006, „O primă Ω-logică”, în J. Bagaria și S. Todorcevic (eds), Teoria seturilor, Tendințe în matematică, Birkhäuser, Basel, p. 1 -28.
  • Cohen, P., 1963, „Independența ipotezei continuum I”, Proceedings of the National Academy of Sciemces, 50: 1143–48.
  • Foreman, M. și A. Kanamori, 2010, Handbook of Set Theory, Springer-Verlag.
  • Foreman, M. și M. Magidor, 1995, „Cardinalele mari și contraexemplele definibile pentru ipoteza continuului”, Analele logicii pure și aplicate 76: 47–97.
  • Foreman, M., M. Magidor și S. Shelah, 1988, „Idealurile maxime, saturate și ultrafiltrele neregulare ale lui Martin. Partea i, „Analele Matematicii 127: 1–47.
  • Gödel, K., 1938a. „Coerența axiomului de alegere și a continuum-ipotezei generalizate”, Proceedings of the National Academy of Sciences, 24: 556–7.
  • Gödel, K., 1938b. „Dovadă de consecvență pentru continuitatea-ipoteză generalizată”, Proceedings of the National Academy of Sciemces, 25: 220–4.
  • Hallett, M., 1984, Teoria seturilor cantoriene și limitarea mărimii, vol. 10 din Oxford Logic Guides, Oxford University Press.
  • Holz, M., K. Steffens și E. Weitz, 1999, Introducere în aritmetica cardinală, Birkhäuser Advanced Texts, Birkhäuser Verlag, Basel.
  • Jech, TJ, 2003, Teoria seturilor: ediția celui de-al treilea mileniu, revizuită și extinsă, Springer-Verlag, Berlin.
  • Ketchersid, R., P. Larson și J. Zapletal, 2010, „Încorporarea regulată a turnului staționar și a teoremei de maximă Sigma-2-2 a lui Woodin.” Journal of Symbolic Logic 75 (2): 711–727.
  • Koellner, P., 2010, „Logica puternică de ordinul întâi și al doilea”, Buletinul logicii simbolice 16 (1): 1–36.
  • Koellner, P. și WH Woodin, 2009, „Incompatible Ω-complete teories”, The Journal of Symbolic Logic 74 (4).
  • Martin, DA, 1976, „Prima problemă a lui Hilbert: Ipoteza continuă”, în F. Browder (ed.), Evoluții matematice care apar din problemele lui Hilbert, vol. 28 din Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, American Mathematical Society, Providence, pp. 81–92.
  • Mitchell, W., 2010, „Început teoria modelului interior”, în Foreman și Kanamori 2010.
  • Steel, JR, 2010, „Un contur al teoriei modelelor interioare”, în Foreman și Kanamori 2010.
  • Woodin, WH, 1999, Axioma determinării, axiomele forțante și idealul nonstationar, vol. 1 din Seria de Gruyter în Logică și aplicațiile sale, de Gruyter, Berlin.
  • –––, 2001a, „Ipoteza continuă, partea I”, Notificări ale American Mathematical Society 48 (6): 567–576.
  • –––, 2001b, „Ipoteza continuă, partea a II-a,” Notificări ale American Mathematical Society 48 (7): 681–690.
  • –––, 2005a, „Ipoteza continuă”, în R. Cori, A. Razborov, S. Todorĉević și C. Wood (eds), Logic Colloquium 2000, Vol. 19 din Lecture Notes in Logic, Association of Symbolic Logic, pp. 143–197.
  • –––, 2005b, „Teoria seturilor după Russell: călătoria înapoi la Eden”, în G. Link (ed.), One Hundred Years Of Russell's Paradox: Mathematics, Logic, Philosophy, Vol. 6 din Seria de Gruyter în Logică și aplicațiile sale, Walter De Gruyter Inc, p. 29–47.
  • –––, 2010, „Modele de extensii adecvate I”, Journal of Mathematical Logic 10 (1–2): 101–339.
  • –––, 2011a, „Ipoteza continuă, generic-multiversul seturilor și conjectura Ω”, în J. Kennedy și R. Kossak, (eds), Teoria seturilor, aritmetica și fundamentele matematicii: teoreme, Filozofii, vol. 36 din Lecture Notes in Logic, Cambridge University Press.
  • –––, 2011b, „Modele de extensie adecvate II”, Journal of Mathematical Logic 11 (2): 115–436.

Instrumente academice

pictograma omului sep
pictograma omului sep
Cum se citează această intrare.
pictograma omului sep
pictograma omului sep
Previzualizați versiunea PDF a acestei intrări la Societatea Prietenii SEP.
pictograma inpho
pictograma inpho
Căutați acest subiect de intrare la Proiectul Ontologia Filozofiei pe Internet (InPhO).
pictograma documente phil
pictograma documente phil
Bibliografie îmbunătățită pentru această intrare la PhilPapers, cu link-uri către baza de date a acesteia.

Alte resurse de internet

[Vă rugăm să contactați autorul cu sugestii.]